Локальный диффеоморфизм - Local diffeomorphism

В математика, более конкретно дифференциальная топология, а локальный диффеоморфизм интуитивно карта между гладкие многообразия что сохраняет местный дифференцируемая структура. Формальное определение локального диффеоморфизма дается ниже.

Формальное определение

Позволять Икс и Y быть дифференцируемые многообразия. А функция

{ displaystyle f: от X до Y}

это локальный диффеоморфизм, если для каждой точки Икс в Икс существует открытый набор U содержащий Икс, так что

{ displaystyle f (U)}

открыт в Y и

{ displaystyle f | _ {U}: от U до f (U)}

это диффеоморфизм.

Локальный диффеоморфизм - это частный случай погружение ж из Икс к Y, где изображение ж(U) из U под ж локально имеет дифференцируемую структуру подмногообразие из Y. потом ж(U) и Икс может иметь меньший размер, чем Y.

Обсуждение

Например, даже если все многообразия выглядят локально одинаково (как р^п для некоторых п) в топологическом смысле естественно спросить, ведут ли их дифференцируемые структуры локально одинаково. Например, можно наложить два разных дифференцируемые структуры на р это делает р в дифференцируемое многообразие, но обе структуры не являются локально диффеоморфными (см. ниже). Хотя локальные диффеоморфизмы локально сохраняют дифференцируемую структуру, необходимо иметь возможность «залатать» эти (локальные) диффеоморфизмы, чтобы гарантировать, что область является всей (гладкой) многообразие. Например, не может быть локального диффеоморфизма из 2-сфера к Евклидово 2-пространство хотя они действительно имеют одинаковую локальную дифференцируемую структуру. Это потому, что все локальные диффеоморфизмы непрерывный, непрерывный образ компактное пространство компактно, сфера компактна, в то время как евклидово 2-пространство нет.

Характеристики

Каждый локальный диффеоморфизм также является локальный гомеоморфизм и поэтому открытая карта.
Локальный диффеоморфизм имеет постоянную классифицировать из п.
А диффеоморфизм это биективный локальный диффеоморфизм.
А гладкий карта покрытия является локальным диффеоморфизмом такой, что каждая точка цели имеет район то есть равномерно покрытый по карте.
Согласно теорема об обратной функции, гладкая карта ж : M → N является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда производная Df_п : Т_пM → Т_ж(п)N это линейный изоморфизм по всем пунктам п в M. Обратите внимание, что это означает, что M и N должен иметь такой же размер.

Диффеоморфизмы локальных потоков

Смотрите также

Симметрии пространства-времени