Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий - Gromovs systolic inequality for essential manifolds

в математический поле Риманова геометрия, М. Громов с систолическое неравенство ограничивает длину кратчайшего несжимаемый петля на Риманово многообразие по объему коллектора. Систолическое неравенство Громова было доказано в 1983 году;^[1] его можно рассматривать как обобщение, хотя и неоптимальное, Неравенство тора Лёвнера и Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости.

Технически пусть M быть существенный Риманово многообразие размерности п; обозначить через sysπ₁(M) гомотопия 1-систола M, то есть наименьшая длина несжимаемой петли на M. Тогда неравенство Громова принимает вид

${\displaystyle \left(\operatorname {sys\pi } _{1}(M)\right)^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}$

куда C_п универсальная константа, зависящая только от размерности M.

Основные коллекторы

Основная статья: существенное многообразие

Замкнутое многообразие называется существенный если это фундаментальный класс определяет ненулевой элемент в гомология своего фундаментальная группа, точнее, в гомологиях соответствующих Пространство Эйленберга – Маклейна. Здесь фундаментальный класс берется в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и в коэффициентах по модулю 2 в противном случае.

Примеры существенных многообразий включают асферические коллекторы, реальные проективные пространства, и линзы.

Доказательства неравенства Громова.

Оригинальное доказательство Громова 1983 года занимает около 35 страниц. Он опирается на ряд методов и неравенств глобальной римановой геометрии. Отправной точкой доказательства является вложение X в банахово пространство борелевских функций на X, снабженное sup нормой. Вложение определяется отображением точки п из Икс, к реальной функции на Икс задано расстоянием от точки п. Доказательство использует Coarea неравенство, то изопериметрическое неравенство, неравенство конуса и теорема деформации Герберт Федерер.

Заполнение инвариантов и недавние работы

Одна из ключевых идей доказательства - введение инвариантов заполнения, а именно радиус заполнения и объем заполнения Икс. А именно, Громов доказал точное неравенство, связывающее систолу и радиус заполнения:

${\displaystyle \mathrm {sys\pi } _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (X),}$

справедливо для всех существенных многообразий Икс; а также неравенство

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)\leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{\tfrac {1}{n}}(X),}$

действительно для всех замкнутых коллекторов Икс.

Это было показано Бруннбауэр (2008) что инварианты заполнения, в отличие от систолических инвариантов, не зависят от топологии многообразия в подходящем смысле.

Гут (2011) и Амбросио и Кац (2011) разработал подходы к доказательству систолического неравенства Громова для существенных многообразий.

Неравенства для поверхностей и многогранников.

Более сильные результаты доступны для поверхностей, где асимптотика, когда род стремится к бесконечности, к настоящему времени хорошо изучена, см. систолы поверхностей. Имеется равномерное неравенство для произвольных 2-комплексов с несвободными фундаментальными группами, доказательство которого опирается на Теорема Грушко о разложении.

Примечания

1. видеть Громов (1983)

Смотрите также

• Гипотеза области заполнения
• Неравенство Громова (значения)
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Систолическая геометрия

Рекомендации

• Амбросио, Луиджи; Кац, Михаил (2011), «Плоские токи по модулю p в метрических пространствах и неравенства радиусов заполнения», Комментарии Mathematici Helvetici, 86 (3): 557–592, arXiv:1004.1374, Дои:10.4171 / CMH / 234, МИСТЕР  2803853.
• Брунбауэр, М. (2008), «Неравенства заполнения не зависят от топологии», J. Reine Angew. Математика., 624: 217–231
• Громов, М. (1983), "Заполняющие римановы многообразия", J. Diff. Геом., 18: 1–147, МИСТЕР  0697984, Zbl  0515.53037, PE  euclid.jdg / 1214509283
• Гут, Ларри (2011), «Объемы шаров в больших римановых многообразиях», Анналы математики, 173 (1): 51–76, arXiv:математика / 0610212, Дои:10.4007 / летопись.2011.173.1.2, МИСТЕР  2753599
• Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология, Математические обзоры и монографии, 137, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, п. 19, ISBN  978-0-8218-4177-8