Теорема Гурвица (композиционные алгебры) - Hurwitzs theorem (composition algebras)

В математика, Теорема Гурвица это теорема Адольф Гурвиц (1859–1919), опубликованная посмертно в 1923 году, решающая Проблема Гурвица для конечномерных единый настоящий неассоциативные алгебры наделен положительно определенная квадратичная форма. Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм в положительные действительные числа на ненулевой части алгебры, то алгебра должна быть изоморфный к действительные числа, то сложные числа, то кватернионы, или октонионы. Такие алгебры, иногда называемые Алгебры Гурвица, являются примерами композиционные алгебры.

Впоследствии теория композиционных алгебр была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля.^[1] Из теоремы Гурвица следует, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в 1, 2, 4 и 8 измерениях. Этот результат был первоначально доказан Гурвицем в 1898 году. Это частный случай формулы Проблема Гурвица, решено также в Радон (1922). Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманн (1943) с использованием теория представлений конечных групп и по Ли (1948) и Шевалле (1954) с помощью Алгебры Клиффорда. Теорема Гурвица применялась в алгебраическая топология к проблемам на векторные поля на сферах и гомотопические группы из классические группы^[2] И в квантовая механика к классификация простых йордановых алгебр.^[3]

Евклидовы алгебры Гурвица

Определение

А Алгебра Гурвица или же композиционная алгебра является конечномерной не обязательно ассоциативной алгеброй А с единицей, наделенной невырожденной квадратичной формой q такой, что q(а б) = q(а) q(б). Если базовым полем коэффициентов является реалы и q положительно определен, так что (а, б) = 1/2[q(а + б) − q(а) − q(б)] является внутренний продукт, тогда А называется Евклидова алгебра Гурвица или (конечномерный) нормированная алгебра с делением.^[4]

Если А является евклидовой алгеброй Гурвица и а в А, определим инволюцию и операторы правого и левого умножения как

${\displaystyle \displaystyle {a^{*}=-a+2(a,1)1,\,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b=ba.}}$

Очевидно, инволюция имеет период два и сохраняет внутренний продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

• инволюция - антиавтоморфизм, т. е. (а б)*=б* а*
• а а* = ‖ а ‖² 1 = а* а
• L(а*) = L(а)*, р(а*) = р(а)*, так что инволюция на алгебре соответствует взятию примыкает
• Re (а б) = Re (б а) если ReИкс = (Икс + Икс*)/2 = (Икс, 1)1
• Re (а б) c = Reа(до н.э)
• L(а²) = L(а)², р(а²) = р(а)², так что А является альтернативная алгебра.

Эти свойства доказываются исходя из поляризованной версии тождества (а б, а б) = (а, а)(б, б):

${\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}$

Параметр б = 1 или же d = 1 дает L(а*) = L(а)* и р(c*) = р(c)*.

Следовательно Re (а б) = (а б, 1)1 = (а, б*)1 = (б а, 1) 1 = Re (б а).

по аналогии Re (а б)c = ((а б)c,1)1 = (а б, c*)1 = (б, а* c*)1 = (до н.э,а*)1 = (а(до н.э), 1) 1 = Re а(до н.э).

Следовательно ((ab) *, в) = (ab,c*) = (б,а*c*) = (1,б*(а*c*)) = (1,(б*а*)c*) = (б*а*,c), так что (ab)* = б*а*.

Поляризованной идентичностью ‖ а ‖² (c, d) = (а с, а д) = (а* а с, d) так L(а*) L (а) = ‖ а ‖². В применении к 1 это дает а* а = ‖ а ‖². Замена а к а* дает другую личность.

Подставляя формулу для а* в L(а*) L(а) = L(а* а) дает L(а)² = L(а²).

Классификация

Обычно проверяют, что реальные числа р, комплексные числа C и кватернионы ЧАС являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Есть еще и природные включения р ⊂ C ⊂ ЧАС.

Анализ такого включения приводит к Конструкция Кэли-Диксона, оформленный А.А. Альберт. Позволять А - евклидова алгебра Гурвица и B собственно унитальная подалгебра, значит, евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберите единичный вектор j в А ортогонален B. С (j, 1) = 0, следует, что j* = −j и поэтому j² = −1. Позволять C быть подалгеброй, порожденной B и j. Она унитальна и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Он удовлетворяет следующим Законы умножения Кэли-Диксона:

${\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}$

B и B j ортогональны, так как j ортогонален B. Если а в B, тогда j a = а* j, поскольку ортогональным 0 = 2 (j, а*) = j a − а* j. Формула инволюции следующая. Чтобы показать это B ⊕ B j замкнуто относительно умножения ЛЮ = j B. С B j ортогонален 1, (b j)* = −b j.

• б(c j) = (в б)j поскольку (б, j) = 0 так что для Икс в А, (б(c j), Икс) = (б(j x), j(c j)) = −(б(j x), c*) = −(в б, (j x)*) = −((в б)j, Икс*) = ((в б)j, Икс).
• (j c)б = j(до н.э) принимая сопряжения выше.
• (b j)(c j) = −c* б поскольку (б, c j) = 0, так что при Икс в А, ((b j)(c j), Икс) = −((c j)Икс*, b j) = (б х*, (c j)j) = −(c* б, Икс).

Наложение мультипликативности нормы на C за а + b j и c + d j дает:

${\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}$

что приводит к

${\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}$

Следовательно d(а с) = (d a)c, так что B должен быть ассоциативным.

Этот анализ применим к включению р в C и C в ЧАС. Принимая О = ЧАС ⊕ ЧАС с произведением и внутренним произведением выше дает некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную J = (0, 1). Это восстанавливает обычное определение октонионы или же Числа Кэли. Если А является евклидовой алгеброй, она должна содержать р. Если он строго больше, чем р, приведенный выше аргумент показывает, что он содержит C. Если он больше, чем C, это содержит ЧАС. Если он еще больше, он должен содержать О. Но на этом процесс должен остановиться, потому что О не ассоциативен. Фактически ЧАС не коммутативен и а(b j) = (б а) j ≠ (а б)j в О.^[5]

Теорема. Единственные евклидовы алгебры Гурвица - это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Прочие доказательства

Доказательства Ли (1948) и Шевалле (1954) использовать Алгебры Клиффорда чтобы показать, что размер N из А должно быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы L(а) с (а, 1) = 0 удовлетворить L(а)² = −‖ а ‖² и таким образом образуют настоящую алгебру Клиффорда. Если а - единичный вектор, то L(а) кососопряжена с квадратом −я. Так N должно быть либо четное или 1 (в этом случае А не содержит единичных векторов, ортогональных 1). Настоящая алгебра Клиффорда и ее комплексирование действовать на усложнение А, N-мерное сложное пространство. Если N даже, N − 1 нечетно, поэтому в алгебре Клиффорда ровно два комплексных неприводимые представления измерения 2^{N/2 − 1}. Так это степень 2 должен разделить N. Легко видеть, что это означает N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экманн (1954) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFEckmann1954 (помощь) использует теорию представлений конечных групп или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп, которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. Действительно, взяв ортонормированный базис е_я ортогонального дополнения к единице порождает операторы U_я = L(е_я)удовлетворение

${\displaystyle \displaystyle {U_{i}^{2}=-I,\,\,\,U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}}$

Это проективное представление прямого продукта N − 1 группы порядка 2. (N предполагается больше 1.) Операторы U_я по построению кососимметричны и ортогональны. Фактически Экманн построил операторы этого типа несколько другим, но эквивалентным способом. Фактически, это метод, который изначально использовался в Гурвиц (1923).^[6] Предположим, что существует закон композиции для двух форм

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}$

куда z_я билинейно в Икс и у. Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}$

где матрица Т(Икс) = (а_ij) линейно по Икс. Приведенные выше отношения эквивалентны

${\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

Письмо

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}$

отношения становятся

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

Теперь установите V_я = (Т_N)^т Т_я. Таким образом V_N = я и V₁, ... , V_{N − 1} кососопряженные, ортогональные, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, что и U_яs:

${\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\,\,\,V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}$

С V_я ортогональная матрица с квадратом −я в реальном векторном пространстве, N даже.

Позволять грамм конечная группа, порожденная элементами v_я такой, что

${\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\,\,\,v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}$

куда ε является центральным порядка 2. Коммутаторная подгруппа [грамм, грамм] просто состоит из 1 и ε. Если N нечетно, это совпадает с центром, а если N есть ли даже в центре порядок 4 с лишними элементами γ = v₁ ... v_{N − 1} и ε γ. Если грамм в грамм не в центре, его класс сопряженности точно грамм и ε г. Таким образом, есть2^{N − 1} + 1 классы сопряженности для N странно и 2^{N − 1} + 2 за N четное. грамм имеет | грамм / [грамм, грамм] | = 2^{N − 1} Одномерные комплексные представления. Общее количество неприводимых комплексных представлений - это количество классов сопряженности. Итак, поскольку N четно, есть еще два неприводимых комплексных представления. Так как сумма квадратов измерений равна | грамм | и размеры разделяют | грамм |, две неприводимые должны иметь размерность 2^{(N − 2)/2}. Когда N четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, так же как и степень двойки, поэтому они оба должны иметь измерение 2^{(N − 2)/2}. Пространство, на котором V_япоступок может быть сложным. Он будет иметь сложное измерение N. Он распадается на некоторые сложные неприводимые представления грамм, все имеют размер 2^{(N − 2)/2}. В частности, это измерение ≤ N, так N меньше или равно 8. Если N = 6, размерность 4, что не делит 6. Итак N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Приложения к йордановым алгебрам

Позволять А - евклидова алгебра Гурвица, и пусть M_п(А) быть алгеброй п-к-п матрицы над А. Это единичная неассоциативная алгебра с инволюцией, заданной формулой

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

След Тр (Икс) определяется как сумма диагональных элементов Икс а реальный след -Тр_р(Икс) = Re Tr (Икс). След с действительным знаком удовлетворяет:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

Это непосредственные последствия известных идентичностей для п = 1.

В А определить ассоциатор к

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

Он трехлинейный и тождественно обращается в нуль, если А ассоциативно. С А является альтернативная алгебра[а, а, б] = 0 и [б, а, а] = 0. Из поляризации следует, что ассоциатор антисимметричен в трех своих элементах. Кроме того, если а, б или же c роды р тогда [а, б, c] = 0. Эти факты означают, что M₃(А) обладает определенными коммутационными свойствами. Фактически, если Икс матрица в M₃(А) с реальными входами на диагонали, то

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

с а в А. Фактически, если Y = [Икс, Икс²], тогда

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}}$

Поскольку диагональные элементы Икс реальны, недиагональные записи Y исчезнуть. Каждая диагональ Y представляет собой сумму двух ассоциаторов, включающую только недиагональные члены Икс. Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок, диагональные элементы Y все равны.

Позволять ЧАС_п(А) - пространство самосопряженных элементов в M_п(А) с продуктом Икс∘Y = 1/2(X Y + Y X) и внутренний продукт (Икс, Y) = Tr_р(X Y).

Теорема. ЧАС_п(А) это Евклидова йорданова алгебра если А ассоциативно (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и п ≥ 3 или если А неассоциативна (октонионы) и п = 3.

В исключительный Йорданова алгебра ЧАС₃(О) называется Алгебра Альберта после А.А. Альберт.

Чтобы проверить это ЧАС_п(А) удовлетворяет аксиомам евклидовой йордановой алгебры, действительный след определяет симметричную билинейную форму с (Икс, Икс) = ∑ ‖ Икс_ij ‖². Так что это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности (Z∘Икс, Y) = (Икс, Z∘Y) из-за свойств реального следа. Основная аксиома, которую необходимо проверить, - это условие Жордана для операторов L(Икс) определяется L(Икс)Y = Икс∘Y:

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

Это легко проверить, когда А ассоциативно, поскольку M_п(А) является ассоциативной алгеброй, поэтому йорданова алгебра с Икс∘Y = 1/2(X Y + Y X). Когда А = О и п = 3 требуется специальный аргумент, один из самых коротких из-за Фройденталь (1951).^[7]

Фактически, если Т в ЧАС₃(О) с ТрТ = 0, тогда

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

определяет кососопряженный вывод ЧАС₃(О). В самом деле,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}$

так что

${\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}$

Поляризационные выходы:

${\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}$

Параметр Z = 1, показывает, что D кососопряженный. Свойство деривации D(Икс∘Y) = D(Икс)∘Y + Икс∘D(Y) Отсюда следует и свойство ассоциативности внутреннего продукта в приведенном выше тождестве.

С А и п как и в формулировке теоремы, пусть K - группа автоморфизмов E = ЧАС_п(А) оставляя неизменным внутренний продукт. Это замкнутая подгруппа группы О (E) так что компактная группа Ли. Его алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фройденталь (1951) показал, что данный Икс в E есть автоморфизм k в K такой, что k(Икс) - диагональная матрица. (В силу самосопряженности диагональные элементы будут вещественными.) Из теоремы Фрейденталя о диагонализации немедленно следует условие Жордана, поскольку произведения Жордана на вещественные диагональные матрицы коммутируют на M_п(А) для любой неассоциативной алгебры А.

Чтобы доказать теорему диагонализации, возьмем Икс в E. По компактности k можно выбрать в K минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов k(Икс). С K сохраняет суммы всех квадратов, это равносильно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов k(Икс). Замена Икс к k X, можно предположить, что максимум достигается при Икс. Поскольку симметричная группа S_п, действуя перестановкой координат, лежит в K, если Икс не диагональна, можно предположить, что Икс₁₂ и прилегающий Икс₂₁ не равны нулю. Позволять Т - кососопряженная матрица с (2, 1) Вход а, (1, 2) Вход −а* и 0 в другом месте и пусть D быть производным объявлением Т из E. Позволять k_т = exptD в K. Тогда только первые две диагональные записи в Икс(т) = k_тИкс отличаются от Икс. Диагональные записи настоящие. Производная от Икс₁₁(т) в т = 0 это (1, 1) координата [Т, Икс], т.е. а* Икс₂₁ + Икс₁₂ а = 2(Икс₂₁, а). Эта производная отлична от нуля, если а = Икс₂₁. С другой стороны, группа k_т сохраняет след с действительным знаком. Поскольку это может только измениться Икс₁₁ и Икс₂₂, это сохраняет их сумму. Однако на кону Икс + у =постоянный, Икс² + у² не имеет локального максимума (только глобальный минимум); противоречие. Следовательно Икс должен быть диагональным.

Смотрите также

• Мультипликативная квадратичная форма
• Число Радона – Гурвица

Примечания

1. Видеть:
   • Лам 2005
   • Раджваде 1993
   • Шапиро 2000
2. Видеть:
   • Экманн 1989
   • Экманн 1999
3. Иордания, фон Нейман и Вигнер 1934
4. Фараут и Кораньи 1994, п. 82
5. Фараут и Кораньи 1994, стр. 81–86
6. Видеть:
   • Гурвиц 1923, п. 11
   • Херштейн 1968, стр. 141–144
7. Видеть:
   • Фараут и Кораньи 1994, стр. 88–91
   • Постников 1986

Рекомендации

• Альберт, А.А. (1934), "Об одной алгебре квантовой механики", Анна. математики., 35 (1): 65–73, Дои:10.2307/1968118, JSTOR  1968118
• Шевалле, К. (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда, Издательство Колумбийского университета
• Экманн, Бено (1943), "Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz – Radon über die Komposition quadratischer Formen", Комментарий. Математика. Helv., 15: 358–366, Дои:10.1007 / bf02565652
• Экманн, Бено (1989), «Матрицы Гурвица – Радона и периодичность по модулю 8», Enseign. Математика., 35: 77–91, архивировано с оригинал на 2013-06-16
• Экманн, Бено (1999), «Топология, алгебра, анализ - отношения и недостающие звенья», Замечает амер. Математика. Soc., 46: 520–527
• Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  978-0198534778
• Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
• Фройденталь, Ганс (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Геом. Dedicata, 19: 7–63, Дои:10.1007 / bf00233101 (перепечатка статьи 1951 г.)
• Герштейн, И. Н. (1968), Некоммутативные кольца, Математические монографии Каруса, 15, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0883850152
• Гурвиц, А. (1898), "Über die Composition der quadratischen Formen von correbig vielen Variabeln", Гетт. Nachr.: 309–316
• Гурвиц, А. (1923), "Über die Komposition der quadratischen Formen", Математика. Анна., 88 (1–2): 1–25, Дои:10.1007 / bf01448439
• Якобсон, Н. (1968), Строение и представления йордановых алгебр, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39, Американское математическое общество
• Jordan, P .; von Neumann, J .; Вигнер, Э. (1934), "Об одном алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", Анна. математики., 35 (1): 29–64, Дои:10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1095-8, МИСТЕР  2104929, Zbl  1068.11023
• Ли, Х. К. (1948), "Sur le théorème de Hurwitz-Radon для композиции форм квадратиков", Комментарий. Математика. Helv., 21: 261–269, Дои:10.1007 / bf02568038, заархивировано из оригинал на 2014-05-03
• Портеус, И. (1969), Топологическая геометрия, Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN  978-0-442-06606-2, Zbl  0186.06304
• Постников, М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V, Мир
• Радон, Дж. (1922), "Lineare scharen orthogonaler matrizen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1: 1–14, Дои:10.1007 / bf02940576
• Раджваде, А. Р. (1993), Квадраты, Серия лекций Лондонского математического общества, 171, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-42668-8, Zbl  0785.11022
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры, Dover Publications, ISBN  978-0-486-68813-8, Zbl  0145.25601
• Шапиро, Дэниел Б. (2000), Композиции квадратичных форм, Выставки Де Грюйтера по математике, 33, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-012629-7, Zbl  0954.11011

дальнейшее чтение

• Баэз, Джон К. (2002), "Октонионы", Бык. Амер. Математика. Soc., 39 (2): 145–205, arXiv:математика / 0105155, Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X
• Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия, А. К. Питерс, ISBN  978-1568811345
• Кантор, И.Л .; Солодовников, А. (1989), "Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гурвица", Гиперкомплексные числа. Элементарное введение в алгебры, Пер. А. Шеницер (2-е изд.), Springer-Verlag, п.121, ISBN  978-0-387-96980-0, Zbl  0669.17001
• Макс Кехер & Райнхольд Реммерт (1990) "Композиционные алгебры. Теорема Гурвица - алгебры векторного произведения", глава 10 Числа к Хайнц-Дитер Эббингаус и др., Springer, ISBN  0-387-97202-1
• Спрингер, Т.А.; Ф. Д. Велдкамп (2000), Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66337-9