Ленточный узел - Ribbon knot

Трехмерная визуализация ленточного узла ${\displaystyle 8_{20}}$, показывая свойство ленты

в математический зона теория узлов, а ленточный узел это морской узел ограничивающий самопересекающийся диск только особенности ленты. Интуитивно такой вид сингулярности может быть сформирован путем вырезания щели в диске и пропускания другой части диска через щель. Точнее, этот тип особенности представляет собой замкнутую дугу, состоящую из точек пересечения диска с самим собой, так что прообраз этой дуги состоит из двух дуг в диске, одна полностью находится внутри диска, а другая имеет две дуги. конечные точки на границе диска.

Теоретико-морсовская формулировка

Режущий диск M гладко вложенный ${\displaystyle D^{2}}$ в ${\displaystyle D^{4}}$ с ${\displaystyle M\cap \partial D^{4}=\partial M\subset S^{3}}$. Рассмотрим функцию ${\displaystyle f\colon D^{4}\to \mathbb {R} }$ данный ${\displaystyle f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$. Небольшой изотопией M можно гарантировать, что ж ограничивается Функция Морса на M. Один говорит ${\displaystyle \partial M\subset \partial D^{4}=S^{3}}$ это ленточный узел, если ${\displaystyle f_{|M}\colon M\to \mathbb {R} }$ не имеет внутренних локальных максимумов.

Гипотеза о разрезе ленты

Известно, что каждый ленточный узел разрезать узел. Известная открытая проблема, поставленная Ральф Фокс и известный как гипотеза о ленте, спрашивает, верно ли обратное: каждый (плавно) срезанный узел ленты?

Лиска (2007) показал, что гипотеза верна для узлов номер моста два. Грин и Джабука (2011) показал, что это верно для трехцепочечных крендельные узлы с нечетными параметрами. Тем не мение, Гомпф, Шарлеманн и Томпсон (2010) предположил, что эта гипотеза может быть неверной, и предоставил семейство узлов, которые могли бы служить контрпримером к ней.

Рекомендации

• Фокс, Р. Х. (1962), «Некоторые вопросы теории узлов», Топология трехмерных многообразий и смежные вопросы (Proc. The Univ. Of Georgia Institute, 1961), Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall, pp. 168–176, МИСТЕР  0140100. Перепечатано Dover Books, 2010.
• Гомпф, Роберт Э.; Шарлеманн, Мартин; Томпсон, Эбигейл (2010), «Волокнистые узлы и потенциальные контрпримеры к свойству 2R и гипотезы о срезе ленты», Геометрия и топология, 14 (4): 2305–2347, arXiv:1103.1601, Дои:10.2140 / gt.2010.14.2305, МИСТЕР  2740649.
• Грин, Джошуа; Ябука, Станислав (2011), "Гипотеза о разрезе ленты для трехнитевых узлов кренделя", Американский журнал математики, 133 (3): 555–580, arXiv:0706.3398, Дои:10.1353 / ajm.2011.0022, МИСТЕР  2808326.
• Кауфман, Луи Х. (1987), На узлах, Анналы математических исследований, 115, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08434-3, МИСТЕР  0907872.
• Лиска, Паоло (2007), "Пространства линз, рациональные шары и гипотеза ленты", Геометрия и топология, 11: 429–472, arXiv:математика / 0701610, Дои:10.2140 / gt.2007.11.429, МИСТЕР  2302495.