Трехцветность - Tricolorability

Трехцветный трилистник.

в математический поле теория узлов, то трехцветность из морской узел это способность узла раскрашивать в три цвета при соблюдении определенных правил. Трехцветность - это изотопический инвариант, и, следовательно, может использоваться для различения двух разных (неизотопический ) узлов. В частности, поскольку развязанный не триколируем, любой триколуемый узел обязательно нетривиален.

Правила трехцветности

Узел трехцветный, если каждая прядь диаграмма узла можно раскрасить в один из трех цветов при соблюдении следующих правил:[1]

1. Необходимо использовать как минимум два цвета, и
2. На каждом пересечении все три падающие нити либо одного цвета, либо все разных цветов.

В некоторых ссылках вместо этого указывается, что необходимо использовать все три цвета.[2] Для узла это эквивалентно приведенному выше определению; однако для ссылки это не так.

"Узел-трилистник и тривиальные 2-звенья можно раскрашивать трижды, но несущий узел Ссылка Уайтхеда, и узел восьмерка не. Если проекция узла трехцветная, то Рейдемейстер движется на узле сохраняют трехкратность, так что либо каждая проекция узла трехкратная, либо никакая нет ".[1]

Примеры

Вот пример того, как цвет узел в соответствии с правилами трехцветности. По соглашению теоретики узлов используют красный, зеленый и синий цвета.

Пример трехцветного узла

TricoloredGrannyKnot.svg

В бабушка узел трехцветный. В этой раскраске три нити на каждом пересечении имеют три разных цвета. Окрашивание одного, но не обоих трилистник весь красный цвет также дает допустимую окраску. Узел истинного любовника тоже можно триколор.[3]

Пример нетрикурируемого узла

Неудачное трехцветное раскрашивание рисунка 8. svg

В узел восьмерка не является трехцветным. На показанной диаграмме у него четыре нити, каждая пара которых пересекается. Если бы три пряди были одного цвета, тогда все пряди были бы одного цвета. В противном случае каждая из этих четырех нитей должна иметь различный цвет. Поскольку трехцветность является инвариантом узла, никакие другие его диаграммы также не могут быть трехцветными.

Изотопический инвариант

Трехцветность - это изотопический инвариант, что является свойством узла или связь что остается постоянным независимо от окружающая изотопия. Это можно доказать, исследуя Рейдемейстер движется. Поскольку каждое движение Рейдемейстера может быть выполнено без влияния на трехцветность, трехцветность является изотопическим инвариантом.

Движение Райдемайстера I можно раскрасить в трех цветах.Reidemeister Move II можно раскрашивать в трех цветах.Reidemeister Move III трехцветный.
Трехцветная инвариантность на Reidemeister I.svg
Трехцветная инвариантность на Reidemeister II.svg
Трехцветная инвариантность на Reidemeister III.svg

Характеристики

Поскольку трехцветность - это бинарная классификация (ссылка может быть трехкратной или нет), это относительно слабый инвариант. Сочетание трехцветного узла с другим узлом всегда трехкратно. Чтобы усилить инвариант, нужно подсчитать количество возможных 3-раскрасок. В этом случае правило использования как минимум двух цветов смягчается, и теперь каждая ссылка имеет как минимум три трехцветных цвета (просто раскрасьте каждую дугу в один цвет). В этом случае ссылка становится трехцветной, если у нее более трех трехцветных цветов.

Любое отделяемое звено с трехкратным разделяемым компонентом также может быть трехкратным.

В торических узлах

Если торический узел / ссылка, обозначенная (m, n), может быть трехкратно раскрашена, то же самое можно сказать о (j * m, i * n) и (i * n, j * m) для любых натуральных чисел i и j.

Смотрите также

Источники

  1. ^ а б Вайсштейн, Эрик В. (2010). CRC Краткая энциклопедия математики, Второе издание, с.3045. ISBN  9781420035223. цитируется на Вайсштейн, Эрик В. "Трехцветный". MathWorld. Доступ: 5 мая 2013 г.
  2. ^ Гилберт, Н.Д. и Портер, Т. (1994) Узлы и поверхности, п. 8
  3. ^ Бествина, Младен (Февраль 2003 г.). "Узлы: раздаточный материал для математических кругов ", Math.Utah.edu.

дальнейшее чтение