Идеальный инвариант между цифрами - Perfect digit-to-digit invariant

В теория чисел, а идеальный инвариант между цифрами (PDDI; также известный как Число Мюнхгаузена^[1]) это натуральное число в данном база чисел ${\displaystyle b}$ который равен сумме цифр, каждая из которых возведена в степень. Например, в базе 3 (тройной ) их три: 1, 12 и 22. Термин «число Мюнхгаузена» был придуман голландским математиком и инженером-программистом Дааном ван Беркелем в 2009 году,^[2] как это вызывает историю Барон мюнхгаузен приподнимаясь за свой собственный хвост, потому что каждая цифра возведена во власть самой себя.^[3][4]

Определение

Позволять ${\displaystyle n}$ быть натуральным числом. Мы определяем идеальная инвариантная функция преобразования цифр в цифру для базы ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ быть следующим:

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}}$.

куда ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ это количество цифр в числе в базе ${\displaystyle b}$ и

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

- значение каждой цифры числа. В качестве 0⁰ обычно не определено, обычно используются два соглашения: в одном оно принимается равным единице, а в другом - равным нулю.^[5][6] Натуральное число ${\displaystyle n}$ это идеальный инвариант между цифрами если это фиксированная точка за ${\displaystyle F_{b}}$, что происходит, если ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$. Для первой конвенции ${\displaystyle 1}$ фиксированная точка для всех ${\displaystyle b}$, и, таким образом, является тривиальный идеальный инвариант между цифрами для всех ${\displaystyle b}$, и все другие совершенные инварианты преобразования цифр в цифру равны нетривиальные совершенные инварианты цифр в цифру. Для второго соглашения оба ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ - тривиальные совершенные инварианты преобразования цифр в цифру.

Например, число 3435 в базе ${\displaystyle b=10}$ является идеальным инвариантом для преобразования цифр в цифру, потому что ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$.

За ${\displaystyle b=2}$, в первом соглашении ${\displaystyle 0^{0}=1}$, ${\displaystyle F_{b}(n)}$ это просто количество цифр ${\displaystyle k}$ в представлении с основанием 2, а во втором соглашении ${\displaystyle 0^{0}=0}$, ${\displaystyle F_{b}(n)}$ это просто цифра сумма.

Натуральное число ${\displaystyle n}$ это общительный цифровой инвариант если это периодическая точка за ${\displaystyle F_{b}}$, куда ${\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}$ для положительного целого числа ${\displaystyle k}$, и образует цикл периода ${\displaystyle k}$. Идеальный инвариант преобразования цифр в цифру - это общительный инвариант преобразования цифр в цифру с ${\displaystyle k=1}$, а дружественный инвариант преобразования цифр в цифры является общительным инвариантом цифр в цифру с ${\displaystyle k=2}$.

Все натуральные числа ${\displaystyle n}$ находятся препериодические точки за ${\displaystyle F_{b}}$, вне зависимости от базы. Это потому, что все натуральные числа с основанием ${\displaystyle b}$ с ${\displaystyle k}$ цифры удовлетворяют ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}}$. Однако когда ${\displaystyle k\geq b+1}$, тогда ${\displaystyle b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}}$так что любой ${\displaystyle n}$ удовлетворит ${\displaystyle n>F_{b}(n)}$ до того как ${\displaystyle n<b^{b+1}}$. Существует конечное число натуральных чисел меньше, чем ${\displaystyle b^{b+1}}$, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем ${\displaystyle b^{b+1}}$, что делает его предпериодической точкой. Это также означает, что существует конечное число идеальных инвариантов между цифрами и цифрами. циклы для любой данной базы ${\displaystyle b}$.

Количество итераций ${\displaystyle i}$ необходимо для ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$ достичь фиксированной точки - это ${\displaystyle b}$-factorion функции упорство из ${\displaystyle n}$, и undefined, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Совершенные инварианты преобразования цифр в цифры и циклы ${\displaystyle F_{b}}$ для конкретных ${\displaystyle b}$

Все числа представлены в базе ${\displaystyle b}$.

соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$

Основание	Нетривиальные совершенные инварианты преобразования цифр в цифры (${\displaystyle n\neq 1}$)	Циклы
2	10	${\displaystyle \varnothing }$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	131, 313	2 → 10 → 2
5	${\displaystyle \varnothing }$	2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104
6	22352, 23452	4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
7	13454	12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
8		405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
9	31, 156262, 1656547
10	3435
11
12	3A67A54832

соглашение ${\displaystyle 0^{0}=0}$

Основание	Нетривиальные совершенные инварианты преобразования цифр в цифры (${\displaystyle n\neq 0}$, ${\displaystyle n\neq 1}$)[1]	Циклы
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	130, 131, 313	${\displaystyle \varnothing }$
5	103, 2024	2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9
6	22352, 23452	5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
7	13454
8	400, 401
9	30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
10	3435, 438579088
11	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
12	3A67A54832

Примеры программирования

В приведенных ниже примерах реализована идеальная инвариантная функция преобразования цифр в цифру, описанная в определении выше. для поиска идеальных инвариантов и циклов преобразования цифр в цифру в Python для двух конвенций.

соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$

def pddif(Икс: int, б: int) -> int:    общий = 0    пока Икс > 0:        общий = общий + пау(Икс % б, Икс % б)        Икс = Икс // б    возвращаться общийdef pddif_cycle(Икс: int, б: int) -> Список[int]:    видимый = []    пока Икс нет в видимый:        видимый.добавить(Икс)        Икс = pddif(Икс, б)    цикл = []    пока Икс нет в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = pddif(Икс, б)    возвращаться цикл

соглашение ${\displaystyle 0^{0}=0}$

def pddif(Икс: int, б: int) -> int:    общий = 0    пока Икс > 0:        если Икс % б > 0:            общий = общий + пау(Икс % б, Икс % б)        Икс = Икс // б    возвращаться общийdef pddif_cycle(Икс: int, б: int) -> Список[int]:    видимый = []    пока Икс нет в видимый:        видимый.добавить(Икс)        Икс = pddif(Икс, б)    цикл = []    пока Икс нет в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = pddif(Икс, б)    возвращаться цикл

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Факторион
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Рекомендации

1. ван Беркель, Даан (2009). «О любопытном свойстве 3435». arXiv:0911.3038 [math.HO ].
2. Олри, Регис и Дуэйн Э. Хейнс. "Исторические и литературные корни синдромов Мюнхгаузена", из литературы, неврологии и неврологии: неврологические и психические расстройства, Стэнли Фингер, Франсуа Боллер, Энн Стайлз, ред. Elsevier, 2013. с.136.
3. Даан ван Беркель, О любопытном свойстве 3435.
4. Паркер, Мэтт (2014). Что делать и что делать в четвертом измерении. Пингвин Великобритания. п. 28. ISBN  9781846147654. Получено 2 мая 2015.
5. Нарцистический номер, Харви Хайнц
6. Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin. Лондон: Пингвин. п. 185. ISBN  0-14-026149-4.

внешняя ссылка

• Паркер, Мэтт. "3435". Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2017-04-13. Получено 2013-04-01.