Бабушка узел (математика) - Granny knot (mathematics)

Бабушка узел
Распространенное имя	Бабушка узел
Переход нет.	6
Палка нет.	8
Обозначения A-B	${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}}$
Другой
чередование, составной, трехцветный

3D изображение

В теория узлов, то бабушка узел это составной узел полученный путем взятия связанная сумма двух одинаковых трилистник. Это тесно связано с квадратный узел, который также можно описать как связанную сумму двух трилистников. Поскольку узел-трилистник является простейшим нетривиальным узлом, узел-трилистник и квадратный узел являются простейшими из всех составных узлов.

Бабушкин узел - это математическая версия обычного бабушка узел.

Строительство

Узел бабушки может быть построен из двух одинаковых узлов-трилистников, которые должны быть как левыми, так и правыми. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Получившаяся связная сумма - это бабушкин узел.

Важно, чтобы оригинальные узлы трилистника были идентичны друг другу. Если вместо этого используются узлы-трилистники с зеркальным отображением, в результате получается квадратный узел.

Характеристики

В номер перехода бабушкиного узла - шесть, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла. В отличие от квадратного узла, бабушкин узел не является ленточный узел или разрезать узел.

В Полином александра бабушкиного узла

${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},}$

что просто квадрат полинома Александера трилистного узла. Точно так же Многочлен Конвея бабушкиного узла это

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

Эти два многочлена такие же, как и для квадратного узла. Тем не менее Многочлен Джонса для (правого) бабушкиного узла

${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.}$

Это квадрат полинома Джонса для правого узла-трилистника, который отличается от полинома Джонса для квадратного узла.

В группа узлов бабушкиного узла дается презентацией

${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle .}$^[1]

Это изоморфный к узловой группе квадратный узел, и является простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "Бабушкин узел". MathWorld.