Узел полином - Knot polynomial

Многие полиномы узлов вычисляются с использованием отношения мотков, которые позволяют изменять различные пересечения узла, чтобы получить более простые узлы.

в математический поле теория узлов, а полином узла это инвариант узла в виде многочлен коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного морской узел.

История

Первый полином узла, Полином александра, был представлен Джеймс Уодделл Александр II в 1923 г., но другие полиномы узлов не были обнаружены почти 60 лет спустя.

В 1960-е гг. Джон Конвей придумал отношение мотков для версии полинома Александера, обычно называемой Полином Александера – Конвея. Значение этого отношения мотков не осознавалось до начала 1980-х годов, когда Воан Джонс обнаружил Многочлен Джонса. Это привело к открытию большего количества узловых многочленов, таких как так называемый Полином ХОМФЛИ.

Вскоре после открытия Джонса Луи Кауфман заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен с помощью функция распределения (модель государственной суммы), в которой участвовали скобочный многочлен, инвариант обрамленные узлы. Это открыло возможности для исследований, связывающих теорию узлов и статистическая механика.

В конце 1980-х годов были сделаны два связанных прорыва. Эдвард Виттен продемонстрировали, что полином Джонса и подобные инварианты типа Джонса имеют интерпретацию в Теория Черна – Саймонса. Виктор Васильев и Михаил Гусаров начал теорию инварианты конечного типа узлов. Коэффициенты вышеупомянутых многочленов, как известно, имеют конечный тип (после, возможно, подходящей «замены переменных»).

В последние годы было показано, что полином Александера связан с Гомология Флоера. Оцененный Эйлерова характеристика из узел гомологии Флора из Питер Озсват и Золтан Сабо - многочлен Александера.

Пример

Обозначения Александра – Бриггса	Полином александра ${\displaystyle \Delta (t)}$	Многочлен Конвея ${\displaystyle \nabla (z)}$	Многочлен Джонса ${\displaystyle V(q)}$	Полином ХОМФЛИ ${\displaystyle H(a,z)}$
${\displaystyle 0_{1}}$ (Не узел )	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3_{1}}$ (Узел-трилистник )	${\displaystyle t-1+t^{-1}}$	${\displaystyle z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	${\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$
${\displaystyle 4_{1}}$ (Узел восьмерка )	${\displaystyle -t+3-t^{-1}}$	${\displaystyle -z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\displaystyle 5_{1}}$ (Лапчатый узел )	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}$
${\displaystyle -}$ (Бабушка узел )	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}$
${\displaystyle -}$ (Квадратный узел )	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}$

Обозначения Александра – Бриггса это запись, которая просто упорядочивает узлы по их числу пересечений. Порядок обозначения Александера – Бриггса главный узел обычно гарантируется. (Видеть Список простых узлов.)

Полиномы Александра и Многочлены Конвея может нет узнайте разницу между левым и правым трилистником.

• 

  Левый узел-трилистник.

• 

  Правый узел-трилистник.

Итак, мы имеем ту же ситуацию, что и бабушкин узел и квадратный узел, поскольку добавление узлов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ это произведение узлов в узловые многочлены.

Смотрите также

Специфические узловые многочлены

• Полином александра
• Скобочный полином
• Полином ХОМФЛИ
• Многочлен Джонса
• Многочлен Кауфмана

похожие темы

• Полином графа, аналогичный класс полиномиальных инвариантов в теории графов
• Полином Тутте, специальный тип графового полинома, связанный с полиномом Джонса
• Отношение мотков для формального определения полинома Александера с разработанным примером.

дальнейшее чтение

• Адамс, Колин. Книга узлов. Американское математическое общество. ISBN  0-8050-7380-9.
• Ликориш, В. Б. Р. (1997). Введение в теорию узлов. Тексты для выпускников по математике. 175. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98254-X.