Лемма шануэльса - Schanuels lemma

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория модулей, Лемма Шануэля, названный в честь Стивен Шануэль, позволяет сравнивать, насколько модули отходят от проективный. Это полезно для определения оператора Хеллера в стабильной категории и для элементарного описания изменение размеров.

Заявление

Лемма Шануэля следующее утверждение:

Если 0 → K  → п →  M → 0 и 0 →K '  →  п '  →  M → 0 являются короткие точные последовательности из р-модули и п и п 'проективны, то K ⊕ п ' является изоморфный к K ' ⊕ П.

Доказательство

Определите следующие подмодуль из п ⊕ п ', где φ: п → M и φ ': п ' → M:

${\displaystyle X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\phi (p)=\phi ^{\prime }(q)\}.}$

Карта π: Икс → п, где π определяется как проекция первой координаты Икс в п, сюръективно. Поскольку ф 'сюръективно, для любого п ${\displaystyle \in }$ пможно найти q ${\displaystyle \in }$ п 'такое, что φ (п) = φ '(q). Это дает (п,q) ${\displaystyle \in }$ Икс с π (п,q) = п. Теперь рассмотрим ядро карты π:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker \pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi ^{\prime }(q)=0\}\\&\cong \ker \phi ^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{aligned}}}$

Можно сделать вывод, что существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow K^{\prime }\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.}$

С п проективно, эта последовательность расщепляется, поэтому Икс ≅ K ' ⊕ п . Точно так же мы можем написать еще одно отображение π: Икс → п ', и тот же аргумент, что и выше, показывает, что существует другая короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P^{\prime }\rightarrow 0,}$

и так Икс ≅ п ' ⊕ K. Комбинируя две эквивалентности для Икс дает желаемый результат.

Длинные точные последовательности

Приведенный выше аргумент можно также обобщить на длинные точные последовательности.^[1]

Происхождение

Стивен Шануэль обнаружил аргумент в Ирвинг Каплански с гомологическая алгебра конечно в Чикагский университет Осенью 1958 года. Капланский пишет:

В начале курса я сформировал одношаговую проективную резольвенту модуля и заметил, что если ядро ​​было проективным в одной резолюции, оно было проективным во всех. Я добавил, что, хотя утверждение было настолько простым и понятным, пройдет некоторое время, прежде чем мы его докажем. Стив Шануэль заговорил и сказал мне и классу, что это было довольно легко, и после этого набросал то, что стало известно как «лемма Шануэля». ^[2]

Примечания

1. Лам, Т. (1999). Лекции по модулям и кольцам. Springer. ISBN  0-387-98428-3. стр. 165–167.
2. Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца. Чикагские лекции по математике (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. С. 165–168. ISBN  0-226-42451-0. Zbl  1001.16500.