Триальность - Triality

Автоморфизмы диаграммы Дынкина D₄ порождают тройственность в Spin (8).

В математика, триальность это отношения между тремя векторные пространства, аналогично двойственность отношения между двойные векторные пространства. Чаще всего он описывает эти особенности Диаграмма Дынкина D₄ и связанные Группа Ли Отжим (8), то двойная крышка 8-мерной группы вращения ТАК (8), возникающая из-за наличия в группе внешний автоморфизм третьего порядка. Существует геометрическая версия тройственности, аналогичная двойственность в проективной геометрии.

Из всех простые группы Ли, Spin (8) имеет наиболее симметричную диаграмму Дынкина, D₄. На схеме четыре узла, один из которых расположен в центре, а остальные три прикреплены симметрично. В группа симметрии диаграммы - это симметричная группа S₃ который действует путем перестановки трех ног. Это вызывает S₃ группа внешних автоморфизмов Spin (8). Эта группа автоморфизмов переставляет три 8-мерных неприводимые представления спина (8); это вектор представительство и два хиральный вращение представления. Эти автоморфизмы не проецируются на автоморфизмы SO (8). Векторное представление - естественное действие SO (8) (следовательно, Spin (8)) на $F 8$ - состоит из реального числа Евклидовы 8-векторы и обычно известен как «определяющий модуль», в то время как представления хирального спина также известны как "представления полуспина", и все три из них фундаментальные представления.

Никакая другая диаграмма Дынкина не имеет группы автоморфизмов порядка выше 2; для других D_п (соответствующие другим четным группам Spin, Spin (2п)) по-прежнему существует автоморфизм, соответствующий переключению двух представлений полуспина, но они не изоморфны векторному представлению.

Грубо говоря, симметрии диаграммы Дынкина приводят к автоморфизмам Здание Брюа – Титса связаны с группой. Для специальные линейные группы, получаем проективную двойственность. Для Spin (8) обнаруживается любопытный феномен, включающий 1-, 2- и 4-мерные подпространства 8-мерного пространства, исторически известный как «геометрическая тройственность».

Исключительная 3-кратная симметрия D₄ диаграмма также приводит к Группа Steinberg ³D₄.

Общая формулировка

Двойственность между двумя векторными пространствами над полем $F$ невырожденный билинейная форма

{ displaystyle V_ {1} times V_ {2} to F,}

т.е. для каждого ненулевого вектора $v$ в одном из двух векторных пространств спаривание с $v$ ненулевой линейный функционал с другой.

Точно так же тройственность между тремя векторными пространствами над полем $F$ невырожденный трехлинейная форма

{ displaystyle V_ {1} times V_ {2} times V_ {3} to F,}

т.е. каждый ненулевой вектор в одном из трех векторных пространств индуцирует двойственность между двумя другими.

Выбирая векторы $е я$ в каждом $V я$ на котором трилинейная форма равна 1, мы обнаруживаем, что все три векторных пространства изоморфный друг к другу и к своим двойникам. Обозначая это общее векторное пространство как $V$ , тройственность может быть выражена как билинейное умножение

{ Displaystyle V раз от V до V}

где каждый $е я$ соответствует элементу идентичности в $V$ . Из условия невырожденности теперь следует, что $V$ это композиционная алгебра. Это следует из того $V$ имеет размерность 1, 2, 4 или 8. Если дальше $F = р$ и форма, используемая для идентификации $V$ со своим дуалом положительно определенный, тогда $V$ это Евклидова алгебра Гурвица, и поэтому изоморфен р, C, ЧАС илиО.

И наоборот, композиционные алгебры сразу же вызывают пробу, взяв каждую $V я$ равняется алгебре, и договор умножение на внутреннее произведение алгебры для получения трилинейной формы.

Альтернативная конструкция триальности использует спиноры в размерностях 1, 2, 4 и 8. Восьмимерный случай соответствует свойству тройственности Спина (8).

Смотрите также

Тройной продукт, может быть связано с четырехмерной тройственностью (на кватернионы )

использованная литература

Джон Фрэнк Адамс (1981), Спин (8), Triality, F₄ и все такое, в "Суперпространстве и супергравитации", под редакцией Стивена Хокинга и Мартина Рочека, Cambridge University Press, страницы 435–445.
Джон Фрэнк Адамс (1996), Лекции об исключительных группах Ли (Чикагские лекции по математике), под редакцией Зафера Махмуда и Маморы Мимуры, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5.

дальнейшее чтение

Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций. Публикации коллоквиума. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001.
Уилсон, Роберт (2009). Конечные простые группы. Тексты для выпускников по математике. 251. Springer-Verlag. ISBN 1-84800-987-9. Zbl 1203.20012.

внешние ссылки

Спиноры и суды Джон Баэз
Триальность с Zometool Дэвид Рихтер