Задача универсального покрытия Лебега - Lebesgues universal covering problem

Равносторонний треугольник диаметром 1 не помещается внутри круга диаметром 1.

Для других вариантов использования «универсального покрытия» или «универсального покрытия» см. Покрытие § Универсальные крышки.

Универсальная проблема покрытия Лебега это нерешенная проблема в геометрия это требует выпуклый форма наименьшей площади, которая может покрыть любой плоский набор диаметра один. В диаметр множества по определению - это наименьшая верхняя граница расстояний между всеми парами точек в множестве. Фигура покрывает набор, если она содержит конгруэнтное подмножество. Другими словами, набор может вращаться, перемещаться или отражаться, чтобы соответствовать форме.

Нерешенная проблема в математике: Какова минимальная площадь выпуклой формы, которая может покрыть каждый плоский набор диаметра один? (больше нерешенных задач по математике)

Проблема была поставлена Анри Лебег в письме к Дьюла Пал в 1914 году. Он был опубликован в статье Пала в 1920 году вместе с анализом Пала.^[1] Он показал, что прикрытие для всех кривые постоянной ширины one также является крышкой для всех наборов диаметра один, и что крышку можно построить, взяв обычный шестиугольник с вписанным кругом диаметром один и удалением двух углов из шестиугольника, чтобы покрыть площадь ${\displaystyle 2-{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 0.84529946}$.

Форма, обведенная черным, - это решение Пала универсальной проблемы покрытия Лебега. В него были включены плоские формы с диаметром один: круг (синий), треугольник Рило (красный) и квадрат (зеленый).

Известные границы

В 1936 г. Роланд Спраг показал, что часть покрытия Пала может быть удалена около одного из других углов, сохраняя при этом свое свойство укрытия.^[2] Это уменьшило верхнюю границу площади до ${\displaystyle a\leq 0.844137708436}$. В 1992 году Хансен показал, что можно удалить еще две очень маленькие области раствора Спрага, снизив верхнюю границу до ${\displaystyle a\leq 0.844137708398}$. Конструкция Хансена была первой, в которой использовалась свобода использования отражений.^[3] 2015 г. Джон Баэз, Карине Багдасарян и Филип Гиббс показали, что если углы, снятые в обложке Пала, срезаны под другим углом, то можно дополнительно уменьшить площадь, давая верхнюю границу ${\displaystyle a\leq 0.8441153}$.^[4]В октябре 2018 года Филип Гиббс опубликовал статью о arXiv используя геометрию средней школы и требуя дальнейшего снижения до 0,8440935944.^[5][6]

Наиболее известная нижняя граница площади была предоставлена ​​Питером Брассом и Мербодом Шарифи с использованием комбинации трех форм в оптимальном выравнивании, дающем ${\displaystyle a\geq 0.832}$.^[7]

Смотрите также

• Проблема червя Мозера, какова минимальная площадь фигуры, которая может покрыть каждую кривую единичной длины?
• Проблема с перемещением дивана, проблема поиска формы максимальной площади, которую можно вращать и перемещать через L-образный коридор.
• Какея набор, набор минимальной площади, который может вместить каждый линейный сегмент единичной длины (с допустимыми перемещениями, но не поворотами)

Рекомендации

1. Пал, Дж. (1920). "'Über ein elementares Проблема вариаций ". Danske Mat.-Fys. Медделелсер III. 2.
2. Спраг, Р. (1936). "Über ein elementares Проблема вариаций". Matematiska Tidsskrift Ser. B: 96–99. JSTOR  24530328.
3. Хансен, Х.С. (1992). «Маленькие универсальные крышки для комплектов единичного диаметра». Geometriae Dedicata. 42: 205–213. Дои:10.1007 / BF00147549. МИСТЕР  1163713.
4. Баэз, Джон С.; Багдасарян Карине; Гиббс, Филип (2015). «Проблема универсального покрытия Лебега». Журнал вычислительной геометрии. 6: 288–299. Дои:10.20382 / jocg.v6i1a12. МИСТЕР  3400942.
5. Гиббс, Филип (23 октября 2018 г.). «Верхняя граница для задачи Лебега о покрытии». arXiv:1810.10089.
6. «Математик-любитель нашел самую маленькую универсальную обложку». Журнал Quanta. Архивировано из оригинал на 2019-01-14. Получено 2018-11-16.
7. Брасс, Питер; Шарифи, Мербод (2005). «Нижняя оценка проблемы универсального покрытия Лебега». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений. 15 (5): 537–544. Дои:10.1142 / S0218195905001828. МИСТЕР  2176049.