Число пересечений (теория узлов) - Crossing number (knot theory)

Узел-трилистник без 3-кратной симметрии с помеченными крестиками.
Таблица всех простые узлы с семью или меньшим числом пересечений (не включая зеркальные изображения).

в математический зона теория узлов, то номер перехода из морской узел - наименьшее количество пересечений любой диаграммы узла. Это инвариант узла.

Примеры

В качестве примера развязанный имеет номер перехода нуль, то трилистник три и узел восьмерка четыре. Нет других узлов с таким низким номером пересечения, и только два узла имеют пересечение номер пять, но количество узлов с определенным номером пересечения быстро увеличивается по мере увеличения количества пересечений.

Табулирование

Таблицы простые узлы традиционно индексируются номером пересечения с нижним индексом, чтобы указать, какой именно узел из тех, у которых такое количество пересечений, имеется в виду (этот субпорядок не основан ни на чем конкретном, за исключением того, что торические узлы тогда скручивать узлы перечислены первыми). Список идет 31 (узел трилистник), 41 (узел восьмерка), 51, 52, 61и т. д. Этот порядок существенно не изменился с П. Г. Тейт опубликовал таблицу узлов в 1877 г.[1]

Аддитивность

Квадратный узел (cr (6)) = трилистник (cr (3)) + отражение трилистника (cr (3)).

Прогресс в понимании поведения числа пересечений при элементарных операциях с узлами очень невелик. Большой открытый вопрос: является ли число пересечений аддитивным при взятии узловые суммы. Также ожидается, что спутниковое узла K должен иметь большее число пересечений, чем K, но это не было доказано.

Аддитивность числа пересечений относительно узловой суммы доказана для частных случаев, например, если слагаемые чередующиеся узлы[2] (или, в более общем смысле, адекватный узел ), или если слагаемые торические узлы.[3][4] Марк Лакенби также предоставил доказательство того, что существует постоянная N > 1 такой, что , но его метод, использующий нормальные поверхности, не может улучшить N к 1.[5]

Приложения в биоинформатике

Существует связь между числом пересечений узла и физическим поведением ДНК узлы. Для первичных узлов ДНК число пересечений является хорошим предиктором относительной скорости узла ДНК в агарозе. гель-электрофорез. В основном, чем выше номер пересечения, тем выше относительная скорость. За составные узлы, похоже, что это не так, хотя экспериментальные условия могут кардинально изменить результаты.[6]

Связанные инварианты

Есть связанные концепции среднее количество пересечений и асимптотическое число пересечения. Обе эти величины ограничивают стандартное число пересечений. Предполагается, что асимптотическое число пересечений равно числу пересечений.

Другие числовые инварианты узлов включают номер моста, номер ссылки, номер палки, и распутывающий номер.

Рекомендации

  1. ^ Тейт, П. Г. (1898), "На узлах I, II, III'", Научные статьи, 1, Cambridge University Press, стр. 273–347..
  2. ^ Адамс, Колин С. (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 69, ISBN  9780821836781, Г-Н  2079925.
  3. ^ Грубер, Х. (2003), Оценки минимального числа пересечений, arXiv:математика / 0303273, Bibcode:2003математика ...... 3273G.
  4. ^ Diao, Yuanan (2004), «Аддитивность чисел пересечения», Журнал теории узлов и ее разветвлений, 13 (7): 857–866, Дои:10.1142 / S0218216504003524, Г-Н  2101230.
  5. ^ Лакенби, Марк (2009), «Число пересечений составных узлов», Журнал топологии, 2 (4): 747–768, arXiv:0805.4706, Дои:10.1112 / jtopol / jtp028, Г-Н  2574742.
  6. ^ Саймон, Джонатан (1996), «Энергетические функции для узлов: начало предсказывать физическое поведение», в Месиров, Джилл П.; Шультен, Клаус; Самнерс, Де Витт (ред.), Математические подходы к биомолекулярной структуре и динамике, Объемы IMA по математике и ее приложениям, 82, стр. 39–58, Дои:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.