Многочлен Кауфмана - Kauffman polynomial

Не путать с Кронштейн Кауфмана.

В теория узлов, то Многочлен Кауфмана это 2-переменная полином узла из-за Луи Кауфман.^[1] Первоначально он определен на связь диаграмма как

${\displaystyle F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)\,}$,

куда ${\displaystyle w(K)}$ это корчиться схемы соединений и ${\displaystyle L(K)}$ является многочленом от а и z определяется на диаграммах ссылок следующими свойствами:

• ${\displaystyle L(O)=1}$ (О - это узелок).
• ${\displaystyle L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s).}$
• L без изменений при типах II и III Рейдемейстер движется.

Здесь ${\displaystyle s}$ это прядь и ${\displaystyle s_{r}}$ (соотв. ${\displaystyle s_{\ell }}$) - это та же прядь с добавленным правым (или левосторонним) завитком (с использованием движения Рейдемейстера типа I).

Кроме того L должны удовлетворить Кауфмана отношение мотков:

Фотографии представляют L многочлен диаграмм, которые различаются внутри диска, как показано, но идентичны снаружи.

Кауфман показал, что L существует и является регулярная изотопия инвариант неориентированных ссылок. Отсюда легко следует, что F является окружающая изотопия инвариант ориентированных ссылок.

В Многочлен Джонса является частным случаем полинома Кауфмана, поскольку L полином специализируется на скобочный многочлен. Многочлен Кауфмана связан с Калибровочные теории Черна – Саймонса. для SO (N) так же, как Полином ХОМФЛИ связано с калибровочными теориями Черна – Саймонса для SU (N).^[2]

Рекомендации

1. Кауфман, Луи (1990). «Инвариант регулярной изотопии» (PDF). Труды Американского математического общества. 318 (2): 417–471. Дои:10.1090 / S0002-9947-1990-0958895-7. МИСТЕР  0958895.
2. Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Коммуникации по математической физике. 121 (3): 351–399. Дои:10.1007 / BF01217730. МИСТЕР  0990772.

дальнейшее чтение

• Кауфман, Луи (1987). На узлах. Анналы математических исследований. 115. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  0-691-08435-1. МИСТЕР  0907872.

внешняя ссылка

• «Запись для полинома Кауфмана». Springer EoM.
• "Полином Кауфмана ", Узел Атлас.