Целое число Эйзенштейна - Eisenstein integer

«Целое число Эйлера» и «Целое число Эйлера» перенаправляют сюда. Для использования в других целях см. Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера § Числа Эйлера.

Целые числа Эйзенштейна как точки пересечения треугольной решетки на комплексной плоскости

В математика, Целые числа Эйзенштейна (названный в честь Готтхольд Эйзенштейн ), иногда также известный^[1] так как Целые числа Эйлера (после Леонард Эйлер ), находятся сложные числа формы

${\displaystyle z=a+b\omega ,}$

где а и б находятся целые числа и

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}}}$

это примитивный (следовательно, ненастоящий) кубический корень из единицы. Целые числа Эйзенштейна образуют треугольная решетка в комплексная плоскость, в отличие от Гауссовские целые числа, которые образуют квадратная решетка в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна - это счетно бесконечное множество.

Характеристики

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо из алгебраические целые числа в поле алгебраических чисел ℚ (ω) - третий круговое поле. Чтобы убедиться, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими, обратите внимание, что каждое   z = a + b ω  является корнем монический многочлен

${\displaystyle z^{2}-(2\,a-b)\,z+\left(a^{2}-a\,b+b^{2}\right)~.}$

Особенно, ω удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0~.}$

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна   а + б ω  и  c + d ω  дается явно

${\displaystyle (a+b\,\omega )\,(c+d\,\omega )=(a\,c-b\,d)+(b\,c+a\,d-b\,d)\,\omega ~.}$

Норма целого числа Эйзенштейна - это просто квадрат его модуль, и задается

${\displaystyle {\left|a+b\,\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-a\,b+b^{2}~,}$

что явно является положительным обыкновенным (рациональным) целым числом.

Так же комплексно сопряженный из ω удовлетворяет

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.}$

В группа единиц в этом кольце циклическая группа сформированный шестой корни единства в комплексной плоскости: ${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,}$ целые числа Эйзенштейна нормы 1.

Простые числа Эйзенштейна

Основная статья: Эйзенштейн простое

Малые простые числа Эйзенштейна.

Если Икс и у являются целыми числами Эйзенштейна, мы говорим, что Икс разделяет у если есть какое-то целое число Эйзенштейна z такой, что у = zx. Неединичное целое число Эйзенштейна Икс считается Эйзенштейн простое если его единственные неединичные делители имеют вид ux, где ты является любой из шести единиц.

Есть два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычный простое число (или рациональное простое число), что соответствует 2 мод 3 также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, 3 и любое рациональное простое число, конгруэнтное 1 мод 3 равен норме Икс² − ху + у² целого числа Эйзенштейна Икс + ωy. Таким образом, такое простое число может быть факторизовано как (Икс + ωy)(Икс + ω²у), и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует Евклидова область чья норма N дается квадратным модулем, как указано выше:

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

А алгоритм деления применяется к любым дивидендам ${\displaystyle \alpha }$ и делитель ${\displaystyle \beta \neq 0}$, дает частное ${\displaystyle \kappa }$ и остаток ${\displaystyle \rho }$ меньше делителя, удовлетворяя:

${\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).}$

Вот ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\kappa ,\rho }$ все числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает Евклидов алгоритм, что доказывает Лемма евклида и уникальная факторизация целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Один алгоритм деления следующий. Сначала выполните деление в поле комплексных чисел и запишите частное через ω:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,}$

для рационального ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$. Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округляя рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:

${\displaystyle \kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .}$

Вот ${\displaystyle \lfloor x\rceil }$ может обозначать любой из стандартных округление к целочисленным функциям.

Причина, по которой это удовлетворяет ${\displaystyle N(\rho )<N(\beta )}$, в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичное целое число кольца, заключается в следующем. Фундаментальная область идеала ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]\beta =\mathbb {Z} \beta +\mathbb {Z} \omega \beta }$, действующий сдвигами на комплексную плоскость, представляет собой ромб 60 ° -120 ° с вершинами ${\displaystyle 0,\beta ,\omega \beta ,\beta {+}\omega \beta }$. Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а частное κ является одной из его вершин. Остаток - это квадратное расстояние от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме составляет всего ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |}$, так ${\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$. (Размер ρ можно немного уменьшить, взяв κ быть ближайшим углом.)

Коэффициент C целыми числами Эйзенштейна

В частное комплексной плоскости C посредством решетка содержащий все целые числа Эйзенштейна, является комплексный тор вещественной размерности 2. Это один из двух торов с максимальным симметрия среди всех таких сложных торов.^{[нужна цитата ]} Этот тор можно получить, отождествив каждую из трех пар противоположных сторон правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор - это фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке Гауссовские целые числа, и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, такой как [0,1] × [0,1].)

Смотрите также

• Целое гауссово
• Кольцо Куммера
• Систолическая геометрия
• Постоянная Эрмита
• Кубическая взаимность
• Неравенство тора Лёвнера
• Кватернион Гурвица
• Квадратичное целое число

Заметки

1. Сураньи, Ласло (1997). Алгебра. ТИПОТЕКС. п. 73. и Салай, Михай (1991). Számelmélet. Tankönyvkiadó. п. 75. оба называют эти числа «Эйлер-эгешек», то есть целые эйлеровы числа. Последний утверждает, что Эйлер работал с ними в доказательстве.

внешние ссылки

• Целое число Эйзенштейна - из MathWorld