Превосходное высококомпозитное число - Superior highly composite number

Функция делителя d(п) вплоть до п = 250

Коэффициенты основной мощности

В математика, а высшее очень сложное число это натуральное число в котором больше делители чем любой другой номер масштабируется относительно некоторой положительной степени самого числа. Это более сильное ограничение, чем ограничение очень сложное число, который определяется как имеющий больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Перечислены первые 10 высших составных чисел и их факторизация.

# основной факторы	SHCN п	основной факторизация	основной экспоненты	# делитель d (п)		первобытный факторизация
1	2	2	1	2	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1,1	2^2	4	6
3	12	2^2 ⋅ 3	2,1	3×2	6	2 ⋅ 6
4	60	2^2 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	3×2^2	12	2 ⋅ 30
5	120	2^3 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	4×2^2	16	2^2 ⋅ 30
6	360	2^3 ⋅ 3^2 ⋅ 5	3,2,1	4×3×2	24	2 ⋅ 6 ⋅ 30
7	2520	2^3 ⋅ 3^2 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	4×3×2^2	48	2 ⋅ 6 ⋅ 210
8	5040	2^4 ⋅ 3^2 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	5×3×2^2	60	2^2 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	2^4 ⋅ 3^2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	5×3×2^3	120	2^2 ⋅ 6 ⋅ 2310
10	720720	2^4 ⋅ 3^2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	5×3×2^4	240	2^2 ⋅ 6 ⋅ 30030

График числа делителей целых чисел от 1 до 1000. Сильно составные числа выделены жирным шрифтом, а старшие сильно составные числа помечены звездочкой. В файл SVG, наведите указатель мыши на панель, чтобы просмотреть статистику.

Для превосходного очень сложного числа п существует положительное действительное число ε так что для всех натуральных чисел k меньше чем п у нас есть

${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$

и для всех натуральных чисел k больше, чем п у нас есть

${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}>{\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$

куда d (n), то делительная функция, обозначает количество делителей п. Термин был придуман Рамануджан (1915).

Первые 15 превосходных очень сложных чисел, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (последовательность A002201 в OEIS ) также первые 15 колоссально обильные числа, которые удовлетворяют аналогичному условию, основанному на функции суммы делителей, а не на количестве делителей.

Характеристики

Диаграмма Эйлера из обильный, примитивный изобилие, очень много, избыточный, колоссально обильный, очень сложный, превосходный высоко композитный, странный и идеальные числа меньше 100 по отношению к неполноценный и составные числа

Все высшие очень сложные числа очень сложный.

Эффективное построение множества всех высших высокосоставных чисел дается следующим монотонным отображением положительных действительных чисел.^[1] Позволять

${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor \quad }$

для любого простого числа п и положительный реальный Икс. потом

${\displaystyle \quad s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}\quad }$ является превосходным составным числом.

Обратите внимание, что произведение не нужно вычислять бесконечно, потому что если ${\displaystyle p>2^{x}}$ тогда ${\displaystyle e_{p}(x)=0}$, поэтому продукт для расчета ${\displaystyle s(x)}$ может быть прекращено один раз ${\displaystyle p\geq 2^{x}}$.

Также обратите внимание, что в определении ${\displaystyle e_{p}(x)}$, ${\displaystyle 1/x}$ аналогично ${\displaystyle \varepsilon }$ в неявном определении высшего очень сложного числа.

Более того, для каждого высшего сложного числа ${\displaystyle s^{\prime }}$ существует полуоткрытый интервал ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$ такой, что ${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s^{\prime }}$ .

Из этого представления следует, что существует бесконечная последовательность ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$ такой, что для п-е высшее сильно составное число ${\displaystyle s_{n}}$ держит

${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$

Первый ${\displaystyle \pi _{i}}$ это 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (последовательность A000705 в OEIS ). Другими словами, частное двух последовательных высших составных чисел является простым числом.

Превосходные высококомпозитные корни

Первые несколько превосходных очень сложных чисел часто использовались как корень, из-за их высокой делимости по размеру. Например:

• Двоичный (база 2)
• Senary (база 6)
• Двенадцатеричный (основание 12)
• Шестидесятеричный (основание 60)

Более крупные SHCN можно использовать и другими способами. 120 отображается как длинная сотня, а 360 отображается как число градусы по кругу.

Примечания

1. Рамануджан (1915); см. также URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi

Рекомендации

• Рамануджан, С. (1915). «Сильно составные числа» (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. Серия 2. 14: 347–409. Дои:10.1112 / plms / s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. Перепечатано в Сборник статей (Ред. Г. Х. Харди и др.), Нью-Йорк: Челси, стр. 78–129, 1962 г.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. С. 45–46. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Улучшенный высококомпозитный номер». MathWorld.