Евклидова область - Euclidean domain

В математика, более конкретно в теория колец, а Евклидова область (также называемый Евклидово кольцо) является область целостности который может быть наделен Евклидова функция что позволяет сделать подходящее обобщение Евклидово деление целых чисел. Этот обобщенный алгоритм Евклида может быть использован во многих из тех же сфер, что и исходный алгоритм Евклида в кольце целые числа: в любой евклидовой области можно применить алгоритм Евклида для вычисления наибольший общий делитель любых двух элементов. В частности, существует наибольший общий делитель любых двух элементов, который может быть записан как их линейная комбинация (Личность Безу ). Также каждый идеальный в евклидовой области главный, откуда следует подходящее обобщение основная теорема арифметики: каждая евклидова область является уникальная область факторизации.

Важно сравнить класс евклидовых областей с более широким классом области главных идеалов (PID). Произвольный PID имеет почти те же «структурные свойства» евклидовой области (или даже кольца целых чисел), но когда явное алгоритм для евклидова деления известно, можно использовать Евклидов алгоритм и расширенный алгоритм Евклида вычислить наибольшие общие делители и Личность Безу. В частности, существование эффективных алгоритмов евклидова деления целых чисел и многочленов от одной переменной над полем имеет принципиальное значение в компьютерная алгебра.

Итак, учитывая область целостности $р$ , часто очень полезно знать, что $р$ имеет евклидову функцию: в частности, это означает, что $р$ это PID. Однако, если нет "очевидной" евклидовой функции, то определение того, $р$ является PID, как правило, намного проще, чем определить, является ли это евклидовым доменом.

Евклидовы домены входят в следующую цепочку классные включения:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ целостные области ⊃ целозамкнутые области ⊃ GCD домены ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Позволять $р$ - область целостности. А Евклидова функция на $р$ это функция $ж$ из $р \{0$ } к неотрицательные целые числа удовлетворяющие следующему фундаментальному свойству деления с остатком:

(EF1) Если $а$ и $б$ находятся в $р$ и $б$ отличен от нуля, то существует $q$ и $р$ в $р$ такой, что $а = бк + р$ и либо $р = 0$ или же $ж (р) < ж (б)$ .

А Евклидова область является областью целостности, в которой может быть хотя бы одна евклидова функция. Важно отметить, что конкретная евклидова функция $ж$ является нет часть структуры евклидовой области; в общем, евклидова область допускает множество различных евклидовых функций.

Большинство текстов по алгебре требуют, чтобы евклидова функция обладала следующим дополнительным свойством:

(EF2) Для всех ненулевых $а$ и $б$ в $р$ , $ж (а) \leq ж (ab)$ .

Однако можно показать, что одного (EF1) достаточно для определения евклидовой области, поскольку любая область $р$ которому можно придать функцию $грамм$ удовлетворение (EF1) также может быть наделено собственно евклидовой функцией; то есть функция $ж$ удовлетворяющие (EF1) и (EF2). Действительно, для $а ∈ р \{0$ }, можно определить $ж (а)$ следующее:^[1]

{ Displaystyle е (а) = мин _ {х в R setminus {0 }} г (ха)}

На словах можно определить $ж (а)$ быть минимальным значением, достигаемым $грамм$ на множестве всех ненулевых элементов главного идеала, порожденного $а$ .

А мультипликативная евклидова функция евклидова функция $ж$ такой, что $ж (ab) = ж (а) ж (б)$ и $ж (а)$ никогда не равно нулю. Следует, что $ж (1) = 1$ . В более общем смысле, $ж (а) = 1$ если и только если $а$ это единица.

Примечания к определению

Многие авторы используют другие термины вместо «евклидовой функции», такие как «функция степени», «функция оценки», «калибровочная функция» или «функция нормы».^[2] Некоторые авторы также требуют, чтобы областью определения евклидовой функции было все кольцо $р$ ;^[2] однако это существенно не влияет на определение, поскольку (EF1) не включает значение $ж (0)$ . Иногда это определение обобщается, позволяя евклидовой функции принимать значения в любом упорядоченном множестве; это ослабление не влияет на наиболее важные следствия евклидовости.

Свойство (EF1) можно переформулировать следующим образом: для любого главного идеала $я$ из $р$ с ненулевым генератором $б$ , все ненулевые классы факторкольца $р / я$ есть представитель $р$ с $ж (р) < ж (б)$ . Поскольку возможные значения $ж$ упорядочены, это свойство можно установить, доказав, что $ж (р) < ж (б)$ для любого $р \notin я$ с минимальной стоимостью $ж (р)$ в своем классе. Обратите внимание, что для установленной таким образом евклидовой функции нет необходимости в эффективном методе определения $q$ и $р$ в (EF1).

Примеры

Примеры евклидовых доменов включают:

Любое поле. Определять $ж (Икс) = 1$ для всех ненулевых $Икс$ .
$Z$ , кольцо целые числа. Определять $ж (п) = | п |$ , то абсолютная величина из $п$ .^[3]
$Z [я]$ , кольцо Гауссовские целые числа. Определять $ж (а + би) = а 2 + б 2$ , то норма гауссова целого $а + би$ .
$Z [ω]$ (куда $ω$ это примитивный (нереальный) кубический корень из единицы ), кольцо Целые числа Эйзенштейна. Определять $ж (а + б ω) = а 2 - ab + б 2$ , норма целого числа Эйзенштейна $а + б ω$ .
$K [ИКС]$ , то кольцо многочленов через поле $K$ . Для каждого ненулевого многочлена $п$ , определять $ж (п)$ быть степенью $п$ .^[4]
$K [[ИКС]]$ , кольцо формальный степенной ряд над полем $K$ . Для каждого ненулевого степенного ряда $п$ , определять $ж (п)$ как порядок из $п$ , то есть степень наименьшей степени $Икс$ происходящий в $п$ . В частности, для двух ненулевых степенных рядов $п$ и $Q$ , $ж (п) \leq ж (Q)$ если и только если $п$ разделяет $Q$ .
Любой кольцо дискретной оценки. Определять $ж (Икс)$ быть высшей силой максимальный идеал $M$ содержащий $Икс$ . Эквивалентно пусть $грамм$ быть генератором $M$ , и $v$ - единственное целое число такое, что $грамм v$ является ассоциировать из $Икс$ , затем определим $ж (Икс) = v$ . Предыдущий пример $K [[ИКС]]$ является частным случаем этого.
А Дедекиндский домен с конечным числом ненулевых простых идеалов $п 1, ... , п п$ . Определять ${ Displaystyle е (х) = сумма _ {я = 1} ^ {п} v_ {я} (х)}$ , куда $v я$ - дискретная оценка, соответствующая идеальному $п я$ .^[5]

Примеры доменов, которые нет Евклидовы домены включают:

Каждый домен, который не является главная идеальная область, например, кольцо многочленов по крайней мере от двух неопределенностей над полем, или кольцо одномерных многочленов с целыми коэффициентами, или числовое кольцо $Z [\sqrt -5]$ .
В кольцо целых чисел из $Q (\sqrt -19)$ , состоящий из чисел $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} а + б \sqrt -19 / 2$ куда $а$ и $б$ являются целыми и оба четные или оба нечетные. Это неевклидова область главных идеалов.
Кольцо $р [X, Y] / (X 2 + Y 2 + 1)$ также является областью главных идеалов, не являющейся евклидовой.^{[нужна цитата ]}

Характеристики

Позволять р быть доменом и ж евклидова функция на р. Потом:

р это главная идеальная область (PID). Фактически, если я ненулевой идеальный из р тогда любой элемент а из я {0} с минимальным значением (на этом множестве) ж(а) является генератором я.^[6] Как следствие р также уникальная область факторизации и Кольцо Нётериана. Что касается общих областей главных идеалов, существование факторизаций (т.е. р является атомарный домен ) особенно легко доказать в евклидовых областях: выбирая евклидову функцию ж удовлетворяющий (EF2), Икс не может иметь разложения более чем на ж(Икс) неединичные факторы, поэтому, начиная с Икс и многократное разложение приводимых факторов обязательно приведет к факторизации на неприводимые элементы.
Любой элемент р на котором ж принимает глобально минимальное значение обратимо в р. Если ж удовлетворяющий (EF2), то верно и обратное, и ж принимает минимальное значение именно на обратимых элементах р.
Если евклидово свойство алгоритмическое, т. Е. Если существует алгоритм деления это для данного а и ненулевой б производит частное q и остальное р с а = бк + р и либо р = 0 или же ж(р) < ж(б), затем расширенный алгоритм Евклида можно определить в терминах этой операции деления.^[7]
Если евклидова область не является полем, тогда в ней есть элемент а со следующим свойством: любой элемент Икс не делится на а можно записать как Икс=ай+ты для какой-то единицы ты и какой-то элемент у. Это следует, взяв а быть не-единицей с ж(а) как можно меньше. Это странное свойство можно использовать, чтобы показать, что некоторые основные идеальные области не являются евклидовыми областями, поскольку не все PID обладают этим свойством. Например, для d = −19, −43, −67, −163, то кольцо целых чисел из ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ PID, который нет Евклидово, но случаи d = −1, −2, −3, −7, −11 находятся Евклидово.^[8]

Однако во многих конечные расширения из Q с тривиальным классная группа, кольцо целых чисел является евклидовым (не обязательно относительно абсолютного значения нормы поля; см. ниже). расширенная гипотеза Римана, если K является конечным расширением Q и кольцо целых чисел K - PID с бесконечным числом единиц, то кольцо целых чисел евклидово.^[9]В частности, это относится к случаю вполне реальных поля квадратичных чисел с тривиальной группой классов. Вдобавок (и без допущения ERH), если поле K является расширением Галуа Q, имеет тривиальную группу классов и звание единицы строго больше трех, то кольцо целых чисел евклидово.^[10]Непосредственным следствием этого является то, что если числовое поле Галуа над Q, его группа классов тривиальна, а расширение имеет степень больше 8, то кольцо целых чисел обязательно евклидово.

Нормально-евклидовы поля

Поля алгебраических чисел K имеют на них каноническую функцию нормы: абсолютное значение норма поля N который принимает алгебраический элемент α к продукту всех конъюгирует из α. Эта норма отображает кольцо целых чисел числового поля K, сказать О_K, к неотрицательному рациональные целые числа, поэтому он может быть евклидовой нормой на этом кольце. Если эта норма удовлетворяет аксиомам евклидовой функции, то числовое поле K называется норм-евклидова или просто Евклидово.^[11]^[12] Строго говоря, евклидово кольцо целых чисел, поскольку поля тривиально представляют собой евклидовы области, но терминология стандартна.

Если поле не является евклидовым по норме, то это не означает, что кольцо целых чисел не евклидово, просто норма поля не удовлетворяет аксиомам евклидовой функции. На самом деле кольца целых числовых полей можно разделить на несколько классов:

Те, что не главный и, следовательно, не евклидово, например, целые числа ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-5}})}$
Те, которые являются главными, а не евклидовыми, например, целые числа ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-19}})}$
Те, которые являются евклидовыми, а не норм-евклидовыми, например, целые числа ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {69}})}$ ^[13]
Те, которые являются евклидовыми по норме, например Гауссовские целые числа (целые числа ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-1}})}$ )

Норма-евклидова квадратичные поля были полностью засекречены; они есть ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ , куда d принимает значения

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (последовательность A048981 в OEIS ).^[14]

Каждое евклидово мнимое квадратичное поле является евклидовым по норме и является одним из пяти первых полей в предыдущем списке.

Смотрите также

Оценка (алгебра)

Примечания

^ Роджерс, Кеннет (1971), «Аксиомы для евклидовых областей», Американский математический ежемесячный журнал, 78 (10): 1127–1128, Дои:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
^ ^а ^б Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра. Хобокен, Нью-Джерси, США: Wiley. п. 270. ISBN 9780471433347.
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, Пример 1
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, Пример 2
^ Самуэль, Пьер (1 октября 1971 г.). «О евклидовых кольцах». Журнал алгебры. 19 (2): 282–301 (стр. 285). Дои:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 377, теорема 7.4
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 380, теорема 7.7
^ Моцкин, Теодор (1949), «Алгоритм Евклида», Бюллетень Американского математического общества, 55 (12): 1142–1146, Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302
^ Вайнбергер, Питер Дж. (1973), «О евклидовых кольцах целых алгебраических чисел», Труды симпозиумов по чистой математике, AMS, 24: 321–332, Дои:10.1090 / pspum / 024/0337902, ISBN 9780821814246
^ Харпер, Малькольм; Мурти, М. Рам (2004), «Евклидовы кольца целых алгебраических чисел» (PDF), Канадский математический журнал, 56 (1): 71–76, Дои:10.4153 / CJM-2004-004-5
^ Рибенбойм, Пауло (1972). Алгебраические числа. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.
^ Харди, Г. Х .; Райт, Э. М. (1975). Введение в теорию чисел. Оксфорд.
^ Кларк, Дэвид А. (1994). «Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не евклидово по норме». Manuscripta Mathematica. 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129. Дои:10.1007 / BF02567617. Zbl 0817.11047.
^ Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II. Нью-Йорк: Dover Publications. стр.II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.