Противоположная группа - Opposite group

Это естественная трансформация бинарной операции от группы к ее противоположности. ⟨грамм₁, грамм₂⟩ Обозначает упорядоченная пара двух элементов группы. * 'можно рассматривать как естественно индуцированное добавление +.

В теория групп, филиал математика, противоположная группа это способ построить группа из другой группы, что позволяет определить правильное действие как частный случай левое действие.

Моноиды, группы, кольца, и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом. Строительство противоположная категория обобщает противоположную группу, противоположное кольцо, так далее.

Определение

Позволять ${\displaystyle G}$ быть группой под операцией ${\displaystyle *}$. Противоположная группа ${\displaystyle G}$, обозначенный ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }}$, имеет тот же базовый набор, что и ${\displaystyle G}$, и его групповая операция ${\displaystyle {\mathbin {\ast '}}}$ определяется ${\displaystyle g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}}$.

Если ${\displaystyle G}$ является абелевский, то он равен своей противоположной группе. Кроме того, каждая группа ${\displaystyle G}$ (не обязательно абелев) естественно изоморфный своей противоположной группе: изоморфизм ${\displaystyle \varphi :G\to G^{\mathrm {op} }}$ дан кем-то ${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$. В общем, любой антиавтоморфизм ${\displaystyle \psi :G\to G}$ порождает соответствующий изоморфизм ${\displaystyle \psi ':G\to G^{\mathrm {op} }}$ через ${\displaystyle \psi '(g)=\psi (g)}$, поскольку

${\displaystyle \psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).}$

Групповое действие

Позволять ${\displaystyle X}$ быть объектом в некоторой категории, и ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$ быть правильное действие. потом ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)}$ левое действие, определяемое ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)}$, или же ${\displaystyle g^{\mathrm {op} }x=xg}$.

Смотрите также

• Противоположное кольцо
• Противоположная категория

внешняя ссылка

• http://planetmath.org/oppositegroup