Гипотеза новикова - Novikov conjecture

Эта страница касается топологической гипотезы математика Сергея Новикова. О гипотезе астрофизика Игоря Новикова относительно путешествий во времени см. Принцип непротиворечивости Новикова.

В Гипотеза новикова одна из важнейших нерешенных проблем в топология. Он назван в честь Сергей Новиков который первоначально выдвинул гипотезу в 1965 году.

Гипотеза Новикова касается гомотопия неизменность определенных многочлены в Понтрягина классы из многообразие, возникающие из фундаментальная группа. Согласно гипотезе Новикова, более высокие подписи, которые являются некоторыми числовыми инвариантами гладких многообразий, являются гомотопия инварианты.

Гипотеза доказана для конечно порожденных абелевы группы. Пока не известно, верна ли гипотеза Новикова для всех групп. Нет известных контрпримеров к этой гипотезе.

Точная формулировка гипотезы

Позволять ${\displaystyle G}$ быть дискретная группа и ${\displaystyle BG}$ это классификация пространства, что является Пространство Эйленберга – Маклейна типа ${\displaystyle K(G,1)}$, и поэтому уникальны до гомотопическая эквивалентность как комплекс CW. Позволять

${\displaystyle f\colon M\rightarrow BG}$

- непрерывное отображение из замкнутой ориентированной ${\displaystyle n}$-мерное многообразие ${\displaystyle M}$ к ${\displaystyle BG}$, и

${\displaystyle x\in H^{n-4i}(BG;\mathbb {Q} ).}$

Новиков рассмотрел числовое выражение, полученное путем сравнения класса когомологий в высшем измерении с фундаментальный класс ${\displaystyle [M]}$, и известный как высшая подпись:

${\displaystyle \left\langle f^{*}(x)\cup L_{i}(M),[M]\right\rangle \in \mathbb {Q} }$

куда ${\displaystyle L_{i}}$ это ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ Многочлен Хирцебруха, или иногда (менее описательно) как ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle L}$-полином. Для каждого ${\displaystyle i}$, этот многочлен выражается в классах Понтрягина касательного расслоения многообразия. В Гипотеза новикова утверждает, что высшая сигнатура является инвариантом ориентированного гомотопического типа ${\displaystyle M}$ для каждой такой карты ${\displaystyle f}$ и каждый такой класс ${\displaystyle x}$, другими словами, если ${\displaystyle h\colon M'\rightarrow M}$ является ориентацией, сохраняющей гомотопическую эквивалентность, высшая сигнатура, связанная с ${\displaystyle f\circ h}$ равно тому, что связано с ${\displaystyle f}$.

Связь с гипотезой Бореля

Гипотеза Новикова эквивалентна рациональной инъективности карта сборки в L-теория. В Гипотеза Бореля на жесткости асферических многообразий эквивалентно тому, что отображение сборки является изоморфизмом.

Рекомендации

• Дэвис, Джеймс Ф. (2000), «Многообразные аспекты гипотезы Новикова», в Каппелл, Сильвен; Раники, Андрей; Розенберг, Джонатан (ред.), Обзоры по теории хирургии. Vol. 1 (PDF), Анналы математических исследований, Princeton University Press, стр. 195–224, ISBN  978-0-691-04937-3, МИСТЕР  1747536
• Джон Милнор и Джеймс Д. Сташефф, Характерные классы, Анналы математических исследований 76, Принстон (1974).
• Сергей Петрович Новиков, Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов k-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые приложения к дифференциальной топологии и теории характеристических классов. Изв. АН СССР, т. 34, 1970 И №2, с. 253–288; II: №3, с. 475–500. Резюме на английском языке в Actes Congr. Междунар. Math., V. 2, 1970, pp. 39–45.

внешняя ссылка

• Биография Сергея Новикова
• Библиография гипотез Новикова
• Гипотеза Новикова, 1993 г., Обервольфахская конференция, Том 1
• Гипотеза Новикова, 1993 г., Обервольфахская конференция, Том 2
• Обервольфахский семинар 2004 г., посвященный гипотезе Новикова (pdf)
• Статья С.П. Новикова в Scholarpedia (2010)
• Гипотеза Новикова в Manifold Atlas