Покрытие пространства - Covering space

Покрывающее отображение удовлетворяет условию локальной тривиальности. Интуитивно такие карты локально проецируют "стопку блинов" над открытый регион, U, на U.

В математика, конкретно алгебраическая топология, а карта покрытия (также прикрывающая проекция) это непрерывная функция ${ displaystyle p}$ из топологическое пространство ${ displaystyle C}$ в топологическое пространство ${ displaystyle X}$ так что каждая точка в ${ displaystyle X}$ имеет открытый район равномерно покрытый к ${ displaystyle p}$ (как показано на изображении).^[1] В этом случае, ${ displaystyle C}$ называется покрывающее пространство и ${ displaystyle X}$ в базовое пространство перекрывающего выступа. Из определения следует, что каждая накрывающая карта является локальный гомеоморфизм.

Покрытие помещений играет важную роль в теория гомотопии, гармонический анализ, Риманова геометрия и дифференциальная топология. Например, в римановой геометрии разветвление является обобщением понятия покрывающих отображений. Накрывающие пространства также тесно связаны с изучением гомотопических групп и, в частности, фундаментальная группа. Важное применение возникает из-за того, что если ${ displaystyle X}$ "достаточно хорошо" топологическое пространство, Существует биекция между сбором всех классы изоморфизма из связаны покрытия ${ displaystyle X}$ и классы сопряженности из подгруппы из фундаментальная группа из ${ displaystyle X}$ .

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle X}$ быть топологическое пространство. А покрывающее пространство из ${ displaystyle X}$ топологическое пространство ${ displaystyle C}$ вместе с непрерывный сюръективный карта

{ displaystyle p двоеточие C to X ,}

так что для каждого ${ displaystyle x in X}$ , существует открытый район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x}$ , так что ${ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ (в предварительное изображение из ${ displaystyle U}$ под ${ displaystyle p}$ ) является объединением непересекающихся открытые наборы в ${ displaystyle C}$ , каждый из которых отображается гомеоморфно на ${ displaystyle U}$ к ${ displaystyle p}$ .^[2]^[3]

Эквивалентно площадь покрытия ${ displaystyle X}$ можно определить как пучок волокон ${ displaystyle p двоеточие C to X}$ с дискретными волокнами.

Карта ${ displaystyle p}$ называется карта покрытия,^[3] космос ${ displaystyle X}$ часто называют базовое пространство покрытия и пространства ${ displaystyle C}$ называется общая площадь покрытия. Для любой точки ${ displaystyle x}$ в базе прообраз ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle C}$ обязательно дискретное пространство^[3] называется волокно над ${ displaystyle x}$ .

Особые открытые кварталы ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x}$ данные в определении называются равномерно покрытые кварталы. Равномерно покрытые кварталы образуют открытая крышка пространства ${ displaystyle X}$ . Гомеоморфные копии в ${ displaystyle C}$ равномерно покрытого квартала ${ displaystyle U}$ называются листы над ${ displaystyle U}$ . Один вообще картинки ${ displaystyle C}$ как "парящий над" ${ displaystyle X}$ , с ${ displaystyle p}$ отображение «вниз», листы поверх ${ displaystyle U}$ располагаются горизонтально друг над другом и выше ${ displaystyle U}$ , а волокно над ${ displaystyle x}$ состоящий из тех точек ${ displaystyle C}$ что лежат "вертикально вверху" ${ displaystyle x}$ . В частности, накрывающие карты локально тривиальны. Это означает, что локально каждое накрывающее отображение «изоморфно» проекции в том смысле, что существует гомеоморфизм, ${ displaystyle h}$ , из прообраза ${ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ , равномерно покрытого квартала ${ displaystyle U}$ , на ${ Displaystyle U раз F}$ , куда ${ displaystyle F}$ - волокно, удовлетворяющее условие локальной тривиализации, то есть, если мы проецируем ${ Displaystyle U раз F}$ на ${ displaystyle U}$ , ${ Displaystyle пи двоеточие U раз от F до U}$ , поэтому состав проекции ${ displaystyle pi}$ с гомеоморфизмом ${ displaystyle h}$ будет карта ${ displaystyle pi circ h}$ из прообраза ${ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ на ${ displaystyle U}$ , то производная композиция ${ displaystyle pi circ h}$ будет равно ${ displaystyle p}$ локально (в пределах ${ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$ ).

Альтернативные определения

Многие авторы навязывают некоторые возможность подключения условия на пространствах ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle C}$ в определении покрывающей карты. В частности, многие авторы требуют, чтобы оба пробела были соединенный путём и локально соединенный путём.^[4]^[5] Это может оказаться полезным, потому что многие теоремы верны, только если рассматриваемые пространства обладают этими свойствами. Некоторые авторы опускают предположение о сюръективности, поскольку если ${ displaystyle X}$ связан и ${ displaystyle C}$ непусто, то сюръективность накрывающего отображения фактически следует из других аксиом.

Примеры

Каждое пространство тривиально покрывает себя.
Связное и локально линейно связное топологическое пространство ${ displaystyle X}$ имеет универсальный чехол если и только если это полулокально односвязный.
${ Displaystyle mathbb {R}}$ универсальная крышка круга ${ displaystyle S ^ {1}.}$
В вращательная группа ${ displaystyle operatorname {Spin} (n)}$ это двойная обложка специальная ортогональная группа и универсальный чехол, когда ${ displaystyle n> 2}$ . Случайное, или исключительные изоморфизмы для групп Ли тогда дают изоморфизмы между спиновыми группами малой размерности и классическими группами Ли.
В унитарная группа ${ Displaystyle OperatorName {U} (п)}$ имеет универсальный чехол ${ Displaystyle OperatorName {SU} (п) раз mathbb {R}}$ .
В n-сфера ${ Displaystyle S ^ {п}}$ является двойным покрытием реального проективного пространства ${ Displaystyle P_ {п} ( mathbb {R})}$ и является универсальным чехлом для ${ displaystyle n> 1}$ .
Каждое многообразие имеет ориентируемая двойная крышка связной тогда и только тогда, когда многообразие неориентируемо.
В теорема униформизации утверждает, что каждая риманова поверхность имеет универсальное покрытие, конформно эквивалентное Сфера Римана, комплексная плоскость или единичный диск.
Универсальный чехол клина ${ displaystyle n}$ круги это Граф Кэли свободной группы на ${ displaystyle n}$ генераторы, т.е. Решетка Бете.
В тор это двойная обложка Бутылка Клейна. Это можно увидеть, используя многоугольники для тора и бутылки Клейна и заметив, что двойная крышка круга ${ Displaystyle S ^ {1} к S ^ {1}}$ (встраивание в ${ Displaystyle mathbb {C}}$ отправка ${ Displaystyle г mapsto г ^ {2}}$ ).
Каждый граф имеет двусторонняя двойная обложка. Поскольку каждый граф гомотопен клину окружностей, его универсальное покрытие является графом Кэли.
Любое погружение с компактного многообразия на многообразие той же размерности является покрытием его образа.
Другой эффективный инструмент для построения покрывающих пространств - использование факторов по свободным действиям конечной группы.
Например, пространство ${ displaystyle L_ {p / q}}$ определяется как частное от ${ Displaystyle S ^ {3}}$ (встроен в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ ) определяется факторпространством через ${ displaystyle mathbb {Z} / q}$ -действие ${ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) mapsto (e ^ {2 pi i / q} z_ {1}, e ^ {2 pi ip / q} z_ {2})}$ . Это пространство, называемое пространство объектива, имеет фундаментальную группу ${ displaystyle mathbb {Z} / q}$ и имеет универсальную крышку ${ Displaystyle S ^ {3}}$ .
Карта аффинные схемы ${ displaystyle operatorname {Spec} ( mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)) to operatorname {Spec} ( mathbb {C} [t, t ^ {- 1}])}$ образует закрывающее пространство с ${ Displaystyle mathbb {Z} / п}$ как его группа преобразований колоды. Это пример циклического Обложка Галуа.

Характеристики

Общие местные свойства

Каждая обложка ${ displaystyle p двоеточие C to X}$ это локальный гомеоморфизм;^[6] то есть для каждого ${ displaystyle c in C}$ , существует окрестность ${ Displaystyle U substeq C}$ из c и окрестности ${ Displaystyle V substeq X}$ из ${ displaystyle p (c)}$ так что ограничение п к U дает гомеоморфизм из U к V. Отсюда следует, что C и Икс поделитесь всей местной недвижимостью. Если Икс является односвязный и C связно, то это верно и глобально, и покрытие п является гомеоморфизмом.
Если ${ displaystyle p двоеточие E to B}$ и ${ displaystyle p ' двоеточие E' to B '}$ покрывают карты, то и карта ${ displaystyle p times p ' двоеточие E times E' to B times B '}$ данный ${ Displaystyle (п раз р ') (е, е') = (п (е), р '(е'))}$ .^[7]

Гомеоморфизм волокон

Для каждого Икс в Икс, волокно над Икс это дискретный подмножество C.^[3] На каждом связный компонент из Икс, волокна гомеоморфны.

Если Икс связно, есть дискретное пространство F так что для каждого Икс в Икс волокно над Икс является гомеоморфный к F и, кроме того, за каждый Икс в Икс есть район U из Икс так что его полный прообраз п⁻¹(U) гомеоморфно U × F. В частности, мощность волокна над Икс равна мощности F и это называется степень покрытия п : C → Икс. Таким образом, если каждое волокно имеет п элементов, мы говорим о п-фальцовка (для случая п = 1, покрытие тривиально; когда п = 2, покрытие - это двойная крышка; когда п = 3, покрытие - это тройное покрытие и так далее).

Подъемные свойства

Если п : C → Икс - покрытие, а γ - путь в Икс (т.е. непрерывная карта из единичный интервал [0, 1] в Икс) и c ∈ C является точкой, «лежащей над» γ (0) (т. е. п(c) = γ (0)), то существует единственный путь Γ в C лежащая над γ (т. е. п ∘ Γ = γ) такие, что Γ (0) = c. Кривая Γ называется поднимать из γ. Если Икс и у две точки в Икс соединены путем, то этот путь дает биекция между волокном над Икс и волокно над у через подъемное свойство.

В общем, пусть ж : Z → Икс быть непрерывной картой Икс из путь подключен и локально путь подключен Космос Z. Зафиксируйте базовую точку z ∈ Z, и выберите точку c ∈ C "лежать" ж(z) (т.е. п(c) = ж(z)). Тогда существует поднимать из ж (то есть непрерывное отображение грамм : Z → C для которого п ∘ грамм = ж и грамм(z) = c) если и только если в индуцированные гомоморфизмы ж_# : $π$ ₁(Z, z) → $π$ ₁(Икс, ж(z)) и п_# : $π$ ₁(C, c) → $π$ ₁(Икс, ж(z)) на уровне фундаментальные группы удовлетворить

{ displaystyle f _ { #} ( pi _ {1} (Z, z)) subset p _ { #} ( pi _ {1} (C, c)).}

(♠)

Более того, если такой лифт грамм из ж существует, он уникален.

В частности, если пространство Z предполагается односвязный (так что $π$ ₁(Z, z) тривиально), условие (♠) удовлетворяется автоматически, и каждая непрерывная карта из Z к Икс можно поднять. Поскольку единичный интервал [0, 1] односвязно, свойство подъема для путей является частным случаем свойства подъема для отображений, указанных выше.

Если п : C → Икс это покрытие и c ∈ C и Икс ∈ Икс такие, что п(c) = Икс, тогда п_# инъективен на уровне фундаментальные группы, а индуцированные гомоморфизмы п_# : $π$ _п(C, c) → $π$ _п(Икс, Икс) находятся изоморфизмы для всех п ≥ 2. Оба эти утверждения могут быть выведены из свойства подъема для непрерывных отображений. Сюръективность п_# за п ≥ 2 следует из того, что для всех таких п, то п-сфера S^п односвязно и, следовательно, любое непрерывное отображение из S^п к Икс можно поднять до C.

Эквивалентность

Позволять п₁ : C₁ → Икс и п₂ : C₂ → Икс быть двумя покрытиями. Один говорит, что два покрытия п₁ и п₂ находятся эквивалент если существует гомеоморфизм п₂₁ : C₂ → C₁ и такой, что п₂ = п₁ ∘ п₂₁. Классы эквивалентности покрытий соответствуют классам сопряженности подгрупп группы фундаментальная группа из Икс, как описано ниже. Если п₂₁ : C₂ → C₁ является покрытием (а не гомеоморфизмом) и п₂ = п₁ ∘ п₂₁, тогда говорят, что п₂ доминирует п₁.

Покрытие коллектора

Поскольку покрытия местные гомеоморфизмы, покрытие топологической п-многообразие является п-многообразие. (Можно доказать, что накрывающее пространство счетный от того, что фундаментальная группа многообразия всегда счетный.) Однако пространство, покрытое п-многообразие может быть нехаусдорфово многообразие. Дается пример, позволяя C быть плоскостью с удаленной исходной точкой и Икс фактор-пространство, полученное путем идентификации каждой точки (Икс, у) с (2Икс, у/2). Если п : C → Икс факторное отображение, то это покрытие, поскольку действие Z на C создано ж(Икс, у) = (2Икс, у/2) является правильно прерывистый. Точки п(1, 0) и п(0, 1) не иметь непересекающихся кварталов в Икс.

Любое накрывающее пространство дифференцируемого многообразия можно снабдить (естественной) дифференцируемой структурой, которая превращает п (рассматриваемое покрытие) в локальный диффеоморфизм - карта с постоянным классифицировать п.

Универсальные чехлы

Покрытие - это универсальное перекрытие если это односвязный. Название универсальный крышка происходит из следующего важного свойства: если отображение q: D → Икс универсальное прикрытие пространства Икс и отображение п : C → Икс любое прикрытие пространства Икс где покрытие C связно, то существует накрывающее отображение ж : D → C такой, что п ∘ ж = q. Это можно сформулировать как

Универсальная крышка (пространства Икс) покрывает любую связанную крышку (пространства Икс).

Карта ж уникален в следующем смысле: если зафиксировать точку Икс в пространстве Икс и точка d в пространстве D с q(d) = Икс и точка c в пространстве C с п(c) = Икс, то существует единственное покрытие ж : D → C такой, что п ∘ ж= q и ж(d) = c.

Если пространство Икс имеет универсальное покрытие, то это универсальное покрытие по существу уникально: если отображения q₁ : D₁ → Икс и q₂ : D₂ → Икс два универсальных покрытия пространства Икс то существует гомеоморфизм ж : D₁ → D₂ такой, что q₂ ∘ ж = q₁.

Космос Икс имеет универсальный чехол, если он есть связаны, локально соединенный путём и полулокально односвязный. Универсальное покрытие пространства Икс можно построить как некоторое пространство путей в пространстве Икс. Более точно, он формирует основной пакет с фундаментальная группа $π 1 (Икс)$ как структурная группа.

Пример р → S¹ приведенный выше универсальный чехол. Карта S³ → ТАК (3) из кватернионы единиц к вращения трехмерного пространства, описанного в кватернионы и пространственное вращение также универсальный чехол.

Если пространство ${ displaystyle X}$ несет некоторую дополнительную структуру, то ее универсальное покрытие обычно наследует эту структуру:

Если пространство ${ displaystyle X}$ это многообразие, то и его универсальный чехол D.
Если пространство ${ displaystyle X}$ это Риманова поверхность, то и его универсальный чехол D, и ${ displaystyle p}$ это голоморфный карта.
Если пространство ${ displaystyle X}$ это Риманово многообразие, то и его универсальный чехол, и ${ displaystyle p}$ это локальная изометрия.
Если пространство ${ displaystyle X}$ это Лоренцево многообразие, значит, и его универсальный чехол. Кроме того, предположим, что подмножество п⁻¹(U) это несвязный союз открытых множеств, каждое из которых диффеоморфно U отображением ${ displaystyle p}$ . Если пространство ${ displaystyle X}$ содержит замкнутая времениподобная кривая (CTC), затем пробел ${ displaystyle X}$ является времяподобные многосвязные (CTC не может быть времяподобный гомотопный до точки, поскольку эта точка не будет вести себя каузально хорошо), ее универсальное (диффеоморфное) покрытие времяподобно просто связано (не содержит СТС).
Если Икс это Группа Ли (как в двух примерах выше), то и его универсальная крышка D, а отображение п является гомоморфизмом групп Ли. В этом случае универсальную крышку еще называют универсальная группа покрытий. Это имеет особое применение к теория представлений и квантовая механика, поскольку обычные представления универсальной накрывающей группы (D) находятся проективные представления исходной (классической) группы (Икс).

Универсальная крышка впервые возникла в теории аналитические функции как естественная область аналитическое продолжение.

G-покрытия

Позволять грамм быть дискретная группа игра актеров на топологическое пространство Икс. Это означает, что каждый элемент грамм из грамм связан с гомеоморфизмом H_грамм из Икс на себя таким образом, что H_{грамм час} всегда равно H_грамм ∘ H_час для любых двух элементов грамм и час из грамм. (Или другими словами, групповое действие группы грамм на пространстве Икс является просто групповым гомоморфизмом группы грамм в группу Homeo (Икс) автогеоморфизмов Икс.) Естественно спросить, при каких условиях проекция из Икс к орбитальное пространство Икс/грамм покрывающая карта. Это не всегда верно, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на продукт Икс × Икс действием скручивания, где нетождественный элемент действует (Икс, у) ↦ (у, Икс). Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами Икс и Икс/грамм не все так однозначно.

Однако группа грамм действительно действует на фундаментальный группоид Икс, поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоидах, и соответствующие орбитальные группоиды. Теория этого изложена в главе 11 книги. Топология и группоиды упоминается ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы грамм на хаусдорфовом пространстве Икс допускающее универсальное покрытие, то фундаментальный группоид пространства орбит Икс/грамм изоморфен группоиду орбит фундаментального группоида Икс, т. е. фактор этого группоида по действию группы грамм. Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметричного квадрата пространства.

Группа преобразований палубы (покрытия), регулярные покрытия

А трансформация покрытия или же преобразование колоды или же автоморфизм обложки ${ displaystyle p: C to X}$ это гомеоморфизм ${ displaystyle f: C to C}$ такой, что ${ displaystyle p circ f = p}$ . Набор всех преобразований колоды ${ displaystyle p}$ образует группу под сочинение, то группа преобразования колоды ${ displaystyle operatorname {Aut} (p)}$ . Преобразования колоды еще называют покрывающие преобразования. Трансформация каждой колоды переставляет элементы каждого волокна. Это определяет групповое действие группы преобразований колоды на каждом слое. Обратите внимание, что благодаря уникальному свойству подъема, если ${ displaystyle f}$ это не личность и ${ displaystyle C}$ связан ли путь, тогда ${ displaystyle f}$ не имеет фиксированные точки.

Теперь предположим ${ displaystyle p: C to X}$ покрывающая карта и ${ displaystyle C}$ (а значит, и ${ displaystyle X}$ ) связно и локально путево связано. Действие ${ displaystyle operatorname {Aut} (p)}$ на каждом волокне свободный. Если это действие переходный на каком-то волокне, то он транзитивен на всех волокнах, и мы называем покрытие обычный (или же нормальный или же Галуа). Каждое такое регулярное покрытие является главный ${ displaystyle G}$ -пучок, куда ${ displaystyle G}$ = ${ displaystyle operatorname {Aut} (p)}$ рассматривается как дискретная топологическая группа.

Каждый универсальный чехол ${ displaystyle p: D to X}$ регулярна, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ .

В качестве еще одного важного примера рассмотрим ${ Displaystyle mathbb {C}}$ комплексная плоскость и ${ displaystyle mathbb {C} ^ { times}}$ комплексная плоскость минус начало координат. Тогда карта ${ Displaystyle п двоеточие mathbb {C} ^ { times} to mathbb {C} ^ { times}}$ с ${ Displaystyle р (г) = г ^ {п}}$ это обычная обложка. Преобразования колоды - это умножения на ${ displaystyle n}$ -й корни единства и поэтому группа преобразований колоды изоморфна группе циклическая группа ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ . Точно так же карта ${ Displaystyle ехр двоеточие mathbb {C} to mathbb {C} ^ { times}}$ с ${ Displaystyle ехр (г) = е ^ {г}}$ универсальный чехол.

Монодромия действие

Снова предположим ${ displaystyle p двоеточие C to X}$ покрывающая карта и C (а значит, и Икс) связно и локально путево связано. Если Икс в Икс и c принадлежит волокну над Икс (т.е. ${ Displaystyle р (с) = х}$ ), и ${ Displaystyle гамма двоеточие [0,1] до X}$ это путь с ${ Displaystyle гамма (0) = гамма (1) = х}$ , то этот путь поднимается до уникального пути в C с отправной точкой c. Конечная точка этого поднятого пути не обязательно должна быть c, но он должен лежать в волокне над Икс. Оказывается, что этот конец зависит только от класса γ в фундаментальной группе $π$ ₁(Икс, Икс). Таким образом мы получаем право групповое действие из $π$ ₁(Икс, Икс) на волокне над Икс. Это известно как монодромия действие.

Есть два действия на волокно над Икс : Aut (п) действует слева и $π$ ₁(Икс, Икс) действует справа. Эти два действия совместимы в следующем смысле: ${ Displaystyle е CDOT (с CDOT гамма) = (е CDOT с) CDOT гамма}$ для всех ж в Aut (п), c в п⁻¹(Икс) и γ в $π$ ₁(Икс, Икс).

Если п универсальная крышка, то Aut (п) можно естественным образом отождествить с противоположная группа из $π$ ₁(Икс, Икс) так что левое действие противоположной группы $π$ ₁(Икс, Икс) совпадает с действием Aut (п) на волокне над Икс. Обратите внимание, что Aut (п) и $π$ ₁(Икс, Икс) естественно изоморфны в этом случае (поскольку группа всегда естественно изоморфна своей противоположности через грамм ↦ грамм⁻¹).

Если п это обычный обложка, затем Aut (п) естественно изоморфно частному $π$ ₁(Икс, Икс).

В общем (для хороших пространств) Aut (п) естественно изоморфна фактору нормализатор из п_*( $π$ ₁(C, c)) в $π$ ₁(Икс, Икс) над п_*( $π$ ₁(C, c)), куда п(c) = Икс.

Подробнее о структуре группы

Позволять п : C → Икс быть покрывающей картой, где оба Икс и C связаны по пути. Позволять Икс ∈ Икс быть точкой отсчета Икс и разреши c ∈ C быть одним из его прообразов в C, то есть п(c) = Икс. Существует индуцированный гомоморфизм из фундаментальные группы п_# : $π$ ₁(C, c) → $π$ ₁(Икс,Икс) что инъективно из-за подъемного свойства покрытий. В частности, если γ замкнутый цикл в c такой, что п_#([γ]) = 1, то есть п ∘ γ является нуль-гомотопный в Икс, то рассмотрим нулевую гомотопию п ∘ γ как карта ж : D² → Икс с 2-х дисков D² к Икс так что ограничение ж к границе S¹ из D² равно п ∘ γ. По свойству подъема карта ж поднимается на непрерывную карту грамм : D² → C так что ограничение грамм к границе S¹ из D² равно γ. Следовательно, γ является нуль-гомотопный в C, таким образом ядро из п_# : $π$ ₁(C, c) → $π$ ₁(Икс, Икс) тривиально и поэтому п_# : $π$ ₁(C, c) → $π$ ₁(Икс, Икс) является инъективным гомоморфизмом.

Следовательно, $π$ ₁(C, c) изоморфна подгруппе п_#( $π$ ₁(C, c)) из $π$ ₁(Икс, Икс). Если c₁ ∈ C еще один прообраз Икс в C затем подгруппы п_#( $π$ ₁(C, c)) и п_#( $π$ ₁(C, c₁)) находятся сопрягать в $π$ ₁(Икс, Икс) к п-изображение кривой в C соединение c к c₁. Таким образом, покрывающая карта п : C → Икс определяет класс сопряженности подгрупп группы $π$ ₁(Икс, Икс) и можно показать, что эквивалентные покрытия Икс определяют тот же класс сопряженности подгрупп группы $π$ ₁(Икс, Икс).

Для покрытия п : C → Икс группа п_#( $π$ ₁(C, c)) также можно увидеть равным

{ displaystyle Gamma _ {p} (c) = {[ gamma]: gamma _ {C} { text {- замкнутая кривая в}} C { text {проходя через}} c in C },}

набор гомотопические классы этих замкнутых кривых γ на основе Икс чьи лифты γ_C в C, начинается с c, - замкнутые кривые при c. Если Икс и C путевые, степень покрытия п (то есть мощность любого слоя п) равно индекс [ $π$ ₁(Икс, Икс) : п_#( $π$ ₁(C, c))] из подгруппа п_#( $π$ ₁(C, c)) в $π$ ₁(Икс, Икс).

Ключевой результат теории покрывающих пространств гласит, что для «достаточно хорошего» пространства Икс (а именно, если Икс линейно связно, локально линейно связно и полулокально односвязный ) действительно существует биекция между классами эквивалентности линейно связных покрытий Икс и классы сопряженности подгрупп фундаментальной группы $π$ ₁(Икс, Икс). Основным шагом в доказательстве этого результата является установление существования универсального покрытия, то есть покрытия, соответствующего тривиальной подгруппе группы $π$ ₁(Икс, Икс). Когда-то существовало универсальное покрытие C из Икс устанавливается, если ЧАС ≤ $π$ ₁(Икс, Икс) - произвольная подгруппа, пространство C/ЧАС покрытие Икс соответствующий ЧАС. Также необходимо проверить, что две обложки Икс соответствующей той же (классу сопряженности) подгруппе группы $π$ ₁(Икс, Икс) эквивалентны. Связаны клеточные комплексы и подключен коллекторы являются примерами «достаточно хороших» пространств.

Позволять N(Γ_п) быть нормализатор из Γ_п в $π$ ₁(Икс, Икс). Группа преобразований колоды Aut (п) изоморфна факторгруппа N(Γ_п) / Γ_п. Если п универсальное покрытие, то Γ_п это тривиальная группа, и Aut (п) изоморфна $π$ ₁(Икс).

Давайте обратим этот аргумент. Позволять N быть нормальная подгруппа из $π$ ₁(Икс, Икс). По приведенным выше аргументам это определяет (регулярное) покрытие п : C → Икс. Позволять c₁ в C быть в нити Икс. Тогда для всех остальных c₂ в волокне Икс, существует ровно одно преобразование колоды, которое требует c₁ к c₂. Это преобразование колоды соответствует кривой грамм в C соединение c₁ к c₂.

Отношения с группоидами

Одним из способов выражения алгебраического содержания теории накрывающих пространств является использование группоиды и фундаментальный группоид. Последний функтор дает эквивалентность категорий

{ displaystyle pi _ {1}: operatorname {TopCov} (X) to operatorname {GpdCov} ( pi _ {1} X)}

между категорией покрытий достаточно красивого пространства Икс и категория группоидных накрывающих морфизмов $π$ ₁(Икс). Таким образом, особый вид карта пространств хорошо моделируется определенным видом морфизм группоидов. Категория накрывающих морфизмов группоида грамм также эквивалентна категории действий грамм на наборах, что позволяет восстановить более традиционные классификации покрытий.

Отношения с классифицирующими пространствами и когомологиями групп

Если Икс это связанный клеточный комплекс с гомотопические группы $π$ _п(Икс) = 0 для всех п ≥ 2, то универсальное накрывающее Т из Икс стягивается, как следует из применения Теорема Уайтхеда к Т. В этом случае Икс это классификация пространства или же K(грамм, 1) за грамм = $π$ ₁(Икс).

Причем для каждого п ≥ 0 группа сотовых п-цепи C_п(Т) (это свободная абелева группа с основанием, данным п-ячейки в Т) также имеет естественный Zграмм-модуль структура. Здесь для п-клетка σ в Т и для грамм в грамм клетка грамм σ является в точности транслятом σ накрывающим преобразованием Т соответствующий грамм. Более того, C_п(Т) это свободный Zграмм-модуль с бесплатными Zграмм-основание предоставлено представителями грамм-орбиты п-ячейки в Т. В этом случае стандартный топологический цепной комплекс

{ Displaystyle cdots { overset { partial} { to}} C_ {n} (T) { overset { partial} { to}} C_ {n-1} (T) { overset { partial} { to}} cdots { overset { partial} { to}} C_ {0} (T) { overset { varepsilon} { to}} mathbf {Z},}

где ε - карта аугментации, это свободный Zграмм-разрешающая способность из Z (куда Z оснащен тривиальным Zграмм-модульная структура, гм = м для каждого грамм ∈ грамм и каждый м ∈ Z). Это разрешение можно использовать для вычисления групповые когомологии из грамм с произвольными коэффициентами.

Метод Грэма Эллиса для вычисления резольвент групп и других аспектов гомологической алгебры, как показано в его статье в J. Symbolic Comp. и его веб-страница, указанная ниже, призвана создать универсальную обложку для перспективного K(грамм, 1) индуктивно, в то же время как сжимающая гомотопия этой универсальной оболочки. Последнее дает вычислительный метод.

Обобщения

В качестве теории гомотопии понятие покрывающих пространств хорошо работает, когда группа преобразований колоды дискретна или, что то же самое, когда пространство локально соединенный путём. Однако, когда группа трансформации колоды является топологическая группа чья топология не дискретный, возникают трудности. Некоторый прогресс был достигнут для более сложных пространств, таких как Гавайская серьга; см. ссылки там для получения дополнительной информации.

Некоторые из этих трудностей разрешаются с помощью понятия полупокрытие благодаря Джереми Бразасу, см. статью, цитируемую ниже. Каждая карта покрытия является полупокрытием, но полупокрытие удовлетворяет правилу «2 из 3»: при заданной композиции час = фг карт пространств, если два из них - полупокрытия, то третье тоже. Это правило не выполняется для покрытий, так как композиция покрывающих карт не обязательно должна быть покрывающей картой.

Другое обобщение касается действий группы, которые не являются бесплатными. Росс Геогеган в своем обзоре 1986 года (МИСТЕР 0760769 ) двух работ М.А.Армстронга о фундаментальных группах орбитальные пространства писал: «Эти две статьи показывают, какие части элементарной теории накрывающих пространств переходят из свободного в несвободный случай. Это тот вид основного материала, который должен был быть в стандартных учебниках по фундаментальным группам за последние пятьдесят лет». В настоящее время «Топология и группоиды», перечисленные ниже, по-видимому, являются единственным основным текстом по топологии, охватывающим такие результаты.

Приложения

Карданный замок происходит потому, что любая карта Т³ → RP³ не является покрывающей картой. В частности, соответствующая карта содержит любой элемент Т³, то есть упорядоченная тройка (a, b, c) углов (действительные числа по модулю 2

π

), к композиции трех вращений координатных осей R_Икс(а) ∘R_у(б) ∘R_z(c) на эти углы соответственно. Каждое из этих вращений и их состав является элементом группы вращений. ТАК(3), топологически RP³. На этой анимации показан набор из трех подвесов, установленных вместе, чтобы три степени свободы. Когда все три кардана выровнены (в одной плоскости), система может двигаться только в двух измерениях из этой конфигурации, а не в трех, и находится в карданный замок. В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не крениться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Важное практическое применение покрытий происходит в графики на SO (3), то группа ротации. Эта группа широко используется в технике, так как в ней широко используются трехмерные вращения. навигация, морская техника, и аэрокосмическая техника, среди многих других применений. Топологически SO (3) - это реальное проективное пространство RP³, с фундаментальной группой Z/ 2, и только (нетривиальное) накрывающее пространство гиперсфера S³, которая является группой Отжим (3), и представлен единицей кватернионы. Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом представления пространственных вращений - см. кватернионы и пространственное вращение.

Однако часто бывает желательно представлять вращение набором из трех чисел, известных как Углы Эйлера (во многих вариантах), потому что это концептуально проще для тех, кто знаком с плоским вращением, и потому что можно построить комбинацию из трех подвесы производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению из 3-тора Т³ трех углов к реальному проективному пространству RP³ поворотов, и получившаяся карта имеет недостатки из-за того, что эта карта не может быть покрывающей картой. В частности, неспособность отображения быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется карданный замок, и показано на анимации справа - в некоторых точках (когда оси копланарны) классифицировать карты имеет значение 2, а не 3, что означает, что только 2 измерения поворота могут быть реализованы из этой точки путем изменения углов. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрытия.

Смотрите также

Решетка Бете универсальная обложка Граф Кэли
График покрытия, перекрытие для неориентированный граф, и его частный случай двусторонняя двойная обложка
Группа покрытия
Связь Галуа
Факторное пространство (топология)

Примечания

^ Спаниер, Эдвин (1966). Алгебраическая топология. Макгроу-Хилл. п. 62.
^ Чернавский 2001
^ ^а ^б ^c ^d Мункрес 2000, п. 336
^ Лизкориш (1997). Введение в теорию узлов. С. 66–67.
^ Бредон, Глен (1997). Топология и геометрия. ISBN 978-0387979267.
^ Мункрес 2000, п. 338
^ Мункрес 2000, п. 339, теорема 53.3