Полином александра - Alexander polynomial

В математика, то Полином александра это инвариант узла который присваивает многочлен с целыми коэффициентами к каждому типу узла. Джеймс Уодделл Александр II открыл это, первый полином узла, в 1923 г. В 1969 г. Джон Конвей показал версию этого многочлена, которая теперь называется Полином Александера – Конвея, может быть вычислено с использованием отношение мотков, хотя его значение не было осознано до открытия Многочлен Джонса в 1984 году. Вскоре после того, как Конвей переработал многочлен Александера, стало ясно, что подобное отношение клубка было показано в статье Александра о его многочлене.^[1]

Определение

Позволять K быть морской узел в 3-сфера. Позволять Икс быть бесконечным циклическое покрытие из узел дополнения из K. Это покрытие можно получить, разрезав узелок вдоль Поверхность Зейферта из K и циклическое склеивание бесконечного числа копий полученного многообразия с краем. Существует трансформация покрытия т действующий на Икс. Рассмотрим первые гомологии (с целыми коэффициентами) Икс, обозначенный ${\displaystyle H_{1}(X)}$. Преобразование т действует на гомологии, поэтому мы можем рассматривать ${\displaystyle H_{1}(X)}$ а модуль над кольцом Полиномы Лорана ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$. Это называется Александровский инвариант или же Модуль Александра.

Модуль конечно презентабельный; а матрица представления для этого модуля называется Матрица александра. Если количество генераторов, р, меньше или равно количеству отношений, s, то рассмотрим идеал, порожденный всеми р к р миноры матрицы; это нулевая Подходит идеально или же Александр идеал и не зависит от выбора матрицы представления. Если г> с, установите идеал равным 0. Если идеал Александера равен главный, возьми генератор; это называется многочленом Александера узла. Поскольку это единственно с точностью до умножения на моном Лорана ${\displaystyle \pm t^{n}}$, часто фиксируется особая уникальная форма. Александер выбрал нормализацию, чтобы полином имел положительное значение. постоянный срок.

Александр доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, многочлен Александера всегда существует и, очевидно, является инвариантом узла, обозначаемый ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$. Полином Александера для узла, сконфигурированного только одной строкой, является полиномом от t² и тогда это тот же многочлен для узла зеркального отображения. А именно, он не может отличить узел от узла по его зеркальному отображению.

Вычисление полинома

Следующая процедура для вычисления полинома Александера была дана Дж. У. Александером в его статье.^[2]

Принять ориентированный схема узла с п переходы; Существуют п + 2 области узловой диаграммы. Чтобы вычислить многочлен Александера, сначала нужно создать матрица инцидентности размера (п, п + 2). В п строки соответствуют п переходы, и п + 2 столбца в регионы. Значения для элементов матрицы: 0, 1, −1, т, −т.

Рассмотрим запись, соответствующую конкретному региону и пересечению. Если регион не примыкает к перекрестку, вход равен 0. Если регион находится рядом с перекрестком, вход зависит от его местоположения. В следующей таблице приведены записи, определяемые местоположением региона на пересечении с точки зрения входящей линии пересечения.

слева до перехода: -т

справа до перехода: 1

слева после андеркросса: т

справа после андеркроссинга: −1

Удалите из матрицы два столбца, соответствующие соседним регионам, и определите определитель нового п к п матрица. В зависимости от удаленных столбцов ответ будет отличаться умножением на ${\displaystyle \pm t^{n}}$, где степень n не обязательно число пересечений в узле. Чтобы разрешить эту двусмысленность, разделите наибольшую возможную степень т и при необходимости умножьте на -1, чтобы постоянный член был положительным. Это дает многочлен Александера.

Многочлен Александера также может быть вычислен из Матрица Зейферта.

После работы Дж. У. Александра, Ральф Фокс считается копредставлением группы узлов ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$, и ввели некоммутативное дифференциальное исчисление Лиса (1961), что также позволяет вычислить ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$. Подробное изложение этого подхода к высшим многочленам Александера можно найти в книге Кроуэлл и Фокс (1963).

Основные свойства полинома

Полином Александера симметричен: ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$ для всех узлов К.

С точки зрения определения, это выражение Изоморфизм двойственности Пуанкаре ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ куда ${\displaystyle G}$ является частным поля дробей ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ к ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$, рассматриваемый как ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-модуль, а где ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ является сопряженным ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-модуль для ${\displaystyle H_{1}X}$ то есть: как абелева группа она идентична ${\displaystyle H_{1}X}$ но трансформация покрытия ${\displaystyle t}$ действует ${\displaystyle t^{-1}}$.

Кроме того, многочлен Александера равен единице на 1: ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm 1}$.

С точки зрения определения, это выражение того факта, что дополнение узла представляет собой гомологическую окружность, порожденную покрывающим преобразованием ${\displaystyle t}$. В более общем плане, если ${\displaystyle M}$ является трехмерным многообразием такое, что ${\displaystyle rank(H_{1}M)=1}$ он имеет многочлен Александера ${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$ определяется как идеал порядка его бесконечного циклического накрывающего пространства. В этом случае ${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$ с точностью до знака равна порядку подгруппы кручения группы ${\displaystyle H_{1}M}$.

Известно, что каждый интегральный многочлен Лорана, который одновременно является симметричным и равен единице в 1, является многочленом Александера узла (Kawauchi 1996).

Геометрический смысл многочлена

Поскольку идеал Александра является принципиальным, ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$ если и только если коммутаторная подгруппа группы узлов идеально (т.е. равно своему собственному коммутаторная подгруппа ).

Для топологический срез узла, многочлен Александера удовлетворяет условию Фокса – Милнора ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$ куда ${\displaystyle f(t)}$ - некоторый другой целочисленный многочлен Лорана.

Вдвое больше узелковый род ограничена снизу степенью полинома Александера.

Майкл Фридман доказал, что узел в 3-сфере топологический срез; т.е. ограничивает «локально-плоский» топологический диск в 4-шаре, если полином Александера узла тривиален (Freedman and Quinn, 1990).

Кауфман (1983) описывает первое построение полинома Александера с помощью сумм состояний, полученных из физических моделей. Обзор этой темы и другие связи с физикой даны в Кауфман (2001) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKauffman2001 (помощь).

Есть и другие отношения с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при определенных предположениях существует способ изменить гладкую 4-х коллекторный путем выполнения хирургия который состоит в удалении окрестности двумерного тора и замене ее узловым дополнением, пересекаемым с S¹. Результатом является гладкое 4-мерное многообразие, гомеоморфное исходному, хотя теперь Инвариант Зайберга – Виттена был модифицирован умножением на многочлен Александера узла.^[3]

Известно, что узлы с симметриями имеют ограниченные многочлены Александера. См. Раздел о симметрии в (Kawauchi 1996). Тем не менее, многочлен Александера может не обнаруживать некоторые симметрии, например сильную обратимость.

Если узел дополнения слоев над окружностью, то, как известно, многочлен Александера узла моник (коэффициенты при старшем и младшем членах равны ${\displaystyle \pm 1}$). Фактически, если ${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$ расслоение, где ${\displaystyle C_{K}}$ - дополнение к узлу, пусть ${\displaystyle g:S\to S}$ представляют монодромия, тогда ${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$ куда ${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$ - индуцированное отображение на гомологиях.

Отношение к спутниковым операциям

Если узел ${\displaystyle K}$ это спутниковый узел с узлом узор ${\displaystyle K'}$ (существует вложение ${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$ такой, что ${\displaystyle K=f(K')}$, куда ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ является полноторием без узлов, содержащим ${\displaystyle K'}$), тогда ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$, куда ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ это целое число, которое представляет ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ в ${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$.

Примеры: для соединительной суммы ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$. Если ${\displaystyle K}$ раскрученный Уайтхед двойной, тогда ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$.

Полином Александера – Конвея

Александер доказал, что многочлен Александера удовлетворяет соотношению мотков. Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что отношения мотка вместе с выбором значения на развязке достаточно для определения полинома. Версия Конвея представляет собой многочлен от z с целыми коэффициентами, обозначенные ${\displaystyle \nabla (z)}$ и назвал Полином Александера – Конвея (также известен как Многочлен Конвея или же Многочлен Конвея – Александера).

Предположим, нам дана ориентированная диаграмма связей, где ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ представляют собой схемы связей, полученные в результате пересечения и сглаживания изменений в локальной области указанного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Вот соотношение мотков Конвея:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$ (где O - любая диаграмма развязки)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

Связь со стандартным многочленом Александера определяется выражением ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$. Здесь ${\displaystyle \Delta _{L}}$ должны быть правильно нормализованы (умножением ${\displaystyle \pm t^{n/2}}$), чтобы удовлетворить скейновому соотношению ${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$. Заметим, что это соотношение дает многочлен Лорана от т^1/2.

Видеть теория узлов для примера вычисления полинома Конвея трилистника.

Отношение к гомологии Флоера

Используя псевдоголоморфные кривые, Озсват и Сабо (2004) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOzsvathSzabo2004 (помощь) и Расмуссен (2003) ассоциировал биградуированную абелеву группу, называемую гомологиями узлов Флоера, каждому изотопическому классу узлов. Оцененный Эйлерова характеристика узловых гомологий Флора есть многочлен Александера. В то время как полином Александера дает оценку снизу на род узла, Озсват и Сабо (2004b) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOzsvathSzabo2004b (помощь) показали, что узел гомологии Floer обнаруживает род. Аналогично, в то время как многочлен Александера препятствует расслоению дополнительных узлов над окружностью, Ни (2007) показал, что гомология узлов Флоера полностью определяет, когда узел дополняет слои над окружностью. Группы гомологий Флоера узлов являются частью семейства инвариантов гомологий Флоера Хегора; видеть Гомология Флора для дальнейшего обсуждения.

Примечания

1. Александр описывает свое отношение к мотку в конце своей статьи под заголовком «Разные теоремы», что, возможно, поэтому и потерялось. Джоан Бирман упоминает в своей статье Новые точки зрения в теории узлов (Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 28 (1993), № 2, 253–287), что Марк Кидвелл обратил ее внимание на связь Александра в 1970 году.
2. Александр, J.W. «Топологические инварианты узлов и зацеплений» (PDF). Получено 20 марта 2019.
3. Финтушел, Рональд; Стерн, Рональд Дж (1996). «Узлы, звенья и 4-многообразия». arXiv:dg-ga / 9612014.

Рекомендации

• Адамс, Колин С. (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов (Переиздание оригинального издания 1994 г.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3678-1. (доступное введение с использованием подхода мотков)
• Александр, Дж. У. (1928). «Топологические инварианты узлов и зацеплений». Труды Американского математического общества. 30 (2): 275–306. Дои:10.2307/1989123. JSTOR  1989123.
• Кроуэлл, Ричард; Фокс, Ральф (1963). Введение в теорию узлов. Джинн и Ко после Springer Verlag 1977 года.
• Фокс, Ральф (1961). «Быстрое путешествие по теории узлов, в топологии трех многообразий» (Труды Института топологии 1961 г. при Университете Джорджии, под редакцией М.К. Форта). Энглвудские скалы. Н. Дж .: Прентис-Холл: 120–167.
• Фридман, Майкл Х.; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий. Принстонский математический ряд. 39. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-08577-7.
• Кауфман, Луи (1983). «Теория формального узла». Princeton University Press.
• Кауфман, Луи (2012). Узлы и физика (4-е изд.). Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4383-00-4.
• Каваути, Акио (1996). Обзор теории узлов. Бирхаузер. (охватывает несколько различных подходов, объясняет отношения между различными версиями полинома Александера)
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2004). «Голоморфные диски и инварианты узлов». Успехи в математике. 186 (1): 58–116. arXiv:математика / 0209056. Bibcode:2002математика ...... 9056O. Дои:10.1016 / j.aim.2003.05.001.
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2004b). «Голоморфные диски и родовые границы». Геометрия и топология. 8 (2004): 311–334. arXiv:математика / 0311496. Дои:10.2140 / gt.2004.8.311.
• Ни, Йи (2007). «Узел Гомология Флора обнаруживает расслоенные узлы». Inventiones Mathematicae. Изобретать. Математика. 170 (3): 577–608. arXiv:математика / 0607156. Bibcode:2007ИнМат.170..577Н. Дои:10.1007 / s00222-007-0075-9.
• Расмуссен, Джейкоб (2003). Гомологии Флоера и узловые дополнения (Тезис). Гарвардский университет. п. 6378. arXiv:математика / 0306378. Bibcode:2003математика ...... 6378R.
• Рольфсен, Дейл (1990). Узлы и ссылки (2-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликовать или погибнуть. ISBN  978-0-914098-16-4. (объясняет классический подход с использованием инварианта Александера; таблица узлов и связей с полиномами Александера)

внешняя ссылка

• «Инварианты Александра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• "Главная страница " и "Полином Александра-Конвея ", Узел Атлас. - таблицы узлов и связей с вычисленными полиномами Александера и Конвея