Исключительный изоморфизм - Exceptional isomorphism

В математика, исключительный изоморфизм, также называемый случайный изоморфизм, является изоморфизм между членами а_я и б_j двух семейств математических объектов, обычно бесконечных, что не является примером паттерна таких изоморфизмов.^{[примечание 1]} Эти совпадения иногда считаются мелочью,^[1] но в других отношениях они могут вызвать другие явления, в частности исключительные объекты.^[1] Далее перечислены совпадения, где бы они ни происходили.

Группы

Конечные простые группы

Исключительные изоморфизмы между сериями конечные простые группы в основном вовлекают проективные специальные линейные группы и чередующиеся группы, и являются:^[1]

• ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(4)\cong \operatorname {PSL} _{2}(5)\cong A_{5},}$ наименьшая неабелева простая группа (порядок 60) - икосаэдрическая симметрия;
• ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(7)\cong \operatorname {PSL} _{3}(2),}$ вторая по величине неабелева простая группа (порядок 168) - PSL (2,7);
• ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(9)\cong A_{6},}$
• ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{4}(2)\cong A_{8},}$
• ${\displaystyle \operatorname {PSU} _{4}(2)\cong \operatorname {PSp} _{4}(3),}$ между проективная специальная ортогональная группа и проективная симплектическая группа.

Чередующиеся группы и симметричные группы

Смотрите также: Исключительный внешний автоморфизм S6

В соединение пяти тетраэдров выражает исключительный изоморфизм между группой икосаэдра и знакопеременной группой на пяти буквах.

Есть совпадения между симметричными / знакопеременными группами и малыми группами лиева типа /многогранные группы:^[2]

• ${\displaystyle S_{3}\cong \operatorname {PSL} _{2}(2),}$
• ${\displaystyle A_{4}\cong \operatorname {PSL} _{2}(3)\cong }$ тетраэдрическая группа,
• ${\displaystyle S_{4}\cong }$ полная тетраэдрическая группа ${\displaystyle \cong }$ октаэдрическая группа,
• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} _{2}(4)\cong \operatorname {PSL} _{2}(5)\cong }$ группа икосаэдров,
• ${\displaystyle A_{6}\cong \operatorname {PSL} _{2}(9)\cong \operatorname {Sp} _{4}(2)',}$
• ${\displaystyle S_{6}\cong \operatorname {Sp} _{4}(2),}$
• ${\displaystyle A_{8}\cong \operatorname {PSL} _{4}(2)\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2)',}$
• ${\displaystyle S_{8}\cong \operatorname {O} _{6}^{+}(2).}$

Все это можно объяснить систематическим образом, используя линейную алгебру (и действие ${\displaystyle S_{n}}$ по аффинному ${\displaystyle n}$-пространство), чтобы определить изоморфизм, идущий от правой стороны к левой стороне. (Приведенные выше изоморфизмы для ${\displaystyle A_{8}}$ и ${\displaystyle S_{8}}$ связаны исключительным изоморфизмом ${\displaystyle \operatorname {SL} _{4}/\mu _{2}\cong \operatorname {SO} _{6}}$.) Также есть совпадения с симметриями правильные многогранники: знакопеременная группа A₅ согласен с группа икосаэдров (сам по себе исключительный объект), а двойная крышка знакопеременной группы A₅ это бинарная группа икосаэдра.

Тривиальная группа

В тривиальная группа возникает множеством способов. Тривиальная группа часто опускается в начале классического семейства. Например:

• ${\displaystyle C_{1}}$, циклическая группа порядка 1;
• ${\displaystyle A_{0}\cong A_{1}\cong A_{2}}$, чередующаяся группа из 0, 1 или 2 букв;
• ${\displaystyle S_{0}\cong S_{1}}$, симметричная группа из 0 или 1 буквы;
• ${\displaystyle \operatorname {GL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {SL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (0,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (0,\mathbb {K} )}$, линейные группы 0-мерного векторного пространства;
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PGL} (1,\mathbb {K} )\cong \operatorname {PSL} (1,\mathbb {K} )}$, линейные группы одномерного векторного пространства
• и много других.

Сферы

Сферы S⁰, S¹, и S³ допускают групповые структуры, которые можно описать разными способами:

• ${\displaystyle S^{0}\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} ^{\times }}$, последняя группа единиц целых чисел,
• ${\displaystyle S^{1}\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong }$ круговая группа
• ${\displaystyle S^{3}\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong }$ кватернионы единиц.

Спиновые группы

В добавление к ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)}$, ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}$ выше, существуют изоморфизмы для спиновых групп более высоких размерностей:

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {Sp} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$

Также, Отжим (8) имеет исключительный порядок 3 триальность автоморфизм

Диаграммы Кокстера – Дынкина

Смотрите также: Кляйн переписка

Есть некоторые исключительные изоморфизмы Диаграммы Дынкина, дающие изоморфизмы соответствующих групп Кокстера и многогранников, реализующих симметрии, а также изоморфизмы алгебр Ли, корневые системы которых описываются одними и теми же диаграммами. Это:

Диаграмма	Классификация Дынкина	Алгебра Ли	Многогранник
	А1 = B1 = C1	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$	-
${\displaystyle \cong }$	А2 = я2(2)	-	2-симплекс является обычный 3-угольный (равносторонний треугольник )
	до н.э2 = я2(4)	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$	2-куб является 2-кросс-многогранник является обычный 4-угольный (квадрат )
${\displaystyle \cong }$	А1 × А1 = D2	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\oplus {\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{4}}$	-
${\displaystyle \cong }$	А3 = D3	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$	3-симплексный является 3-полугиперкуб (правильный тетраэдр )

Смотрите также

• Исключительный объект
• Математическое совпадение, для численных совпадений

Примечания

1. Поскольку эти серии объектов представлены по-разному, они не являются идентичными объектами (не имеют идентичных описаний), но, оказывается, описывают один и тот же объект, поэтому это называется изоморфизмом, а не равенством (тождеством).

Рекомендации

1. Уилсон, Роберт А. (2009), "Глава 1 Введение", Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012, Препринт 2007 г.; Глава Дои:10.1007/978-1-84800-988-2_1.
2. Уилсон, Роберт А. (2009), Глава 3