Двусторонняя двойная обложка - Bipartite double cover

В теория графов, то двусторонняя двойная обложка из неориентированный граф грамм это двудольный покрывающий граф из грамм, с вдвое большим количеством вершин, чем грамм. Его можно построить как тензорное произведение графов, грамм × K₂. Его еще называют Кронекер двойная крышка, каноническая двойная обложка или просто двудольный двойной из грамм.

Его не следует путать с цикл двойная крышка графа - семейство циклов, в которое каждое ребро входит дважды.

В связный граф который не является двудольным, только одно двойное покрытие является двудольным, но когда граф двудольный или несвязный, их может быть больше одного. По этой причине, Томаж Писанский утверждал, что название «двойное двойное покрытие» должно быть устаревшим в пользу однозначных названий «каноническое двойное покрытие» или «покрытие Кронекера».^[1]

Строительство

Двудольное двойное покрытие грамм имеет две вершины ты_я и ш_я для каждой вершины v_я из грамм. Две вершины ты_я и ш_j соединены ребром в двойной крышке тогда и только тогда, когда v_я и v_j связаны ребром в грамм. Например, ниже приведена иллюстрация двудольного двойного покрытия недвудольного графа. грамм. На иллюстрации каждая вершина в тензорном произведении показана с использованием цвета из первого члена произведения (грамм) и фигура из второго члена произведения (K₂); следовательно, вершины ты_я в двойной крышке показаны кружками, а вершины ш_я показаны в виде квадратов.

Двудольное двойное покрытие также может быть построено с использованием матриц смежности (как описано ниже) или как производный граф график напряжения в котором каждый край грамм помечен ненулевым элементом двухэлементной группа.

Примеры

Двудольное двойное покрытие Граф Петерсена это График дезарга: K₂ × грамм(5,2) = грамм(10,3).

Двудольное двойное покрытие полный график K_п это граф короны (а полный двудольный граф K_п_,п минус идеальное соответствие ). В частности, двудольное двойное покрытие графика тетраэдр, K₄, - график куб.

Двудольное двойное покрытие нечетной длины график цикла представляет собой цикл в два раза большей длины, в то время как двудольный дубль любого двудольного графа (например, цикл четной длины, показанный в следующем примере) формируется двумя непересекающимися копиями исходного графа.

Матричная интерпретация

Если неориентированный граф грамм имеет матрицу А как его матрица смежности, то матрица смежности двойного покрытия грамм является

{ displaystyle left [{ begin {matrix} 0 & A A ^ {T} & 0 end {matrix}} right],}

и матрица двойственности двойной обложки грамм просто А сам. То есть преобразование графа в его двойное покрытие можно выполнить, просто переинтерпретируя А как матрицу смежности, а не как матрицу смежности. В более общем смысле, переосмысление матриц смежности ориентированные графы поскольку матрицы взаимосогласованности обеспечивают комбинаторная эквивалентность между ориентированными графами и сбалансированными двудольными графами.^[2]

Характеристики

Двудольное двойное покрытие любого графа грамм это двудольный граф; обе части двудольного графа имеют по одной вершине для каждой вершины грамм. Двудольное двойное покрытие связаны если и только если грамм связна и недвольна.^[3]

Двудольное двойное покрытие - частный случай двойная крышка (2-кратное покрывающий граф ). Двойное покрытие в теории графов можно рассматривать как частный случай топологическая двойная крышка.

Если грамм не двудольный симметричный граф, двойная обложка грамм также является симметричным графом; несколько известных кубический Таким образом могут быть получены симметричные графы. Например, двойная обложка K₄ - график куба; двойное покрытие графа Петерсена - граф Дезарга; и двойное покрытие графика додекаэдр симметричный кубический граф с 40 вершинами.^[4]

Два разных графика могут иметь изоморфный двудольные двойные обложки. Например, граф Дезарга - это не только двудольное двойное покрытие графа Петерсена, но также двудольное двойное покрытие другого графа, который не изоморфен графу Петерсена.^[5] Не всякий двудольный граф является двудольным двойным покрытием другого графа; для двудольного графа грамм чтобы быть двудольным покрытием другого графа, необходимо и достаточно, чтобы автоморфизмы из грамм включать инволюция который отображает каждую вершину в отдельную и несмежную вершину.^[5] Например, граф с двумя вершинами и одним ребром является двудольным, но не является двудольным двойным покрытием, потому что у него нет несмежных пар вершин, которые можно было бы отобразить друг в друга с помощью такой инволюции; с другой стороны, граф куба является двудольным двойным покрытием и имеет инволюцию, которая отображает каждую вершину в диаметрально противоположную вершину. Альтернативная характеристика двудольных графов, которые могут быть образованы конструкцией двудольного двойного покрытия, была получена Сампаткумар (1975).

Другие двойные обложки

В общем, граф может иметь несколько двойных покрытий, отличных от двудольных двойных покрытий.^[6] На следующем рисунке график C является двойным покрытием графа ЧАС:

График C это покрывающий граф из ЧАС: существует сюръективный локальный изоморфизм ж из C к ЧАС, обозначенный цветами. Например, ж отображает оба синих узла в C к синему узлу в ЧАС. Кроме того, пусть Икс быть район синего узла в C и разреши Y быть окрестностью синего узла в ЧАС; то ограничение ж к Икс это биекция от Икс к Y. В частности, степень каждого синего узла одинакова. То же самое относится к каждому цвету.
График C это двойной крышка (или 2-кратная крышка или же 2-лифт) из ЧАС: прообраз каждого узла в ЧАС имеет размер 2. Например, в C которые сопоставлены с синим узлом в ЧАС.

Тем не мение, C это не двудольный двойное покрытие ЧАС или любой другой график; это не двудольный граф.

Если заменить один треугольник на квадрат в ЧАС получившийся граф имеет четыре различных двойных покрытия. Две из них двудольные, но только одна из них - крышка Кронекера.

Другой пример: график икосаэдр является двойным покрытием полного графа K₆; получить карту покрытия от икосаэдра до K₆, отобразить каждую пару противоположных вершин икосаэдра в одну вершину K₆. Однако икосаэдр не является двудольным, поэтому он не является двудольным двойным покрытием K₆. Вместо этого его можно получить как ориентируемая двойная крышка из встраивание из K₆ на проективная плоскость.

Смотрите также

Двудольная половина

Примечания

^ Писанский (2018).
^ Дульмадж и Мендельсон (1958); Бруальди, Харари и Миллер (1980).
^ Бруальди, Харари и Миллер (1980), Теорема 3.4.
^ Feng et al. (2008).
^ ^а ^б Имрих и Пизанский (2008).
^ Уоллер (1976).

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Двудольный двойной граф». MathWorld.

[FOOTNOTEPisanski2018-1] Писанский (2018).

[2] Дульмадж и Мендельсон (1958); Бруальди, Харари и Миллер (1980).

[3] Бруальди, Харари и Миллер (1980), Теорема 3.4.

[4] Feng et al. (2008).

[ip08-5] а ^б Имрих и Пизанский (2008).

[6] Уоллер (1976).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]