Группа узлов - Knot group
В математика, а морской узел является встраивание из круг в 3-х мерный Евклидово пространство. В группа узлов узла K определяется как фундаментальная группа из узел дополнения из K в р3,
Другие соглашения считают узлы вложенными в 3-сферу, и в этом случае группа узлов является фундаментальной группой своего дополнения в .
Характеристики
Два эквивалентных узла имеют изоморфный группы узлов, поэтому группа узлов является инвариант узла и может использоваться для различения определенных пар неэквивалентных узлов. Это потому, что эквивалентность двух узлов является самогомеоморфизмом который изотопен тождеству и отправляет первый узел на второй. Такой гомеоморфизм ограничивается на гомеоморфизм дополнений узлов, и этот ограниченный гомеоморфизм индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. Пример ниже).
В абелианизация группы узлов всегда изоморфна бесконечной циклическая группа Z; это следует потому, что абелианизация согласуется с первым группа гомологии, который легко вычислить.
Группа узлов (или фундаментальная группа ориентированного зацепления в целом) может быть вычислена в Презентация Wirtinger по относительно простому алгоритму.
Примеры
- В развязанный имеет группу узлов, изоморфную Z.
- В трилистник имеет группу узлов, изоморфную группа кос B3. Эта группа имеет презентация
- или же
- А (п,q)-торический узел имеет узловую группу с презентацией
- В узел восьмерки имеет узловую группу с презентацией
- В квадратный узел и бабушка узел имеют изоморфные группы узлов, но эти два узла не эквивалентны.
Смотрите также
дальнейшее чтение
- Хазевинкель, Михиэль, изд. (2001), "Группы узлов и ссылок ", Энциклопедия математики, Спрингер, ISBN 978-1556080104