Теорема Гурвица (композиционные алгебры) - Hurwitzs theorem (composition algebras)

В математика, Теорема Гурвица это теорема Адольф Гурвиц (1859–1919), опубликованная посмертно в 1923 году, решающая Проблема Гурвица для конечномерных единый настоящий неассоциативные алгебры наделен положительно определенная квадратичная форма. Теорема утверждает, что если квадратичная форма определяет гомоморфизм в положительные действительные числа на ненулевой части алгебры, то алгебра должна быть изоморфный к действительные числа, то сложные числа, то кватернионы, или октонионы. Такие алгебры, иногда называемые Алгебры Гурвица, являются примерами композиционные алгебры.

Впоследствии теория композиционных алгебр была обобщена на произвольные квадратичные формы и произвольные поля.[1] Из теоремы Гурвица следует, что мультипликативные формулы для сумм квадратов могут встречаться только в 1, 2, 4 и 8 измерениях. Этот результат был первоначально доказан Гурвицем в 1898 году. Это частный случай формулы Проблема Гурвица, решено также в Радон (1922). Последующие доказательства ограничений на размерность были даны Экманн (1943) с использованием теория представлений конечных групп и по Ли (1948) и Шевалле (1954) с помощью Алгебры Клиффорда. Теорема Гурвица применялась в алгебраическая топология к проблемам на векторные поля на сферах и гомотопические группы из классические группы[2] И в квантовая механика к классификация простых йордановых алгебр.[3]

Евклидовы алгебры Гурвица

Определение

А Алгебра Гурвица или же композиционная алгебра является конечномерной не обязательно ассоциативной алгеброй А с единицей, наделенной невырожденной квадратичной формой q такой, что q(а б) = q(а) q(б). Если базовым полем коэффициентов является реалы и q положительно определен, так что (а, б) = 1/2[q(а + б) − q(а) − q(б)] является внутренний продукт, тогда А называется Евклидова алгебра Гурвица или (конечномерный) нормированная алгебра с делением.[4]

Если А является евклидовой алгеброй Гурвица и а в А, определим инволюцию и операторы правого и левого умножения как

Очевидно, инволюция имеет период два и сохраняет внутренний продукт и норму. Эти операторы обладают следующими свойствами:

  • инволюция - антиавтоморфизм, т. е. (а б)*=б* а*
  • а а* = ‖ а ‖2 1 = а* а
  • L(а*) = L(а)*, р(а*) = р(а)*, так что инволюция на алгебре соответствует взятию примыкает
  • Re (а б) = Re (б а) если ReИкс = (Икс + Икс*)/2 = (Икс, 1)1
  • Re (а б) c = Reа(до н.э)
  • L(а2) = L(а)2, р(а2) = р(а)2, так что А является альтернативная алгебра.

Эти свойства доказываются исходя из поляризованной версии тождества (а б, а б) = (а, а)(б, б):

Параметр б = 1 или же d = 1 дает L(а*) = L(а)* и р(c*) = р(c)*.

Следовательно Re (а б) = (а б, 1)1 = (а, б*)1 = (б а, 1) 1 = Re (б а).

по аналогии Re (а б)c = ((а б)c,1)1 = (а б, c*)1 = (б, а* c*)1 = (до н.э,а*)1 = (а(до н.э), 1) 1 = Re а(до н.э).

Следовательно ((ab) *, в) = (ab,c*) = (б,а*c*) = (1,б*(а*c*)) = (1,(б*а*)c*) = (б*а*,c), так что (ab)* = б*а*.

Поляризованной идентичностью ‖ а ‖2 (c, d) = (а с, а д) = (а* а с, d) так L(а*) L (а) = ‖ а ‖2. В применении к 1 это дает а* а = ‖ а ‖2. Замена а к а* дает другую личность.

Подставляя формулу для а* в L(а*) L(а) = L(а* а) дает L(а)2 = L(а2).

Классификация

Обычно проверяют, что реальные числа р, комплексные числа C и кватернионы ЧАС являются примерами ассоциативных евклидовых алгебр Гурвица с их стандартными нормами и инволюциями. Есть еще и природные включения рCЧАС.

Анализ такого включения приводит к Конструкция Кэли-Диксона, оформленный А.А. Альберт. Позволять А - евклидова алгебра Гурвица и B собственно унитальная подалгебра, значит, евклидова алгебра Гурвица сама по себе. Выберите единичный вектор j в А ортогонален B. С (j, 1) = 0, следует, что j* = −j и поэтому j2 = −1. Позволять C быть подалгеброй, порожденной B и j. Она унитальна и снова является евклидовой алгеброй Гурвица. Он удовлетворяет следующим Законы умножения Кэли-Диксона:

B и B j ортогональны, так как j ортогонален B. Если а в B, тогда j a = а* j, поскольку ортогональным 0 = 2 (j, а*) = j aа* j. Формула инволюции следующая. Чтобы показать это BB j замкнуто относительно умножения ЛЮ = j B. С B j ортогонален 1, (b j)* = −b j.

  • б(c j) = (в б)j поскольку (б, j) = 0 так что для Икс в А, (б(c j), Икс) = (б(j x), j(c j)) = −(б(j x), c*) = −(в б, (j x)*) = −((в б)j, Икс*) = ((в б)j, Икс).
  • (j c)б = j(до н.э) принимая сопряжения выше.
  • (b j)(c j) = −c* б поскольку (б, c j) = 0, так что при Икс в А, ((b j)(c j), Икс) = −((c j)Икс*, b j) = (б х*, (c j)j) = −(c* б, Икс).

Наложение мультипликативности нормы на C за а + b j и c + d j дает:

что приводит к

Следовательно d(а с) = (d a)c, так что B должен быть ассоциативным.

Этот анализ применим к включению р в C и C в ЧАС. Принимая О = ЧАСЧАС с произведением и внутренним произведением выше дает некоммутативную неассоциативную алгебру, порожденную J = (0, 1). Это восстанавливает обычное определение октонионы или же Числа Кэли. Если А является евклидовой алгеброй, она должна содержать р. Если он строго больше, чем р, приведенный выше аргумент показывает, что он содержит C. Если он больше, чем C, это содержит ЧАС. Если он еще больше, он должен содержать О. Но на этом процесс должен остановиться, потому что О не ассоциативен. Фактически ЧАС не коммутативен и а(b j) = (б а) j ≠ (а б)j в О.[5]

Теорема. Единственные евклидовы алгебры Гурвица - это действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы.

Прочие доказательства

Доказательства Ли (1948) и Шевалле (1954) использовать Алгебры Клиффорда чтобы показать, что размер N из А должно быть 1, 2, 4 или 8. Фактически операторы L(а) с (а, 1) = 0 удовлетворить L(а)2 = −‖ а ‖2 и таким образом образуют настоящую алгебру Клиффорда. Если а - единичный вектор, то L(а) кососопряжена с квадратом я. Так N должно быть либо четное или 1 (в этом случае А не содержит единичных векторов, ортогональных 1). Настоящая алгебра Клиффорда и ее комплексирование действовать на усложнение А, N-мерное сложное пространство. Если N даже, N − 1 нечетно, поэтому в алгебре Клиффорда ровно два комплексных неприводимые представления измерения 2N/2 − 1. Так это степень 2 должен разделить N. Легко видеть, что это означает N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Доказательство Экманн (1954) использует теорию представлений конечных групп или проективную теорию представлений элементарных абелевых 2-групп, которая, как известно, эквивалентна теории представлений вещественных алгебр Клиффорда. Действительно, взяв ортонормированный базис ея ортогонального дополнения к единице порождает операторы Uя = L(ея)удовлетворение

Это проективное представление прямого продукта N − 1 группы порядка 2. (N предполагается больше 1.) Операторы Uя по построению кососимметричны и ортогональны. Фактически Экманн построил операторы этого типа несколько другим, но эквивалентным способом. Фактически, это метод, который изначально использовался в Гурвиц (1923).[6] Предположим, что существует закон композиции для двух форм

куда zя билинейно в Икс и у. Таким образом

где матрица Т(Икс) = (аij) линейно по Икс. Приведенные выше отношения эквивалентны

Письмо

отношения становятся

Теперь установите Vя = (ТN)т Тя. Таким образом VN = я и V1, ... , VN − 1 кососопряженные, ортогональные, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, что и Uяs:

С Vя ортогональная матрица с квадратом я в реальном векторном пространстве, N даже.

Позволять грамм конечная группа, порожденная элементами vя такой, что

куда ε является центральным порядка 2. Коммутаторная подгруппа [грамм, грамм] просто состоит из 1 и ε. Если N нечетно, это совпадает с центром, а если N есть ли даже в центре порядок 4 с лишними элементами γ = v1 ... vN − 1 и ε γ. Если грамм в грамм не в центре, его класс сопряженности точно грамм и ε г. Таким образом, есть2N − 1 + 1 классы сопряженности для N странно и 2N − 1 + 2 за N четное. грамм имеет | грамм / [грамм, грамм] | = 2N − 1 Одномерные комплексные представления. Общее количество неприводимых комплексных представлений - это количество классов сопряженности. Итак, поскольку N четно, есть еще два неприводимых комплексных представления. Так как сумма квадратов измерений равна | грамм | и размеры разделяют | грамм |, две неприводимые должны иметь размерность 2(N − 2)/2. Когда N четно, их два, и их размерность должна делить порядок группы, так же как и степень двойки, поэтому они оба должны иметь измерение 2(N − 2)/2. Пространство, на котором Vяпоступок может быть сложным. Он будет иметь сложное измерение N. Он распадается на некоторые сложные неприводимые представления грамм, все имеют размер 2(N − 2)/2. В частности, это измерение N, так N меньше или равно 8. Если N = 6, размерность 4, что не делит 6. Итак N может быть только 1, 2, 4 или 8.

Приложения к йордановым алгебрам

Позволять А - евклидова алгебра Гурвица, и пусть Mп(А) быть алгеброй п-к-п матрицы над А. Это единичная неассоциативная алгебра с инволюцией, заданной формулой

След Тр (Икс) определяется как сумма диагональных элементов Икс а реальный след -Трр(Икс) = Re Tr (Икс). След с действительным знаком удовлетворяет:

Это непосредственные последствия известных идентичностей для п = 1.

В А определить ассоциатор к

Он трехлинейный и тождественно обращается в нуль, если А ассоциативно. С А является альтернативная алгебра[а, а, б] = 0 и [б, а, а] = 0. Из поляризации следует, что ассоциатор антисимметричен в трех своих элементах. Кроме того, если а, б или же c роды р тогда [а, б, c] = 0. Эти факты означают, что M3(А) обладает определенными коммутационными свойствами. Фактически, если Икс матрица в M3(А) с реальными входами на диагонали, то

с а в А. Фактически, если Y = [Икс, Икс2], тогда

Поскольку диагональные элементы Икс реальны, недиагональные записи Y исчезнуть. Каждая диагональ Y представляет собой сумму двух ассоциаторов, включающую только недиагональные члены Икс. Поскольку ассоциаторы инвариантны относительно циклических перестановок, диагональные элементы Y все равны.

Позволять ЧАСп(А) - пространство самосопряженных элементов в Mп(А) с продуктом ИксY = 1/2(X Y + Y X) и внутренний продукт (Икс, Y) = Trр(X Y).

Теорема. ЧАСп(А) это Евклидова йорданова алгебра если А ассоциативно (действительные числа, комплексные числа или кватернионы) и п ≥ 3 или если А неассоциативна (октонионы) и п = 3.

В исключительный Йорданова алгебра ЧАС3(О) называется Алгебра Альберта после А.А. Альберт.

Чтобы проверить это ЧАСп(А) удовлетворяет аксиомам евклидовой йордановой алгебры, действительный след определяет симметричную билинейную форму с (Икс, Икс) = ∑ ‖ Иксij ‖2. Так что это внутренний продукт. Он удовлетворяет свойству ассоциативности (ZИкс, Y) = (Икс, ZY) из-за свойств реального следа. Основная аксиома, которую необходимо проверить, - это условие Жордана для операторов L(Икс) определяется L(Икс)Y = ИксY:

Это легко проверить, когда А ассоциативно, поскольку Mп(А) является ассоциативной алгеброй, поэтому йорданова алгебра с ИксY = 1/2(X Y + Y X). Когда А = О и п = 3 требуется специальный аргумент, один из самых коротких из-за Фройденталь (1951).[7]

Фактически, если Т в ЧАС3(О) с ТрТ = 0, тогда

определяет кососопряженный вывод ЧАС3(О). В самом деле,

так что

Поляризационные выходы:

Параметр Z = 1, показывает, что D кососопряженный. Свойство деривации D(ИксY) = D(Икс)∘Y + ИксD(Y) Отсюда следует и свойство ассоциативности внутреннего продукта в приведенном выше тождестве.

С А и п как и в формулировке теоремы, пусть K - группа автоморфизмов E = ЧАСп(А) оставляя неизменным внутренний продукт. Это замкнутая подгруппа группы О (E) так что компактная группа Ли. Его алгебра Ли состоит из кососопряженных дифференцирований. Фройденталь (1951) показал, что данный Икс в E есть автоморфизм k в K такой, что k(Икс) - диагональная матрица. (В силу самосопряженности диагональные элементы будут вещественными.) Из теоремы Фрейденталя о диагонализации немедленно следует условие Жордана, поскольку произведения Жордана на вещественные диагональные матрицы коммутируют на Mп(А) для любой неассоциативной алгебры А.

Чтобы доказать теорему диагонализации, возьмем Икс в E. По компактности k можно выбрать в K минимизируя суммы квадратов норм недиагональных членов k(Икс). С K сохраняет суммы всех квадратов, это равносильно максимизации сумм квадратов норм диагональных членов k(Икс). Замена Икс к k X, можно предположить, что максимум достигается при Икс. Поскольку симметричная группа Sп, действуя перестановкой координат, лежит в K, если Икс не диагональна, можно предположить, что Икс12 и прилегающий Икс21 не равны нулю. Позволять Т - кососопряженная матрица с (2, 1) Вход а, (1, 2) Вход а* и 0 в другом месте и пусть D быть производным объявлением Т из E. Позволять kт = exptD в K. Тогда только первые две диагональные записи в Икс(т) = kтИкс отличаются от Икс. Диагональные записи настоящие. Производная от Икс11(т) в т = 0 это (1, 1) координата [Т, Икс], т.е. а* Икс21 + Икс12а = 2(Икс21, а). Эта производная отлична от нуля, если а = Икс21. С другой стороны, группа kт сохраняет след с действительным знаком. Поскольку это может только измениться Икс11 и Икс22, это сохраняет их сумму. Однако на кону Икс + у =постоянный, Икс2 + у2 не имеет локального максимума (только глобальный минимум); противоречие. Следовательно Икс должен быть диагональным.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение