Узел инвариантный - Knot invariant

Простые узлы организованы инвариантом числа пересечений.

в математический поле теория узлов, а инвариант узла величина (в широком смысле), определенная для каждого морской узел что то же самое для эквивалентных узлов. Эквивалентность часто дается выражением окружающая изотопия но может быть дан гомеоморфизм. Некоторые инварианты действительно являются числами, но инварианты могут варьироваться от простых, таких как ответ да / нет, до столь же сложных, как ответ теория гомологии . Исследования инвариантов мотивированы не только основной проблемой различения одного узла от другого, но и пониманием фундаментальных свойств узлов и их отношений с другими разделами математики.

С современной точки зрения, естественно определить инвариант узла из диаграмма узла. Конечно, он должен быть неизменным (то есть инвариантным) под действием Рейдемейстер движется. Трехцветность это особенно простой пример. Другие примеры: узловые многочлены, такой как Многочлен Джонса, которые в настоящее время являются одними из наиболее полезных инвариантов для различения узлов друг от друга, хотя в настоящее время неизвестно, существует ли многочлен узлов, который отличает все узлы друг от друга. Однако существуют инварианты, отличающие развязанный от всех других узлов, таких как Гомологии Хованова и узел гомологии Флора.

Другие инварианты можно определить, рассматривая некоторую целочисленную функцию диаграмм узлов и принимая ее минимальное значение по всем возможным диаграммам данного узла. В эту категорию входят номер перехода, что является минимальным количеством пересечений для любой диаграммы узла, а номер моста - минимальное количество перемычек для любой диаграммы узла.

Исторически сложилось так, что многие из ранних инвариантов узлов не определяются путем предварительного выбора диаграммы, а определяются внутренне, что может затруднить вычисление некоторых из этих инвариантов. Например, узелковый род особенно сложно вычислить, но может быть эффективным (например, для различения мутанты ).

В дополнение узла сам (как топологическое пространство ) известен как "полный инвариант" узла Теорема Гордона – Люке. в том смысле, что он отличает данный узел от всех других узлов до окружающая изотопия и зеркальное изображение. Некоторые инварианты, связанные с дополнительным узлом, включают группа узлов что просто фундаментальная группа дополнения. В узел quandle также является полным инвариантом в этом смысле, но трудно определить, изоморфны ли два квандла.

От Жесткость Мостова – Прасада, гиперболическая структура на дополнении к гиперболическая ссылка уникален, что означает гиперболический объем является инвариантом для этих узлов и зацеплений. Объем и другие гиперболические инварианты оказались очень эффективными, и их использовали в некоторых обширных усилиях по узловая таблица.

В последние годы наблюдается большой интерес к гомологический инварианты узлов, которые категоризировать известные инварианты. Гомология Heegaard Floer это теория гомологии чья Эйлерова характеристика это Полином александра узла. Доказано, что он эффективен при выводе новых результатов о классических инвариантах. Наряду с другим направлением исследований существует комбинаторно определенная теория когомологий узлов, называемая Гомологии Хованова чья эйлерова характеристика является Многочлен Джонса. Недавно было показано, что это полезно для получения оценок на род срезов чьи более ранние доказательства требовали калибровочная теория. Михаил Хованов и Лев Розанский с тех пор определили несколько других связанных теорий когомологий, чьи эйлеровы характеристики восстанавливают другие классические инварианты. Катарина Строппель дал теоретическую интерпретацию гомологии Хованова путем категоризации квантовых групповых инвариантов.

Также растет интерес как теоретиков узлов, так и ученых к пониманию «физических» или геометрических свойств узлов и их связи с топологическими инвариантами и типом узлов. Старый результат в этом направлении - Теорема Фэри-Милнора заявляет, что если полная кривизна узла K в удовлетворяет

где κ(п) это кривизна в п, тогда K развязка. Следовательно, для кривых с узлами

Примером «физического» инварианта является длина веревки, которая представляет собой длину каната единичного диаметра, необходимую для создания узла определенного типа.

Другие инварианты

дальнейшее чтение

  • Рольфсен, Дейл (2003). Узлы и ссылки. Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN  0-8218-3436-3.
  • Адамс, Колин Конрад (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов (Репр., Под ред.). Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN  0-8218-3678-1.
  • Бурде, Герхард; Цишанг, Хайнер (2002). Узлы (2-е изд. И доп. Ред.). Нью-Йорк: Де Грюйтер. ISBN  3-11-017005-1.

внешние ссылки