Неравенство тора Лёвнера - Loewners torus inequality

Чарльз Лёвнер в 1963 году

В дифференциальная геометрия, Неравенство тора Лёвнера является неравенство из-за Чарльз Лёвнер. Это связывает систола и площадь произвольного Риманова метрика на 2-тор.

Заявление

Кратчайшая петля на торе

В 1949 г. Чарльз Лёвнер доказал, что каждая метрика на 2-тор ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ удовлетворяет оптимальному неравенству

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\;\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

где "sys" это его систола, т.е. наименьшая длина несжимаемой петли. Константа справа - это Постоянная Эрмита ${\displaystyle \gamma _{2}}$ в размерности 2, так что неравенство тора Лёвнера можно переписать в виде

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}).}$

Впервые неравенство было упомянуто в литературе в Пу (1952).

Случай равенства

Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемой равносторонний тор, т. е. тор, группа преобразований колоды которого есть в точности шестиугольная решетка натянутая на кубические корни из единицы в ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Альтернативная формулировка

Для двоякопериодической метрики на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (например, вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ который инвариантен ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ изометрическое действие) существует ненулевой элемент ${\displaystyle g\in \mathbb {Z} ^{2}}$ и точка ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}}$ такой, что ${\displaystyle \operatorname {dist} (p,g.p)^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (F)}$, куда ${\displaystyle F}$ является фундаментальной областью действия, а ${\displaystyle \operatorname {dist} }$ - риманово расстояние, а именно наименьшая длина пути, соединяющего ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle g.p}$.

Доказательство торового неравенства Лёвнера.

Неравенство тора Лёвнера легче всего доказать, используя вычислительную формулу для дисперсии

${\displaystyle E(X^{2})-(E(X))^{2}=\mathrm {var} (X).\,}$

А именно, формула применяется к вероятностная мера определяется мерой плоского тора единичной площади в конформном классе данного тора. Для случайной величины Икс, берется конформный множитель данной метрики по отношению к плоской. Тогда ожидаемое значение E (Икс ²) из Икс ² выражает общую площадь данной метрики. Между тем, ожидаемое значение E (Икс) из Икс можно связать с систолой, используя Теорема Фубини. Дисперсия Икс можно рассматривать как изосистолический дефект, аналогичный изопериметрическому дефекту Неравенство Боннесена. Таким образом, этот подход дает следующую версию неравенства тора Лёвнера с изосистолическим дефектом:

${\displaystyle \mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}(\mathrm {sys} )^{2}\geq \mathrm {var} (f),}$

куда ƒ - конформный фактор метрики относительно плоской метрики единичной площади в ее конформном классе.

Высший род

Независимо от того, неравенство

${\displaystyle (\mathrm {sys} )^{2}\leq \gamma _{2}\,\mathrm {area} }$

удовлетворяется всеми поверхностями неположительных Эйлерова характеристика неизвестно. За ориентируемые поверхности представителей рода 2 и 20 и выше, ответ утвердительный, см. работу Каца и Сабурау ниже.

Смотрите также

• Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Целое число Эйзенштейна (пример гексагональной решетки)
• Систолы поверхностей

Рекомендации

• Горовиц, Чарльз; Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2009). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа. 19 (4): 796–808. arXiv:0803.0690. Дои:10.1007 / s12220-009-9090-у. МИСТЕР  2538936.
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология. Математические обзоры и монографии. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / Surv / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. МИСТЕР  2292367.
• Кац, Михаил Г .; Сабурау, Стефан (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Эргодическая теория Dynam. Системы. 25 (4): 1209–1220. arXiv:math.DG / 0410312. Дои:10.1017 / S0143385704001014. МИСТЕР  2158402.
• Кац, Михаил Г .; Сабурау, Стефан (2006). «Гиперэллиптические поверхности - Лёвнер». Proc. Амер. Математика. Soc. 134 (4): 1189–1195. arXiv:math.DG / 0407009. Дои:10.1090 / S0002-9939-05-08057-3. МИСТЕР  2196056.
• Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях». Pacific J. Math. 2 (1): 55–71. МИСТЕР  0048886.