Нехаусдорфово многообразие - Non-Hausdorff manifold

В геометрия и топология, это обычная аксиома многообразие быть Пространство Хаусдорфа. В общая топология, эта аксиома ослаблена, и нехаусдорфовы многообразия: пробелы локально гомеоморфный к Евклидово пространство, но не обязательно Хаусдорф.

Примеры

Линия с двумя истоками

Наиболее известным нехаусдорфовым многообразием является линия с двумя истоками, или же косоглазая линия.

Это факторное пространство двух копий реальной линии

р × {а} и р × {б}

с отношение эквивалентности

{ displaystyle (x, a) sim (x, b) { text {if}} x neq 0.}

Это пространство имеет одну точку для каждого ненулевого действительного числа р и две точки 0_а и 0_б. Локальная база открытых кварталов ${ displaystyle 0_ {a}}$ в этом пространстве можно представить, что оно состоит из множеств вида ${ displaystyle {r in mathbb {R} setminus {0 } vert - varepsilon$ , куда ${ displaystyle varepsilon}$ - любое положительное действительное число. Аналогичное описание локальной базы открытых окрестностей ${ displaystyle 0_ {b}}$ возможно. Таким образом, в этом пространстве все окрестности 0_а пересекают все окрестности 0_б, поэтому оно не хаусдорфово.

Далее, линия с двумя началами не имеет гомотопического типа CW-комплекс, или любого хаусдорфова пространства.^[1]

Линия разветвления

Подобно линии с двумя истоками, ветвь.

Это факторное пространство двух копий реальной линии

р × {а} и р × {б}

с отношение эквивалентности

{ displaystyle (x, a) sim (x, b) { text {if}} x <0.}

В этом пространстве есть одна точка для каждого отрицательного действительного числа. р и два очка ${ displaystyle x_ {a}, x_ {b}}$ для каждого неотрицательного числа: у него есть «вилка» в нуле.

Etale Space

В etale space из пучок, например пучок непрерывных вещественных функций над многообразием, часто не хаусдорфово. (Этальное пространство хаусдорфово, если оно представляет собой пучок функций с некоторой аналитическое продолжение свойство.)^[2]

Примечания

^ Габард, стр. 4–5.
^ Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п.164. ISBN 978-0-387-90894-6.