Математическое совпадение - Mathematical coincidence

Эта статья о числовых курьезах. Для технической математической концепции совпадения см. Точка совпадения.

А математическое совпадение считается, что это происходит, когда два выражения, не имеющие прямого отношения, показывают почти равенство, которое не имеет очевидного теоретического объяснения.

Например, есть почти равенство, близкое к круглое число 1000 между степенями 2 и 10:

${\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}.}$

Некоторые математические совпадения используются в инженерное дело когда одно выражение воспринимается как приближение другого.

Вступление

Математическое совпадение часто связано с целое число, и удивительной особенностью является то, что настоящий номер возникновение в некотором контексте рассматривается некоторыми стандартами как "близкое" приближение к малому целому числу или к кратному или степени десяти, или, в более общем смысле, к Рациональное число с небольшим знаменатель. Также могут быть рассмотрены другие виды математических совпадений, такие как целые числа, одновременно удовлетворяющие нескольким, казалось бы, несвязанным критериям, или совпадения в отношении единиц измерения. В классе совпадений чисто математического характера некоторые просто являются результатом иногда очень глубоких математических фактов, в то время как другие, кажется, возникают «неожиданно».

Учитывая счетно бесконечный количество способов формирования математических выражений с использованием конечного числа символов, количество используемых символов и точность примерное равенство может быть наиболее очевидным способом оценки математических совпадений; но стандарта нет, а сильный закон малых чисел это то, к чему нужно обращаться без формального противостоящего математического руководства.^{[нужна цитата ]} Помимо этого, некоторое ощущение математическая эстетика могут быть использованы для определения ценности математического совпадения, и на самом деле существуют исключительные случаи, имеющие истинное математическое значение (см. Постоянная Рамануджана ниже, который был напечатан несколько лет назад как научный Первоапрельские розыгрыши' шутить^[1]). В целом, однако, их обычно следует рассматривать из-за их любознательности или, возможно, для поощрения новых изучающих математику на элементарном уровне.

Некоторые примеры

Рациональные аппроксимации

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Это объяснимо большими терминами в непрерывная дробь представление иррационального значения, но дальнейшее понимание того, почему возникают такие невероятно большие члены, часто недоступно.

Рациональные аппроксимации (подходящие дроби непрерывных дробей) к отношениям логарифмов различных чисел также часто используются, делая совпадения между степенями этих чисел.^[2]

Многие другие совпадения представляют собой комбинации чисел, которые приводят их в форму, которую такие рациональные приближения обеспечивают близкие отношения.

Относительно π

• Второй сходящийся из π, [3; 7] = 22/7 = 3,1428 ..., было известно Архимед,^[3] и составляет около 0,04%. Четвертая сходящаяся к π, [3; 7, 15, 1] ​​= 355/113 = 3,1415929 ..., найдено Цзу Чунчжи,^[4] правильно до шести знаков после запятой;^[3] такая высокая точность возникает из-за того, что π имеет необычно большой следующий член в его представлении непрерывной дроби: π = [3; 7, 15, 1, 292, ...].^[5]
• Совпадение с участием π и Золотое сечение φ определяется как ${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3.1446\dots }$. Это связано с Треугольники Кеплера. Некоторые считают, что то или иное из этих совпадений можно найти в Великая пирамида в Гизе, но маловероятно, что это было сделано намеренно.^[6]
• Есть последовательность шесть девяток в пи который начинается с 762-го знака после запятой десятичного представления числа пи. Для случайно выбранного нормальный номер вероятность того, что любая выбранная числовая последовательность из шести цифр (включая 6 из числа, 658 020 и т.п.) появится на этой ранней стадии в десятичном представлении, составляет всего 0,08%. Предполагается, но не известно, что Пи является нормальным числом.
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\pi /2}}\approx 0.9}$, исправьте до 0,03%. Отношение периметра вписанного квадрата к длине окружности, в которую он вписан.
• ${\displaystyle \tan ^{-1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)\approx 1,}$ исправить до 0,39%.
• ${\displaystyle \pi !!\approx 66425/9;}$ с точностью до 5 знаков после запятой

По поводу базы 2

• Совпадение ${\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}$, правильно до 2,4%, относится к рациональному приближению ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3.3219\approx {\frac {10}{3}}}$, или же ${\displaystyle 2\approx 10^{3/10}}$ с точностью до 0,3%. Это соотношение используется в инженерии, например, для приближения коэффициента два в мощность как 3дБ (актуально 3,0103 дБ - см. Точка половинной мощности ), или связать кибибайт к килобайт; видеть двоичный префикс.^[7][8]
• Это совпадение также можно выразить как ${\displaystyle 128=2^{7}\approx 5^{3}=125}$ (исключая общий фактор ${\displaystyle 2^{3}}$, поэтому тоже правильно до 2,4%), что соответствует рациональному приближению ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3}}}$, или же ${\displaystyle 2\approx 5^{3/7}}$ (также с точностью до 0,3%). Это вызывается, например, в Скорость затвора настройки камер в виде приближения к степеням двойки (128, 256, 512) в последовательности скоростей 125, 250, 500 и т. д.,^[2] и в оригинале Кто хочет стать миллионером? игровое шоу в вопросе оценивается ... 16 000 фунтов стерлингов, 32 000 фунтов стерлингов, 64 000 фунтов стерлингов, £125,000, £250,000,...

Относительно музыкальных интервалов

• Совпадение ${\displaystyle 2^{19}\approx 3^{12}}$, из ${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.5849\dots \approx {\frac {19}{12}}}$ приводит к наблюдению, обычно используемому в Музыка связать настройку 7 полутоны из равный темперамент к идеальный пятый из просто интонация: ${\displaystyle 2^{7/12}\approx 3/2;}$, исправьте примерно до 0,1%. Только пятая - основа Пифагорейский тюнинг и самые известные системы музыки. Из последующего приближения ${\displaystyle {(3/2)}^{12}\approx 2^{7},}$ следует, что круг пятых заканчивается семь октавы выше происхождения.^[2]
• Совпадение ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1.33333319\ldots \approx {\frac {4}{3}}}$ приводит к рациональная версия из 12-ТЕТ, как отмечает Иоганн Кирнбергер.^{[нужна цитата ]}
• Совпадение ${\displaystyle {\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4.00000559\ldots \approx 4}$ приводит к рациональной версии четверть запятой означает один темперамент.^{[нужна цитата ]}
• Совпадение ${\displaystyle {\sqrt[{9}]{0.6}}{\sqrt[{28}]{4.9}}=0.99999999754\ldots \approx 1}$ приводит к очень крошечному интервалу ${\displaystyle 2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}}$ (Об миллисент широкий), что является первым 7-предел интервал закалился в 103169-TET.^{[требуется разъяснение ][нужна цитата ]}
• Совпадение степеней двойки, приведенное выше, приводит к приближению, что три основные трети соединяются с октавой, ${\displaystyle {(5/4)}^{3}\approx {2/1}}$. Это и подобные ему приближения в музыке называются Dieses.

Числовые выражения

Что касается полномочий π

• ${\displaystyle \pi ^{2}\approx 10;}$ исправить примерно до 1,3%.^[9] Это можно понять в терминах формулы для дзета-функция ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6.}$^[10] Это совпадение было использовано при проектировании правила слайдов, где «сложенные» весы сложены на ${\displaystyle \pi }$ скорее, чем ${\displaystyle {\sqrt {10}},}$ потому что это более полезное число, и весы складываются примерно в одном и том же месте.^{[нужна цитата ]}
• ${\displaystyle \pi ^{2}\approx 227/23,}$ исправить до 0,0004%.^[9]
• ${\displaystyle \pi ^{3}\approx 31,}$ исправить до 0,02%.^[11]
• ${\displaystyle \pi ^{4}\approx 2143/22;}$ или же ${\displaystyle \pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4},}$ с точностью до 8 знаков после запятой (из-за Рамануджан: Ежеквартальный математический журнал, XLV, 1914, стр. 350–372).^[12] Рамануджан заявляет, что это «любопытное приближение» к ${\displaystyle \pi }$ был «получен эмпирически» и не имеет никакого отношения к теории, развиваемой в оставшейся части статьи.
• Некоторые правдоподобные соотношения сохраняются с высокой степенью точности, но, тем не менее, являются случайными. Одним из примеров является

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}.}$

Две стороны этого выражения различаются только после 42-го десятичного знака.^[13]

Касательно е

• ${\displaystyle e\approx 2^{{(5/2)}^{(2/5)}},}$ исправить до 0,0003%.
• ${\displaystyle {\frac {e}{3}}\approx {\frac {907}{1001}},}$ исправить до 36 частей на миллион.
• ${\displaystyle e^{1/e}\approx {\frac {13}{9}},}$ исправить до 0,015%.
• ${\displaystyle e^{3}\approx 20,}$ правильно до 0,43%.

Содержит оба π и е

• ${\displaystyle 2\pi +e\approx 9}$, с погрешностью всего 0,01%.
• ${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}}$, в пределах 0,000 005%^[12]
• ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}-\ln \left({\frac {3\pi }{2}}\right)\right)42\pi \approx e}$, в пределах 0,000 000 03% ^[14]
• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {e}{(\pi -e)^{3/2}}}}\approx \pi }$, в пределах 0,000 06% ^[15]
• ${\displaystyle \exp \left(\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{\frac {\pi -e}{\sqrt {2}}}\right)\approx \pi }$, в пределах 0,000 02%
• ${\displaystyle \left({\frac {\varphi }{e^{\pi }-\pi ^{e}}}\right)^{\frac {\pi }{e}}\approx e}$, в пределах 0,07%
• ${\displaystyle {3}^{\frac {\pi +e}{4}}\approx {5}}$, ошибка приблизительно 0,000 538% (Джозеф Кларк, 2015)
• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20}$в пределах 0,005% (Conway, Sloane, Plouffe, 1988); это эквивалентно ${\displaystyle (\pi +20)^{i}=-0.9999999992\ldots -i\cdot 0.000039\ldots \approx -1}$^[12]
• ${\displaystyle \pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}\approx 10}$, в пределах 0,002%^[12]
• ${\textstyle e^{-{\frac {\pi }{9}}}+e^{-4{\frac {\pi }{9}}}+e^{-9{\frac {\pi }{9}}}+e^{-16{\frac {\pi }{9}}}+e^{-25{\frac {\pi }{9}}}+e^{-36{\frac {\pi }{9}}}+e^{-49{\frac {\pi }{9}}}+e^{-64{\frac {\pi }{9}}}=1.00000000000105...\approx 1}$. Фактически, это обобщает приблизительное тождество:${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{e^{-{\frac {k^{2}\pi }{n}}}}\approx {\frac {-1+{\sqrt {n}}}{2}}}$ что можно объяснить Якобиан тета-функциональная идентичность.^[16][17][18]
• Постоянная Рамануджана: ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744}$, в ${\displaystyle 2.9\cdot 10^{-28}\%}$, открытый в 1859 г. Чарльз Эрмит.^[19] Это очень близкое приближение не является типичным случайный математическое совпадение, при котором математическое объяснение неизвестно или не ожидается (как и в случае с большинством других здесь). Это следствие того, что 163 - это Число Хегнера.

Прочие числовые курьезы

• ${\displaystyle 10!=6!\cdot 7!=1!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7!}$.^[20]
• ${\displaystyle 6!=5!\cdot 3!}$
• ${\displaystyle {\sqrt {7!+1}}=71}$
• ${\displaystyle \,2^{3}=8}$ и ${\displaystyle 3^{2}=9}$ являются единственными нетривиальными (т.е. по крайней мере квадратными) последовательными степенями натуральных чисел (Гипотеза Каталана ).
• ${\displaystyle \,4^{2}=2^{4}}$ единственное положительное целое решение ${\displaystyle a^{b}=b^{a}}$ , при условии, что ${\displaystyle a\neq b}$^[21] (видеть W-функция Ламберта для формального метода решения)
• В Число Фибоначчи F₂₉₆₁₈₂ это (вероятно) полупервичный, поскольку F₂₉₆₁₈₂ = F₁₄₈₀₉₁ × L₁₄₈₀₉₁ куда F₁₄₈₀₉₁ (30949 цифр) и Число Лукаса L₁₄₈₀₉₁ (30950 цифр) одновременно вероятные простые числа.^[22]
• При обсуждении проблема дня рождения, номер ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}}$ происходит, что "забавно" равно ${\displaystyle \ln(2)}$ до 4 цифр.^[23]
• Целые числа от 1 до 10 делят число, которое находится на том же расстоянии от них, что и расстояние между их факториалом и следующим наименьшим квадратным числом. Для этого нет строгих причин, и это справедливо хаотично для числа 11 и целых чисел над ним. ^[24]

Десятичные совпадения

• ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435}$, что делает 3435 единственным нетривиальным Число Мюнхгаузена в базе 10 (исключая 0 и 1). Если принять соглашение, что ${\displaystyle 0^{0}=0}$однако тогда 438579088 - это еще один номер Мюнхгаузена.^[25]
• ${\displaystyle \,1!+4!+5!=145}$ и ${\displaystyle \,4!+0!+5!+8!+5!=40585}$ единственные нетривиальные фабрики в базе 10 (исключая 1 и 2).^[26]
• ${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}}$,    ${\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}}$,    ${\displaystyle {\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}}$, и${\displaystyle {\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}}$. Если конечный результат этих четырех аномальные отмены^[27] умножаются, их произведение уменьшается ровно до 1/100.
• ${\displaystyle \,(4+9+1+3)^{3}=4913}$, ${\displaystyle \,(5+8+3+2)^{3}=5832}$, и ${\displaystyle \,(1+9+6+8+3)^{3}=19683}$.^[28] (В том же духе, ${\displaystyle \,(3+4)^{3}=343}$.)^[29]
• ${\displaystyle \,-1+2^{7}=127}$, что делает 127 самых маленьких красивых Число Фридмана. Аналогичный пример ${\displaystyle 2^{5}\cdot 9^{2}=2592}$.^[30]
• ${\displaystyle \,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153}$, ${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370}$, ${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371}$, и ${\displaystyle \,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407}$ все нарциссические числа.^[31]
• ${\displaystyle \,588^{2}+2353^{2}=5882353}$,^[32] простое число. Дробь 1/17 также дает 0,05882353 при округлении до 8 цифр.
• ${\displaystyle \,2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}=2646798}$. Наибольшее число с этим шаблоном - ${\displaystyle \,1^{1}+2^{2}+1^{3}+5^{4}+7^{5}+6^{6}+9^{7}+2^{8}+6^{9}+2^{10}+2^{11}+0^{12}+3^{13}+9^{14}+6^{15}+2^{16}+3^{17}+5^{18}+3^{19}+9^{20}=12157692622039623539}$.^[33]
• ${\displaystyle \sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\varphi /2}$ (куда ${\displaystyle \varphi }$ это Золотое сечение ), и ${\displaystyle \,\phi (666)=6\cdot 6\cdot 6}$ (куда ${\displaystyle \phi }$ является Функция Эйлера ).^[34]

Числовые совпадения чисел из физического мира

Скорость света

В скорость света составляет (по определению) ровно 299 792 458 м / с, что очень близко к 300 000 000 м / с. Это чистое совпадение, поскольку метр был первоначально определен как 1/10 000 000 расстояния между полюсом Земли и экватором вдоль поверхности на уровне моря, а окружность Земли составляет около 2/15 световой секунды.^[35] Это также примерно равно одному футу на наносекунду (фактическое число составляет 0,9836 футов / нс).

Диаметр Земли

Полярный диаметр Земли равен полмиллиарда дюймов с точностью до 0,1%.^[36]

Угловые диаметры Солнца и Луны

Как видно с Земли, угловой диаметр из солнце варьируется от 31′27 ″ до 32′32 ″, в то время как Луна составляет от 29′20 ″ до 34′6 ″. Тот факт, что интервалы перекрываются (первый интервал содержится во втором), является совпадением и имеет значение для типов солнечные затмения что можно наблюдать с Земли.

Гравитационное ускорение

Смотрите также: Маятник секунд

Хотя не постоянно, но меняется в зависимости от широта и высота, числовое значение ускорение, вызванное гравитацией Земли на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что довольно близко к 10. Это означает, что в результате Второй закон Ньютона, вес килограмма массы на поверхности Земли примерно соответствует 10 ньютоны силы, приложенной к объекту.^[37]

Это связано с вышеупомянутым совпадением, что квадрат числа пи близок к 10. Одним из первых определений метра была длина маятника, период полувыведения которого равнялся одной секунде. Поскольку период полного поворота маятника аппроксимируется приведенным ниже уравнением, алгебра показывает, что если бы это определение сохранялось, ускорение свободного падения, измеренное в метрах в секунду в секунду, было бы точно равно ${\displaystyle \pi ^{2}}$.^[38]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли была очень близка к 40 000 000 раз больше этого значения, метр был переопределенный чтобы отразить это, поскольку это был более объективный стандарт (потому что ускорение свободного падения меняется по поверхности Земли). Это привело к увеличению длины измерителя менее чем на 1%, что находилось в пределах экспериментальной ошибки того времени.^{[нужна цитата ]}

Еще одно совпадение, связанное с ускорением свободного падения. грамм это то, что его значение составляет примерно 9,8 м / с² равно 1,03световой год /год², числовое значение которого близко к 1. Это связано с тем, что грамм близко к 10 дюймам Единицы СИ (РС²), как упоминалось выше, в сочетании с тем фактом, что количество секунд в году оказывается близко к числовому значению c/ 10, с c то скорость света в м / с. На самом деле это не имеет ничего общего с СИ, поскольку с / г = 354 дня, почти и 365/354 = 1,03.

Постоянная Ридберга

В Постоянная Ридберга, умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}\ {\text{Hz}}}$:^[35]

${\displaystyle {\underline {3.2898}}41960364(17)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}=R_{\infty }c}$^[39]

${\displaystyle {\underline {3.2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}}$

Преобразование в метрические единицы в США

Как обнаружил Рэндалл Манро, кубическая миля близка к ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }$ кубических километров (в пределах 0,5%). Это означает, что сфера радиуса п километры имеют почти такой же объем, что и куб с длиной сторон п миль.^[40][41]

Отношение мили к километру приблизительно равно Золотое сечение. Как следствие, Число Фибоначчи миль - это примерно следующее число километров по Фибоначчи.

Хотя это не совсем совпадение метрического преобразования, соотношение сторон бумаги для писем США близко к ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ (в пределах 2%) при соотношении A4 ${\displaystyle \cos({\frac {\pi }{4}})}$^[42]

Постоянная тонкой структуры

В постоянная тонкой структуры ${\displaystyle \alpha }$ близко к ${\displaystyle {\frac {1}{137}}}$ и когда-то предполагалось, что ${\displaystyle {\frac {1}{137}}}$.^[43]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}}$

Хотя это совпадение не так сильно, как у некоторых других в этом разделе, примечательно, что ${\displaystyle \alpha }$ это безразмерная физическая постоянная, так что это совпадение не является артефактом используемой системы единиц.

Планета земля

Радиус геостационарная орбита, 42 164 км (26 199 миль) находится в пределах 0,02% от изменение расстояния до Луны за месяц (разница между его апогеем и перигеем), 42 171 км (26 204 мили) и 5% погрешность длины экватор, 40 075 километров (24 901 миль). Точно так же земные космическая скорость составляет 40270 км / ч (25020 миль / ч).

Минимальное, среднее и максимальное расстояния от Луны до Земли с ее угловым диаметром, если смотреть с поверхности Земли, в масштабе

Смотрите также

• Почти целое
• Антропный принцип
• Проблема дня рождения
• Исключительный изоморфизм
• Нарциссическое число
• Экспериментальная математика
• Треугольник Кеплера # Математическое совпадение
• Формула Койде

Рекомендации

1. Печатается как Гарднер, Мартин (2001). «Шесть сенсационных открытий». Колоссальная книга математики. Нью-Йорк: W. W. Norton & Company. стр.674 –694. ISBN  978-0-393-02023-6.
2. Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Springer. С. 26–28. ISBN  978-3-540-85297-1.
3. Петр Бекманн (1971). История Пи. Макмиллан. С. 101, 170. ISBN  978-0-312-38185-1.
4. Ёсио Миками (1913). Развитие математики в Китае и Японии. Б. Г. Тойбнер. п. 135.
5. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики. CRC Press. п. 2232. ISBN  978-1-58488-347-0.
6. Роджер Герц-Фишлер (2000). Форма Великой пирамиды. Издательство Университета Уилфрида Лорье. п. 67. ISBN  978-0-889-20324-2.
7. Оттмар Бойхер (2008). Matlab и Simulink. Pearson Education. п. 195. ISBN  978-3-8273-7340-3.
8. К. Айоб (2008). Цифровые фильтры в оборудовании: практическое руководство для инженеров-программистов. Издательство Trafford. п. 278. ISBN  978-1-4251-4246-9.
9. Рубин, Франк. «Центр соревнований - Пи».
10. Лось, Ноам. "Почему ${\displaystyle \pi ^{2}}$ так близко к 10? " (PDF).
11. Мир математики, приближения числа Пи, Строка 43
12. Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое». MathWorld.
13. Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М. (1 декабря 2005 г.). «Будущие перспективы компьютерной математики» (PDF).
14. "Веб-страница Рохелио Томаса".
15. "Веб-страница Рохелио Томаса".
16. "Любопытная связь между ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$ который производит почти целые числа ". Обмен математическим стеком. 26 декабря 2016 г.. Получено 2017-12-04.
17. Глейшер, Дж. У. Л. «Приближенная численная теорема, включающая е и π". Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики - через Göttinger Digitalisierungszentrum.
18. "Подтверждение личности ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}x}=x^{-1/2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}/x}}$". Обмен стеком. 5 декабря 2013 г.. Получено 2017-12-04.
19. Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы. Лондон: Кейп Джонатан. ISBN  978-0-224-06135-3.
20. Харви Хайнц, Нарциссические числа.
21. Спросите доктора Матема, «Решение уравнения x ^ y = y ^ x».
22. Дэвид Бродхерст, "Prime Curios !: 10660 ... 49391 (61899 цифр)".
23. Арратия, Ричард; Гольдштейн, Ларри; Гордон, Луи (1990). «Пуассоновское приближение и метод Чена-Стейна». Статистическая наука. 5 (4): 403–434. Дои:10.1214 / сс / 1177012015. JSTOR  2245366. МИСТЕР  1092983.
24. Иван Стойков, [1].
25. В., Вайсштейн, Эрик. «Число Мюнхгаузена». mathworld.wolfram.com. Получено 2017-12-04.
26. (последовательность A014080 в OEIS )
27. Вайсштейн, Эрик В. «Аномальная отмена». MathWorld.
28. (последовательность A061209 в OEIS )
29. Prime Curios !: 343.
30. Эрих Фридман, Проблема месяца (август 2000 г.).
31. (последовательность A005188 в OEIS )
32. (последовательность A064942 в OEIS )
33. (последовательность A032799 в OEIS )
34. Вайсштейн, Эрик В. "Число зверя". MathWorld.
35. Мишон, Жерар П. «Числовые совпадения в числах, придуманных человеком». Математические чудеса. Получено 29 апреля 2011.
36. Смайт, Чарльз (2004). Наше наследство в Великой пирамиде. Kessinger Publishing. п. 39. ISBN  978-1-4179-7429-0.
37. Взлом экзамена AP Physics B & C, издание 2004–2005 гг.. Издательство Princeton Review. 2003. с. 25. ISBN  978-0-375-76387-8.
38. «Какое отношение Пи имеет к гравитации?». Проводной. Проводной. 8 марта 2013 г.. Получено 15 октября, 2015.
39. «Постоянная Ридберга, раз c в Гц». Основные физические константы. NIST. Получено 25 июля 2011.
40. Рэндалл Манро (2014). Что, если?. п. 49. ISBN  9781848549562.
41. "Родинка". what-if.xkcd.com. Получено 2018-09-12.
42. «2322: Золотая спираль формата бумаги ISO». объяснятьxkcd.com. Получено 2020-09-12.
43. Уиттакер, Эдмунд (1945). "Теория Эддингтона констант природы". Математический вестник. 29 (286): 137–144. Дои:10.2307/3609461. JSTOR  3609461.

внешняя ссылка

• (на русском) В. Левшин. - Магистр рассеянных наук. - Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
• Харди, Г. Х. – Извинения математика. - Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 1993, (ISBN  0-521-42706-1)
• Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое». MathWorld.
• Различные математические совпадения в разделе "Наука и математика" на сайте futilitycloset.com
• Press, W.H., На первый взгляд замечательные математические совпадения легко генерировать
• Машина Рамануджана: автоматически генерируемые гипотезы о фундаментальных константах