Ссылка Хопфа - Hopf link

Hopf Link.png
Длина тесьмы2
Тесьма нет.2
Переход нет.2
Гиперболический объем0
Ссылка нет.1
Палка нет.6
Распутывания нет.1
Обозначение Конвея[2]
Обозначения A-B22
1
ThistlethwaiteL2a1
Последний / следующийL0 / L4a1
Другой
чередование, тор, волокнистый
Отношение мотков для ссылки Хопфа.

В математический теория узлов, то Ссылка Хопфа простейший нетривиальный связь с более чем одним компонентом.[1] Он состоит из двух круги связаны между собой ровно один раз,[2] и назван в честь Хайнц Хопф.[3]

Геометрическая реализация

Бетонная модель состоит из двух единичные круги в перпендикулярных плоскостях, каждая из которых проходит через центр другой.[2] Эта модель минимизирует длина веревки звено, и до 2002 года звено Хопфа было единственным звеном, длина троса которого была известна.[4] В выпуклый корпус из этих двух кругов образует форму, называемую олоид.[5]

Характеристики

В зависимости от относительной ориентации из двух компонентов номер ссылки звена Хопфа составляет ± 1.[6]

Ссылка Хопфа (2,2) -звено тора[7] с плести слово[8]

В узел дополнения ссылки Хопфа р × S1 × S1, то цилиндр через тор.[9] В этом пространстве есть локально евклидова геометрия, поэтому ссылка Хопфа не гиперболическая ссылка. В группа узлов ссылки Хопфа ( фундаментальная группа его дополнения) Z2 (в свободная абелева группа на двух генераторах), отличая его от несвязанной пары петель, которая имеет свободная группа на двух генераторах в качестве своей группы.[10]

Ссылка Хопфа не подлежит трехкратной раскраске. Это легко увидеть из того факта, что ссылка может принимать только два цвета, что приводит к тому, что она не соответствует второй части определения трехцветности. На каждый переход уйдет максимум 2 цвета. Таким образом, если он удовлетворяет правилу наличия более одного цвета, он не соответствует правилу наличия 1 или 3 цветов на каждом пересечении. Если он удовлетворяет правилу наличия 1 или 3 цветов на каждом перекрестке, он не соответствует правилу наличия более 1 цвета.

Набор хопфа

В Расслоение Хопфа является непрерывной функцией из 3-сфера (трехмерная поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве) в более привычный 2-сфера, с тем свойством, что прообраз каждой точки на 2-сфере представляет собой круг. Таким образом, эти изображения разбивают 3-сферу на непрерывное семейство окружностей, и каждая из двух различных окружностей образует связь Хопфа. Это было мотивацией Хопфа для изучения зацепления Хопфа: поскольку каждые два слоя связаны, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоение. Этот пример положил начало изучению гомотопические группы сфер.[11]

Биология

Связь Хопфа также присутствует в некоторых белках.[12][13] Он состоит из двух ковалентных петель, образованных кусочками белковый каркас, закрыто с дисульфидные связи. Топология связи Хопфа в белках очень консервативна и увеличивает их стабильность.[12]

История

Buzan-ha гребень

Ссылка Хопфа названа в честь тополога. Хайнц Хопф, который рассматривал это в 1931 году как часть своего исследования Расслоение Хопфа.[14] Однако в математике было известно Карл Фридрих Гаусс до работы Хопфа.[3] Он также давно используется вне математики, например, как символ Buzan-ha, японская буддийская секта, основанная в 16 веке.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов, Американское математическое общество, стр. 151, ISBN  9780821836781.
  2. ^ а б Куснер, Роберт Б .; Салливан, Джон М. (1998), «О перекосе и толщине сучков», Топология и геометрия в науке о полимерах (Миннеаполис, Миннесота, 1996), IMA Vol. Математика. Appl., 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 67–78, Дои:10.1007/978-1-4612-1712-1_7, МИСТЕР  1655037. См. В частности п. 77.
  3. ^ а б Прасолов, В. В .; Сосинский, А. Б. (1997), Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия: введение в новые инварианты в низкоразмерной топологии, Переводы математических монографий, 154, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 6, ISBN  0-8218-0588-6, МИСТЕР  1414898.
  4. ^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б .; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине троса узлов и звеньев», Inventiones Mathematicae, 150 (2): 257–286, arXiv:математика / 0103224, Bibcode:2002InMat.150..257C, Дои:10.1007 / s00222-002-0234-у, МИСТЕР  1933586.
  5. ^ Дирнбёк, Ганс; Стахель, Хельмут (1997), «Развитие олоида» (PDF), Журнал геометрии и графики, 1 (2): 105–118, МИСТЕР  1622664.
  6. ^ Адамс (2004), п. 21 год.
  7. ^ Кауфман, Луи Х. (1987), На узлах, Анналы математических исследований, 115, Princeton University Press, стр. 373, г. ISBN  9780691084350.
  8. ^ Адамс (2004), Упражнение 5.22, п. 133.
  9. ^ Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий, Де Грюйтер изучает математику, 18, Вальтер де Грюйтер, стр. 194, г. ISBN  9783110221831.
  10. ^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, п. 24, ISBN  9787302105886.
  11. ^ Шастри, Анант Р. (2013), Базовая алгебраическая топология, CRC Press, стр. 368, г. ISBN  9781466562431.
  12. ^ а б Домбровский-Туманский, Павел; Сулковска, Джоанна И. (28 марта 2017 г.). «Топологические узлы и звенья в белках». Труды Национальной академии наук. 114 (13): 3415–3420. Дои:10.1073 / pnas.1615862114. ISSN  0027-8424. ЧВК  5380043. PMID  28280100.
  13. ^ Домбровский-Туманский, Павел; Ярмолинская, Александра I .; Немиска, Ванда; Родон, Эрик Дж .; Millett, Kenneth C .; Сулковска, Джоанна И. (04.01.2017). «LinkProt: база данных, собирающая информацию о биологических связях». Исследования нуклеиновых кислот. 45 (D1): D243 – D249. Дои:10.1093 / нар / gkw976. ISSN  0305-1048. ЧВК  5210653. PMID  27794552.
  14. ^ Хопф, Хайнц (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, Берлин: Springer, 104 (1): 637–665, Дои:10.1007 / BF01457962.

внешняя ссылка