Объектив пространство - Lens space

А пространство объектива является примером топологическое пространство рассматривается в математика. Этот термин часто относится к определенному классу 3-х коллектор, но в целом может быть определен для более высоких измерений.

В случае 3-многообразия линзовое пространство можно визуализировать как результат склеивания двух полноторие вместе гомеоморфизмом их границ. Часто 3-сфера и ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$, оба из которых могут быть получены, как указано выше, не учитываются, поскольку считаются тривиальными частными случаями.

Трехмерные линзовые пространства ${\displaystyle L(p,q)}$ были представлены Генрих Титце в 1908 году. Это были первые известные примеры 3-многообразий, которые не определялись их гомология и фундаментальная группа только и простейшие примеры замкнутых многообразий, тип гомеоморфизма которых не определяется их гомотопическим типом. Дж. В. Александер в 1919 г. показал, что линзовые пространства ${\displaystyle L(5;1)}$ и ${\displaystyle L(5;2)}$ не были гомеоморфны, хотя у них были изоморфные фундаментальные группы и одни и те же гомологии, хотя они не имеют одного и того же гомотопического типа. Другие линзовые пространства имеют даже тот же гомотопический тип (и, следовательно, изоморфные фундаментальные группы и гомологии), но не тот же тип гомеоморфизма; поэтому их можно рассматривать как рождение геометрическая топология многообразий в отличие от алгебраическая топология.

Существует полная классификация трехмерных линзовых пространств по фундаментальная группа и Кручение Рейдемейстера.

Определение

Трехмерные линзовые пространства ${\displaystyle L(p;q)}$ являются частными от ${\displaystyle S^{3}}$ к ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-действия. Точнее, пусть ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ быть совмещать целые числа и рассмотреть ${\displaystyle S^{3}}$ как единичная сфера в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Затем ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-действие на ${\displaystyle S^{3}}$ порожденный гомеоморфизмом

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$

бесплатно. Результирующий факторное пространство называется пространство объектива ${\displaystyle L(p;q)}$.

Это можно обобщить на более высокие измерения следующим образом: Пусть ${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$ быть целыми числами такими, что ${\displaystyle q_{i}}$ взаимно просты с ${\displaystyle p}$ и рассмотреть ${\displaystyle S^{2n-1}}$ как единичная сфера в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Объектив пространство ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$ является частным от ${\displaystyle S^{2n-1}}$ бесплатно ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-действие, инициированное

${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}$

В трех измерениях у нас есть ${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q).}$

Характеристики

Фундаментальная группа всех линзовых пространств ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$ является ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ независимо от ${\displaystyle q_{i}}$.

Объективы локально симметричные пространства, но не (полностью) симметрично, за исключением ${\displaystyle L(2;1)}$ что симметрично. (Локально-симметричные пространства - это симметричные пространства, которые делятся на факторы изометрии, не имеющей неподвижных точек; линзовые пространства соответствуют этому определению.)

Альтернативные определения трехмерных линзовых пространств

Трехмерное пространство линз ${\displaystyle L(p;q)}$ часто определяется как сплошной шар со следующей идентификацией: первая отметка п равноотстоящие точки на экваторе твердого шара, обозначим их ${\displaystyle a_{0}}$ к ${\displaystyle a_{p-1}}$, затем на границе шара проведите геодезические линии, соединяющие точки с северным и южным полюсами. Теперь определите сферические треугольники, отождествив северный полюс с южным полюсом и точки. ${\displaystyle a_{i}}$ с ${\displaystyle a_{i+q}}$ и ${\displaystyle a_{i+1}}$ с ${\displaystyle a_{i+q+1}}$. Полученное пространство гомеоморфно линзовому пространству ${\displaystyle L(p;q)}$.

Другое родственное определение - рассматривать твердый шар как следующее твердое тело бипирамида: построить плоский регулярный п односторонний многоугольник. Поставь две точки п и s непосредственно над и под центром многоугольника. Постройте бипирамиду, соединив каждую точку регулярного п двусторонний многоугольник в п и s. Залейте бипирамиду, чтобы она стала сплошной, и дайте треугольникам на границе такую ​​же идентификацию, как указано выше.

Классификация трехмерных линзовых пространств

Классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности известны следующим образом. Трехмерные пространства ${\displaystyle L(p;q_{1})}$ и${\displaystyle L(p;q_{2})}$ находятся:

1. гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$ для некоторых ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$;
2. гомеоморфен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$.

В этом случае они «очевидно» гомеоморфны, поскольку можно легко произвести гомеоморфизм. Труднее показать, что это единственные гомеоморфные линзовые пространства.

Инвариантом, который дает гомотопическую классификацию трехмерных линзовых пространств, является форма торсионного соединения.

Классификация гомеоморфизма более тонкая и дается формулой Кручение Рейдемейстера. Это было дано в (Рейдемейстер 1935 ) как классификация до PL гомеоморфизм, но это было показано в (Броды 1960 ) как классификация гомеоморфизмов. Говоря современным языком, линзовые пространства определяются просто гомотопия типа, и нет нормальных инвариантов (вроде характеристические классы ) или же обструкция хирургии.

А теоретико-узловой классификация приведена в (Пржитицкий и Ясухара 2003 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFPrzytyckiYasuhara2003 (помощь):позволять C Замкнутая кривая в пространстве линзы, которая поднимается до узла в универсальной крышке пространства линзы. Если поднятый узел имеет тривиальный Полином александра, вычислить форму зацепления кручения на паре (C, C) - тогда это дает классификацию гомеоморфизма.

Другой инвариант - это гомотопический тип конфигурационные пространства – (Сальваторе и Лонгони 2004 ) Ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSalvatoreLongoni2004 (помощь) показал, что гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные линзовые пространства могут иметь конфигурационные пространства с разными типами гомотопий, которые могут быть обнаружены разными Продукция Massey.

Смотрите также

• Сферический 3-х коллектор

Рекомендации

• Глен Бредон, Топология и геометрия, Springer Graduate Texts in Mathematics 139, 1993.
• Броуди, Э. Дж. (1960), "Топологическая классификация линзовых пространств", Анналы математики, 2, 71 (1): 163–184, Дои:10.2307/1969884, JSTOR  1969884
• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, 2002.
• Аллен Хэтчер, Замечания по базовой топологии 3-многообразий. (Объясняет классификацию L (p, q) с точностью до гомеоморфизма.)
• Пржитицкий, Юзеф Х.; Ясухара, Акира (2003), "Симметрия связей и классификация линз", Geometriae Dedicata, 98 (1): 57–61, Дои:10.1023 / А: 10240, МИСТЕР  1988423
• Рейдемейстер, Курт (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 11 (1): 102–109, Дои:10.1007 / BF02940717
• Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), "Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными", Топология, 44 (2): 375–380, arXiv:математика / 0401075, Дои:10.1016 / j.top.2004.11.002
• Х. Зайферт и В. Трелфолл, Учебник топологии Чистая и прикладная математика 89, Перевод с немецкого издания 1934 года, Academic Press Inc., Нью-Йорк (1980)
• Генрих Титце, Ueber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Монатш. fuer Math. und Phys. 19, 1–118 (1908) (${\displaystyle \S }$20) английский перевод (2008) автор: Джон Стиллвелл.
• Мэтью Уоткинс, «Краткий обзор линз» (Кандидатская диссертация 1990 г.)

внешняя ссылка

• Объективы в Manifold Atlas
• Пространства линз: история в Manifold Atlas
• Поддельные линзы в Manifold Atlas