Обструкция хирургии - Surgery obstruction

В математика особенно в теория хирургии, то хирургические препятствия определить карту ${displaystyle heta colon {mathcal {N}}(X) o L_{n}(pi _{1}(X))}$ от нормальные инварианты к L-группы которое в первую очередь является теоретико-множественным отображением (что не обязательно означает гомоморфизм ) со следующим свойством, когда ${displaystyle ngeq 5}$:

Карта нормалей первой степени ${displaystyle (f,b)colon M o X}$ обычно согласованный к гомотопическая эквивалентность тогда и только тогда, когда изображение ${displaystyle heta (f,b)=0}$ в ${displaystyle L_{n}(mathbb {Z} [pi _{1}(X)])}$.

Набросок определения

Обструкция хирургического вмешательства карты нормалей первой степени имеет относительно сложное определение.

Рассмотрим карту нормалей первой степени ${displaystyle (f,b)colon M o X}$. Идея решения вопроса о том, является ли оно обычно кобордантным гомотопической эквивалентности, состоит в том, чтобы попытаться систематически улучшить ${displaystyle (f,b)}$ так что карта ${displaystyle f}$ становится ${displaystyle m}$-связны (то есть гомотопические группы ${displaystyle pi _{*}(f)=0}$ за ${displaystyle *leq m}$) для высоких ${displaystyle m}$. Это следствие Двойственность Пуанкаре что если мы сможем добиться этого за ${displaystyle m>lfloor n/2floor }$ тогда карта ${displaystyle f}$ уже является гомотопической эквивалентностью. Слово систематически выше относится к тому факту, что кто-то пытается делать операции на ${displaystyle M}$ убивать элементы ${displaystyle pi _{i}(f)}$. На самом деле удобнее пользоваться гомология из универсальные чехлы наблюдать, как подключена карта ${displaystyle f}$ является. Точнее, работает с ядра хирургии ${displaystyle K_{i}({ ilde {M}}):=mathrm {ker} {f_{*}colon H_{i}({ ilde {M}})ightarrow H_{i}({ ilde {X}})}}$ который рассматривает как ${displaystyle mathbb {Z} [pi _{1}(X)]}$-модули. Если все это исчезнет, ​​то карта ${displaystyle f}$ является гомотопической эквивалентностью. Как следствие двойственности Пуанкаре на ${displaystyle M}$ и ${displaystyle X}$ Существует ${displaystyle mathbb {Z} [pi _{1}(X)]}$-модули двойственности Пуанкаре ${displaystyle K^{n-i}({ ilde {M}})cong K_{i}({ ilde {M}})}$, поэтому нужно посмотреть только половину из них, то есть те, для которых ${displaystyle ileq lfloor n/2floor }$.

Может быть создана карта нормалей любой степени 1 ${displaystyle lfloor n/2floor }$- связаны процессом, называемым операцией ниже среднего измерения. Это процесс уничтожения элементов ${displaystyle K_{i}({ ilde {M}})}$ за ${displaystyle i<lfloor n/2floor }$ описанный здесь когда у нас есть ${displaystyle p+q=n}$ такой, что ${displaystyle i=p<lfloor n/2floor }$. После этого есть два случая.

1. Если ${displaystyle n=2k}$ то единственной нетривиальной группой гомологий является ядро ${displaystyle K_{k}({ ilde {M}}):=mathrm {ker} {f_{*}colon H_{k}({ ilde {M}})ightarrow H_{k}({ ilde {X}})}}$. Оказывается, пары чашка-продукт на ${displaystyle M}$ и ${displaystyle X}$ вызвать сочетание чашки и продукта на ${displaystyle K_{k}({ ilde {M}})}$. Это определяет симметричную билинейную форму в случае ${displaystyle k=2l}$ и кососимметричной билинейной формы в случае ${displaystyle k=2l+1}$. Оказывается, эти формы можно уточнить до ${displaystyle varepsilon }$-квадратичные формы, где ${displaystyle varepsilon =(-1)^{k}}$. Эти ${displaystyle varepsilon }$-квадратичные формы определяют элементы в L-группах ${displaystyle L_{n}(pi _{1}(X))}$.

2. Если ${displaystyle n=2k+1}$ определение более сложное. Вместо квадратичной формы из геометрии получается квадратичная формация, которая является своего рода автоморфизмом квадратичных форм. Такая вещь определяет элемент нечетномерной L-группы ${displaystyle L_{n}(pi _{1}(X))}$.

Если элемент ${displaystyle heta (f,b)}$ равен нулю в L-группе операция может быть выполнена на ${displaystyle M}$ модифицировать ${displaystyle f}$ к гомотопической эквивалентности.

Геометрически причина, по которой это не всегда возможно, заключается в том, что выполнение операции в среднем измерении для уничтожения элемента в ${displaystyle K_{k}({ ilde {M}})}$ возможно создает элемент в ${displaystyle K_{k-1}({ ilde {M}})}$ когда ${displaystyle n=2k}$ или в ${displaystyle K_{k}({ ilde {M}})}$ когда ${displaystyle n=2k+1}$. Так что это, возможно, разрушает то, что уже было достигнуто. Однако если ${displaystyle heta (f,b)}$ равно нулю, операции можно организовать так, чтобы этого не произошло.

Пример

В односвязном случае происходит следующее.

Если ${displaystyle n=2k+1}$ нет препятствий.

Если ${displaystyle n=4l}$ тогда обструкция хирургического вмешательства может быть рассчитана как разность сигнатур M и X.

Если ${displaystyle n=4l+2}$ то препятствие к перестройке является Arf-инвариантом связанной квадратичной формы ядра над ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$.

Рекомендации

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0358813
• Люк, Вольфганг (2002), Базовое введение в теорию хирургии (PDF), ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, школы "Теория многомерных многообразий" в Триесте, май / июнь 2001 г., Международный центр теоретической физики Абдуса Салама, Триест 1-224
• Раники, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0, МИСТЕР  2061749
• Уолл, К. Т. С. (1999), Хирургия компактных многообразий, Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0942-6, МИСТЕР  1687388