Гипотеза области заполнения - Filling area conjecture

В дифференциальная геометрия, Михаил Громов с гипотеза о площади заполнения утверждает, что полушарие имеет минимальную площадь среди ориентируемый поверхности, которые заполняют замкнутую кривую заданной длины, не создавая сокращений между ее точками.

Определения и формулировка гипотезы

Каждая гладкая поверхность M или кривой в Евклидово пространство это метрическое пространство, в которой (внутреннее) расстояние d_M(Икс,у) между двумя точками Икс, у из M определяется как нижняя грань длин кривых, выходящих из Икс к у вдоль M. Например, на замкнутой кривой ${\displaystyle C}$ длины 2L, для каждой точки Икс кривой существует единственная другая точка кривой (называемая противоположный из Икс) на расстоянии L из Икс.

А компактный поверхность M заполняет замкнутая кривая C если его граница (также называемая граница, обозначенный ∂M) - кривая C. Начинка M говорят изометрический если для любых двух точек Икс,у граничной кривой C, Расстояние d_M(Икс,у) между ними вдоль M такое же (не меньше), чем расстояние d_C(Икс,у) по границе. Другими словами, изометрическое заполнение кривой означает ее заполнение без использования ярлыков.

Вопрос: Насколько малой может быть площадь поверхности данной длины, изометрически заполняющей граничную кривую?

Например, в трехмерном евклидовом пространстве круг

${\displaystyle C=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}=1\}}$

(длиной 2π) заполнен плоским диском

${\displaystyle D=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$

которая не является изометрической заливкой, потому что любой прямой аккорд вдоль нее - это ярлык. Напротив, полушарие

${\displaystyle H=\{(x,y,z):\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1{\text{ and }}z\geq 0\}}$

является изометрическим заполнением того же круга C, у которого есть в два раза больше плоского диска. Это минимально возможная площадь?

Поверхность можно представить как сделанную из гибкого, но не растяжимого материала, что позволяет перемещать и сгибать ее в евклидовом пространстве. Ни одно из этих преобразований не изменяет ни площадь поверхности, ни длину нарисованных на ней кривых, которые имеют отношение к проблеме. Поверхность можно вообще удалить из евклидова пространства, получив Риманова поверхность, что является абстрактным гладкая поверхность с Риманова метрика который кодирует длину и площадь. Взаимно, согласно Теорема Нэша-Койпера, любая риманова поверхность с границей может быть вложена в евклидово пространство, сохраняя при этом длины и площадь, заданные римановой метрикой. Таким образом, проблема заполнения может быть сформулирована эквивалентно как вопрос о Римановы поверхности, которые никак не помещаются в евклидово пространство.

Гипотеза (Гипотеза Громова о площади заполнения, 1983): Полушарие имеет минимальную площадь среди ориентируемый компактные римановы поверхности, изометрически заполняющие их граничную кривую заданной длины.^{[1]:п. 13}

Доказательство Громова для случая римановых дисков

В той же статье, где Громов сформулировал гипотезу, он доказал, что

полусфера имеет наименьшую площадь среди римановых поверхностей, которые изометрически заполняют окружность заданной длины и являются гомеоморфный к диск.^[1]

Доказательство: Позволять ${\displaystyle M}$ - риманов диск, изометрически заполняющий свою границу длины ${\displaystyle 2L}$. Склейте каждую точку ${\displaystyle x\in \partial M}$ с его противоположной точкой ${\displaystyle -x}$, определяемую как единственную точку ${\displaystyle \partial M}$ то есть на максимально возможном расстоянии ${\displaystyle L}$ из ${\displaystyle x}$. Склеивая таким образом, мы получаем замкнутую риманову поверхность ${\displaystyle M'}$ который гомеоморфен реальная проективная плоскость и чей систола (длина самой короткой несжимаемой кривой) равна ${\displaystyle L}$. (И наоборот, если мы разрежем проективную плоскость вдоль кратчайшей несжимаемой петли длины ${\displaystyle L}$, получим диск, изометрически заполняющий его границу длины ${\displaystyle 2L}$.) Таким образом, минимальная площадь изометрического заполнения ${\displaystyle M}$ может быть равна минимальной площади, которую может иметь риманова проективная плоскость систолы. ${\displaystyle L}$ могу иметь. Но потом Систолическое неравенство Пу точно утверждает, что риманова проективная плоскость данной систолы имеет минимальную площадь тогда и только тогда, когда она круглая (то есть полученная из евклидовой сферы путем отождествления каждой точки с ее противоположностью). Площадь этой круглой проективной плоскости равна площади полушария (поскольку каждая из них имеет половину площади сферы).

Доказательство неравенства Пу, в свою очередь, опирается на теорема униформизации.

Заполнения финслер-метриками

В 2001 году Сергей Иванов представил еще один способ доказать, что полушарие имеет наименьшую площадь среди изометрических заполнений, гомеоморфных диску.^[2][3][4] Его аргумент не использует теорема униформизации и основан вместо этого на топологическом факте, что две кривые на диске должны пересекаться, если их четыре конечные точки находятся на границе и чередуются. Более того, доказательство Иванова в целом применимо к дискам с Метрики Финслера, которые отличаются от римановых метрик тем, что они не обязаны удовлетворять Уравнение пифагора на бесконечно малом уровне. Площадь финслеровой поверхности может быть определена различными неэквивалентными способами, и здесь используется Площадь Холмса – Томпсона, что совпадает с обычной областью, когда метрика риманова. Иванов доказал, что

Полусфера имеет минимальную площадь Холмса – Томпсона среди финслеровских дисков, изометрически заполняющих замкнутую кривую заданной длины.

Доказательство теоремы Иванова.

Позволять (M,F) - финслеров диск, изометрически заполняющий свою границу длины 2L. Можно предположить, что M стандартный круглый диск в ℝ^2, а Метрика Финслера F: ТM = M × ℝ^2 → [0,+∞) гладкая и сильно выпуклая.[5] Область Холмса – Томпсона пломбы можно вычислить по формуле ${\displaystyle \operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)={\frac {1}{\pi }}\iint _{M}|B_{x}^{*}|\,\mathrm {d} x_{0}\,\mathrm {d} x_{1}}$ где для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$, набор ${\displaystyle B_{x}^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ дуальный единичный шар нормы ${\displaystyle F_{x}}$ (единичный шар двойная норма ${\displaystyle F_{x}^{*}}$), и ${\displaystyle |B_{x}^{*}|}$ его обычная область как подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Выберите коллекцию ${\displaystyle P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M}$ граничных точек, перечисленных в порядке против часовой стрелки. Для каждой точки ${\displaystyle p_{i}}$, определим на M скалярная функция ${\displaystyle f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)}$. Эти функции обладают следующими свойствами: Каждая функция ${\displaystyle f_{i}:M\to \mathbb {R} }$ Липшиц на M и поэтому (по Теорема Радемахера ) дифференцируемые в почти каждый точка ${\displaystyle x\in M}$. Если ${\displaystyle f_{i}}$ дифференцируема во внутренней точке ${\displaystyle x\in M^{\circ }}$, то существует единственная кратчайшая из ${\displaystyle p_{i}}$ к Икс (параметризованная с помощью единицы скорости), которая достигает Икс со скоростью ${\displaystyle v_{i}}$. Дифференциал ${\displaystyle \mathrm {d} _{x}f_{i}}$ имеет норму 1 и является единственным ковектором ${\displaystyle \varphi \in B_{x}^{*}}$ такой, что ${\displaystyle \varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})}$. В каждой точке ${\displaystyle x\in M^{\circ }}$ где все функции ${\displaystyle f_{i}}$ дифференцируемы, ковекторы ${\displaystyle \mathrm {d} f_{i}}$ различны и расположены против часовой стрелки на дуальной единичной сфере ${\displaystyle \partial B_{x}^{*}}$. В самом деле, они должны быть разными, потому что разные геодезические не могут достичь ${\displaystyle x}$ с такой же скоростью. Кроме того, если три из этих ковекторов ${\displaystyle \mathrm {d} _{x}f_{i},\mathrm {d} _{x}f_{j},\mathrm {d} _{x}f_{k}}$ (для некоторых ${\displaystyle 0\leq i<j<k<n}$) появились в обратном порядке, затем две из трех кратчайших кривых от точек ${\displaystyle p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M}$ к ${\displaystyle x}$ пересекли бы друг друга, что невозможно. Таким образом, практически для каждой внутренней точки ${\displaystyle x\in M^{\circ }}$ковекторы ${\displaystyle \mathrm {d} _{x}f_{i}}$ - это вершины, перечисленные в порядке против часовой стрелки, выпуклого многоугольника, вписанного в двойственный единичный шар ${\displaystyle B_{x}^{*}}$. Площадь этого многоугольника ${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}}$ (где индекс я +1 вычисляется по модулю п). Следовательно, мы имеем оценку снизу ${\displaystyle c_{P}:=\int _{M}\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{i+1}\leq \pi \,\operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F),}$ для области пломбирования. Если мы определим 1-форму ${\displaystyle \theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}}$, то мы можем переписать эту нижнюю границу, используя Формула Стокса в качестве ${\displaystyle c_{P}=\int _{M}\mathrm {d} \theta _{P}=\int _{\partial M}\theta _{P}=\dots =2L^{2}-\sum _{i}\delta _{i}^{2}\ {\xrightarrow {P\ {\text{dense}}}}\ 2L^{2}}$. Граничный интеграл, который здесь появляется, определяется в терминах функций расстояния ${\displaystyle f_{i}}$ ограничен границей, которая не зависят от изометрического заполнения. Следовательно, результат интеграла зависит только от размещения точек. ${\displaystyle p_{i}}$ по кругу длины 2L. Мы пропустили вычисления и выразили результат через длины ${\displaystyle \delta _{i}}$ каждой граничной дуги против часовой стрелки из точки ${\displaystyle p_{i}}$ к следующему пункту ${\displaystyle p_{i+1}}$. Расчет действителен, только если ${\displaystyle \delta _{i}<{\frac {L}{2}}}$. Таким образом, наша нижняя оценка площади изометрического заполнения Финслера сходится к ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}2L^{2}}$ как коллекция ${\displaystyle P\subseteq \partial M}$ уплотняется. Отсюда следует, что ${\displaystyle \operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }(M,F)\geq {\frac {1}{\pi }}\,2L^{2}=\operatorname {Area} ({\text{hemisphere}})}$, как мы должны были доказать.

В отличие от риманова случая, существует множество финслеровских дисков, которые изометрически заполняют замкнутую кривую и имеют ту же площадь Холмса – Томпсона, что и полусфера. Если Хаусдорф район вместо этого используется минимальность полушария, но полусфера становится уникальным минимизатором. Это следует из теоремы Иванова, поскольку площадь Хаусдорфа финслерова многообразия никогда не меньше площади Холмса – Томпсона., и две площади равны тогда и только тогда, когда метрика риманова.

Неминимальность полушария среди рациональных наполнений с финслеровой метрикой

Евклидов диск, заполняющий круг, можно заменить без уменьшения расстояния между граничными точками финслеровым диском, заполняющим тот же круг. N= 10 раз (в том смысле, что его граница охватывает окружность N раз), но у которого площадь Холмса – Томпсона меньше N раз больше площади диска.^[6] Для полушария можно найти аналогичную замену. Другими словами, гипотеза о площади заполнения неверна, если Финслер 2-цепи с рациональные коэффициенты разрешены в качестве заполнения, а не ориентируемых поверхностей (которые можно рассматривать как 2-цепочки с целые коэффициенты).

Римановы заполнения рода один и гиперэллиптичность

Ориентируемая риманова поверхность род тот, который изометрически заполняет круг, не может иметь меньшую площадь, чем полусфера.^[7] Доказательство в этом случае снова начинается с склейки антиподальных точек границы. Полученная таким образом неориентируемая замкнутая поверхность имеет ориентируемая двойная крышка второго рода, и поэтому гиперэллиптический. Затем в доказательстве используется формула Дж. Херша из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель в форме восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе. Формула Херша выражает площадь метрики в конформном классе футбольного мяча как среднее значение энергии петель в виде восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает в этом случае гипотезу о площади заполнения.

Почти плоские многообразия - это минимальные заполнения своих граничных расстояний

Если риманово многообразие M (любого измерения) почти плоский (точнее, M это регион ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с римановой метрикой, которая ${\displaystyle C^{2}}$-вблизи стандартной евклидовой метрики), то M это минимизатор объема: его нельзя заменить ориентируемым римановым многообразием, которое заполняет ту же границу и имеет меньший объем, без уменьшения расстояния между некоторыми граничными точками.^[8] Это означает, что если кусок сферы достаточно мал (и, следовательно, почти плоский), то это минимизатор объема. Если эту теорему можно распространить на большие области (а именно, на все полушарие), то гипотеза о заполнении областей верна. Было высказано предположение, что все простые римановы многообразия (те, которые выпуклы на своей границе и где каждые две точки соединены единственной геодезической) являются минимизаторами объема.^[8]

Доказательство того, что каждое почти плоское многообразие M минимизатор объема включает встраивание M в ${\displaystyle L^{\infty }(\partial M)}$, а затем показать, что любая изометрическая замена M также может быть отображено в том же пространстве ${\displaystyle L^{\infty }(\partial M)}$, и проецируется на M, не увеличивая его объем. Это означает, что у заменяемого коллектора не меньше объема, чем у исходного коллектора. M.

Смотрите также

• Радиус заполнения
• Неравенство Пу
• Систолическая геометрия

Рекомендации

1. Громов, Михаил (1983). «Заполнение римановых многообразий». J. Diff. Geom. 18 (1): 1–147. Дои:10.4310 / jdg / 1214509283. МИСТЕР  0697984.
2. Иванов, Сергей В. (2001). «О двумерных минимальных заполнениях». Алгебра и анализ (на русском). 13 (1): 26–38.
3. Иванов, Сергей В. (2002). «О двумерных минимальных заполнениях». Санкт-Петербургская математика. J. 13 (1): 17–25. МИСТЕР  1819361.
4. Иванов, Сергей В. (2011). «Заполнение минимальности финслеровских 2-дисков». Proc. Стеклова Математика. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. Дои:10.1134 / S0081543811040079.
5. Если исходная метрика не является гладкой и сильно выпуклой, то мы аппроксимируем ее метрикой, которая обладает этими свойствами.
6. Бураго, Дмитрий; Иванов, Сергей В. (2002). "Об асимптотическом объеме финслеровых торов, минимальных поверхностях в нормированных пространствах и симплектическом объеме заполнения". Анна. математики. 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX  10.1.1.625.3347. Дои:10.2307/3597285. JSTOR  3597285. МИСТЕР  1954238.
7. Бангерт, Виктор; Крок, Кристофер Б.; Иванов, Сергей; Кац, Михаил Г. (2005). «Гипотеза области заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности». Геом. Функц. Анальный. 15 (3): 577–597. arXiv:математика / 0405583. Дои:10.1007 / S00039-005-0517-8. МИСТЕР  2221144.
8. Бураго, Дмитрий; Иванов, Сергей В. (2010). «Граничная жесткость и минимальность заполняющего объема метрики близка к плоской». Анна. математики. 2. 171 (2): 1183–1211. Дои:10.4007 / анналы.2010.171.1183. МИСТЕР  2630062.

• Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология, Математические обзоры и монографии, 137, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4177-8