Капрекарс режим - Kaprekars routine

В теория чисел, Распорядок Капрекара является итеративный алгоритм, который на каждой итерации принимает натуральное число в данном база чисел, создает два новых числа сортировка цифры его номера в порядке убывания и возрастания, и вычитает второе из первого, чтобы получить натуральное число для следующей итерации. Он назван в честь своего изобретателя, Индийский математик Д. Р. Капрекар.

Определение и свойства

Алгоритм следующий:

1. Выбери любой натуральное число ${\displaystyle n}$ в данном база чисел ${\displaystyle b}$. Это первый номер последовательности.
2. Создать новый номер ${\displaystyle \alpha }$ к сортировка цифры ${\displaystyle n}$ в порядке убывания и еще одно новое число ${\displaystyle \beta }$ путем сортировки цифр ${\displaystyle n}$ в порядке возрастания. Эти числа могут иметь ведущие нули, которые отбрасываются (или, альтернативно, сохраняются). Вычесть ${\displaystyle \alpha -\beta }$ для получения следующего номера последовательности.
3. Повторите шаг 2.

Последовательность называется Последовательность Капрекара и функция ${\displaystyle K_{b}(n)=\alpha -\beta }$ это Карта Капрекара. Некоторые числа отображаются сами на себя; эти фиксированные точки отображения Капрекара,^[1] и называются Константы Капрекара. Нуль постоянная Капрекара для всех оснований ${\displaystyle b}$, и поэтому называется тривиальная постоянная Капрекара. Все остальные постоянные Капрекара равны нетривиальные константы Капрекара.

Например, в база 10, начиная с 3524,

${\displaystyle K_{10}(3524)=5432-2345=3087}$

${\displaystyle K_{10}(3087)=8730-378=8352}$

${\displaystyle K_{10}(8352)=8532-2358=6174}$

${\displaystyle K_{10}(6174)=7641-1467=6174}$

с 6174 в качестве постоянной Капрекара.

Все последовательности Капрекара либо достигнут одной из этих фиксированных точек, либо приведут к повторяющемуся циклу. В любом случае конечный результат достигается за довольно небольшое количество шагов.

Обратите внимание, что числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ имеют то же самое цифра сумма и, следовательно, тот же остаток по модулю ${\displaystyle b-1}$. Следовательно, каждое число в последовательности Капрекара с основанием ${\displaystyle b}$ числа (кроме, возможно, первого) кратны ${\displaystyle b-1}$.

Когда ведущие нули сохраняются, только репдигиты приводят к тривиальной постоянной Капрекара.

Семейства констант Капрекара

В база 4, легко показать, что все числа вида 3021, 310221, 31102221, 3 ... 111 ... 02 ... 222 ... 1 (где длина последовательности "1" и длина «2» последовательности те же) - неподвижные точки отображения Капрекара.

В база 10, легко показать, что все числа вида 6174, 631764, 63317664, 6 ... 333 ... 17 ... 666 ... 4 (где длина последовательности "3" и длина «6» последовательности те же) - неподвижные точки отображения Капрекара.

б = 2k

Можно показать, что все натуральные числа

${\displaystyle m=(k)b^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)+(k)}$

неподвижные точки отображения Капрекара в четной базе ${\displaystyle b=2k}$ для всех натуральных чисел ${\displaystyle n}$.

Доказательство —

${\displaystyle \alpha =(2k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)}$

${\displaystyle \beta =(k-1)b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k-1)\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{b}(m)&=\alpha -\beta \\&=((2k-1)-(k-1))b^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-k)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+((k-1)-(2k-1))\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+2}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+b^{2n+2}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k)b^{2n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1}+b^{2n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-1}\left(\sum _{i=0}^{1}b^{i}\right)+b^{2n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{2n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{2n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(2k)b^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+kb^{n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-1}+b^{n+1-1}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{n+1-n}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b^{n+1-n}-k\left(\sum _{i=0}^{n-n}b^{i}\right)\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+b-k\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+2k-k\\&=kb^{2n+3}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b^{2n+2}+(2k-1)b^{n+1}\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+(k-1)b\left(\sum _{i=0}^{n}b^{i}\right)+k\\&=m\\\end{aligned}}}$

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle m}$
1	2	011, 101101, 110111001, 111011110001...
2	4	132, 213312, 221333112, 222133331112...
3	6	253, 325523, 332555223, 333255552223...
4	8	374, 437734, 443777334, 444377773334...
5	10	495, 549945, 554999445, 555499994445...
6	12	5B6, 65BB56, 665BBB556, 6665BBBB5556 ...
7	14	6D7, 76DD67, 776DDD667, 7776DDDD6667 ...
8	16	7F8, 87FF78, 887FFF778, 8887FFFF7778 ...
9	18	8H9, 98HH89, 998HHH889, 9998HHHH8889 ...

Константы Капрекара и циклы отображения Капрекара для конкретной базы б

Все числа выражены в базе ${\displaystyle b}$, используя A-Z для представления цифровых значений от 10 до 35.

Основание ${\displaystyle b}$	Длина цифры	Нетривиальные (ненулевые) постоянные Капрекара	Циклы
2	2	01[примечание 1]	${\displaystyle \varnothing }$
	3	011[примечание 1]	${\displaystyle \varnothing }$
	4	0111,[примечание 1] 1001	${\displaystyle \varnothing }$
	5	01111,[примечание 1] 10101	${\displaystyle \varnothing }$
	6	011111,[примечание 1] 101101, 110001	${\displaystyle \varnothing }$
	7	0111111,[примечание 1] 1011101, 1101001	${\displaystyle \varnothing }$
	8	01111111,[примечание 1] 10111101, 11011001, 11100001	${\displaystyle \varnothing }$
	9	011111111,[примечание 1] 101111101, 110111001, 111010001	${\displaystyle \varnothing }$
3	2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
	3	${\displaystyle \varnothing }$	022 → 121 → 022[примечание 1]
	4	${\displaystyle \varnothing }$	1012 → 1221 → 1012
	5	20211	${\displaystyle \varnothing }$
	6	${\displaystyle \varnothing }$	102212 → 210111 → 122221 → 102212
	7	2202101	2022211 → 2102111 → 2022211
	8	21022111	${\displaystyle \varnothing }$
	9	222021001	220222101 → 221021101 → 220222101 202222211 → 210222111 → 211021111 → 202222211
4	2	${\displaystyle \varnothing }$	03 → 21 → 03[примечание 1]
	3	132	${\displaystyle \varnothing }$
	4	3021	1332 → 2022 → 1332
	5	${\displaystyle \varnothing }$	20322 → 23331 → 20322
	6	213312, 310221, 330201	${\displaystyle \varnothing }$
	7	3203211	${\displaystyle \varnothing }$
	8	31102221, 33102201, 33302001	22033212 → 31333311 → 22133112 → 22033212
	9	221333112, 321032211, 332032101	${\displaystyle \varnothing }$
5	2	13	${\displaystyle \varnothing }$
	3	${\displaystyle \varnothing }$	143 → 242 → 143
	4	3032	${\displaystyle \varnothing }$
6	2	${\displaystyle \varnothing }$	05 → 41 → 23 → 05[примечание 1]
	3	253	${\displaystyle \varnothing }$
	4	${\displaystyle \varnothing }$	1554 → 4042 → 4132 → 3043 → 3552 → 3133 → 1554
	5	41532	31533 → 35552 → 31533
	6	325523, 420432, 530421	205544 → 525521 → 432222 → 205544
	7	${\displaystyle \varnothing }$	4405412 → 5315321 → 4405412
	8	43155322, 55304201	31104443 → 43255222 → 33204323 → 41055442 → 54155311 → 44404112 → 43313222 → 31104443 42104432 → 43204322 → 42104432 53104421 → 53304221 → 53104421
7	2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
	3	${\displaystyle \varnothing }$	264 → 363 → 264
	4	${\displaystyle \varnothing }$	3054 → 5052 → 5232 → 3054
8	2	25	07 → 61 → 43 → 07[примечание 1]
	3	374	${\displaystyle \varnothing }$
	4	${\displaystyle \varnothing }$	1776 → 6062 → 6332 → 3774 → 4244 → 1776 3065 → 6152 → 5243 → 3065
	5	${\displaystyle \varnothing }$	42744 → 47773 → 42744 51753 → 61752 → 63732 → 52743 → 51753
	6	437734, 640632	310665 → 651522 → 532443 → 310665
9	2	${\displaystyle \varnothing }$	17 → 53 → 17
	3	${\displaystyle \varnothing }$	385 → 484 → 385
	4	${\displaystyle \varnothing }$	3076 → 7252 → 5254 → 3076 5074 → 7072 → 7432 → 5074
10[2]	2	${\displaystyle \varnothing }$	09 → 81 → 63 → 27 → 45 → 09[примечание 1]
	3	495	${\displaystyle \varnothing }$
	4	6174	${\displaystyle \varnothing }$
	5	${\displaystyle \varnothing }$	53955 → 59994 → 53955 61974 → 82962 → 75933 → 63954 → 61974 62964 → 71973 → 83952 → 74943 → 62964
	6	549945, 631764	420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876
	7	${\displaystyle \varnothing }$	7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843
	8	63317664, 97508421	43208766 → 85317642 → 75308643 → 84308652 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 64308654 → 83208762 → 86526432 → 64308654
11	2	37	${\displaystyle \varnothing }$
	3	${\displaystyle \varnothing }$	4A6 → 5A5 → 4A6
	4	${\displaystyle \varnothing }$	3098 → 9452 → 7094 → 9272 → 7454 → 3098 5096 → 9092 → 9632 → 7274 → 5276 → 5096
12	2	${\displaystyle \varnothing }$	0B → A1 → 83 → 47 → 29 → 65 → 0B[примечание 1]
	3	5B6	${\displaystyle \varnothing }$
	4	${\displaystyle \varnothing }$	3BB8 → 8284 → 6376 → 3BB8 4198 → 8374 → 5287 → 6196 → 7BB4 → 7375 → 4198
	5	83B74	64B66 → 6BBB5 → 64B66
	6	65BB56	420A98 → A73742 → 842874 → 642876 → 62BB86 → 951963 → 860A54 → A40A72 → A82832 → 864654 → 420A98
	7	962B853	841B974 → A53B762 → 971B943 → A64B652 → 960BA53 → B73B741 → A82B832 → 984B633 → 863B754 → 841B974
	8	873BB744, A850A632	4210AA98 → A9737422 → 87428744 → 64328876 → 652BB866 → 961BB953 → A8428732 → 86528654 → 6410AA76 → A92BB822 → 9980A323 → A7646542 → 8320A984 → A7537642 → 8430A8762 → A530432842 → A840732842 → A840732762 → 8630428762 → A840732762 →
13	2	${\displaystyle \varnothing }$	1Б → 93 → 57 → 1Б
	3	${\displaystyle \varnothing }$	5C7 → 6C6 → 5C7
14	2	49	2Б → 85 → 2Б 0D → C1 → A3 → 67 → 0D[примечание 1]
	3	6D7	${\displaystyle \varnothing }$
15	2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
	3	${\displaystyle \varnothing }$	6E8 → 7E7 → 6E8
16[3]	2	${\displaystyle \varnothing }$	2D → A5 → 4B → 69 → 2D 0F → E1 → C3 → 87 → 0F[примечание 1]
	3	7F8	${\displaystyle \varnothing }$
	4	${\displaystyle \varnothing }$	3FFC → C2C4 → A776 → 3FFC A596 → 52CB → A596 E0E2 → EB32 → C774 → 7FF8 → 8688 → 1FFE → E0E2 E952 → C3B4 → 9687 → 30ED → E952
	5	${\displaystyle \varnothing }$	86F88 → 8FFF7 → 86F88 A3FB6 → C4FA4 → B7F75 → A3FB6 A4FA6 → B3FB5 → C5F94 → B6F85 → A4FA6
	6	87FF78	310EED → ED9522 → CB3B44 → 976887 → 310EED 532CCB → A95966 → 532CCB 840EB8 → E6FF82 → D95963 → A42CB6 → A73B86 → 840EB8 A80E76 → E40EB2 → EC6832 → C91D64 → C82C74 → A80E76 C60E94 → E82C72 → CA0E54 → E84A72 → C60E94
	7	C83FB74	B62FC95 → D74FA83 → C92FC64 → D85F973 → C81FD74 → E94fA62 → DA3FB53 → CA5F954 → B74FA85 → B62FC95 B71FD85 → E83FB72 → DB3FB43 → CA6F854 → B73FB85 → C63FB94 → C84FA74 → B82FC75 → D73FB83 → CA3FB54 → C85F974 → B71FD85
	8	${\displaystyle \varnothing }$	3110EEED → EDD95222 → CBB3B444 → 97768887 → 3110EEED 5332CCCB → A9959666 → 5332CCCB 7530ECA9 → E951DA62 → DB52CA43 → B974A865 → 7530ECA9 A832CC76 → A940EB66 → E742CB82 → CA70E854 → E850EA72 → EC50EA32 → EC94A632 → C962C964 → A832CC76 C610EE94 → ED82C722 → CBA0E544 → E874A872 → C610EE94 C630EC94 → E982C762 → CA30EC54 → E984A762 → C630EC94 C650EA94 → E852CA72 → CA50EA54 → E854AA72 → C650EA94 CA10EE54 → ED84A722 → CB60E944 → E872C872 → CA10EE54

1. Начальные нули сохранены.

Константы Капрекара по основанию 10

Числа длиной четыре цифры

В 1949 г. Д. Р. Капрекар открыл^[4] что если описанный выше процесс применяется к база 10 числа из 4 цифр, результирующая последовательность почти всегда будет сходиться к значению 6174 не более чем за 8 итераций, за исключением небольшого набора начальных чисел, которые вместо этого сходятся к 0. Число 6174 - первая обнаруженная константа Капрекара, и поэтому иногда ее называют Постоянная Капрекара.^[5][6][7]

Набор чисел, которые сходятся к нулю, зависит от того, сохраняются ли ведущие нули (обычная формулировка) или отбрасываются (как в исходной формулировке Капрекара).

В обычной формулировке есть 77 четырехзначных чисел, которые сходятся к нулю,^[8] например 2111. Однако в первоначальной формулировке Капрекара ведущие нули сохранены, и только репдигиты например, 1111 или 2222 сопоставить с нулем. Этот контраст показан ниже:

отбросить ведущие нули	сохранять ведущие нули
2111 − 1112 = 999 999 − 999 = 0	2111 − 1112 = 0999 9990 − 0999 = 8991 9981 − 1899 = 8082 8820 − 0288 = 8532 8532 − 2358 = 6174

Ниже представлена ​​блок-схема. Ведущие нули сохраняются, однако единственная разница, когда ведущие нули отбрасываются, состоит в том, что вместо 0999, соединяющегося с 8991, мы получаем 999, соединяющееся с 0.

Последовательность превращений Капрекара, заканчивающаяся 6174 годом.

Цифры трехзначные

Если процедура Капрекара применяется к числам из 3 цифр с основанием 10, результирующая последовательность почти всегда сходится к значению 495 максимум за 6 итераций, за исключением небольшого набора начальных чисел, которые вместо этого сходятся к 0.^[5]

Набор чисел, которые сходятся к нулю, зависит от того, отбрасываются ли ведущие нули (обычная формулировка) или сохраняются (как в исходной формулировке Капрекара). В обычной формулировке есть 60 трехзначных чисел, которые сходятся к нулю,^[9] например 211. Однако в исходной формулировке Капрекара ведущие нули сохранены, и только репдигиты например 111 или 222, отображаются в ноль.

Ниже представлена ​​блок-схема. Ведущие нули сохраняются, однако единственная разница, когда ведущие нули отбрасываются, заключается в том, что вместо 099, соединяющегося с 891, мы получаем 99, соединяющееся с 0.

Последовательность трехзначных преобразований Капрекара, оканчивающаяся на 495.

Другая длина цифр

Для длин цифр, отличных от трех или четырех (в базе 10), процедура может завершиться в одной из нескольких фиксированных точек или может вместо этого войти в один из нескольких циклов, в зависимости от начального значения последовательности.^[5] См. Таблицу в раздел выше за база 10 неподвижные точки и циклы.

Количество циклов быстро увеличивается с увеличением длины цифр, и все эти циклы, за исключением небольшой, имеют длину три. Например, для 20-значных чисел с основанием 10 существует четырнадцать констант (циклов длины один) и девяносто шесть циклов длины больше единицы, все из которых, кроме двух, имеют длину три. Длина нечетных цифр дает меньше разных конечных результатов, чем длина четных цифр.^[10][11]

Пример программирования

Пример ниже реализует отображение Капрекара, описанное в определении выше. для поиска постоянных и циклов Капрекара в Python.

Начальные нули отброшены

def get_digits(Икс, б):    цифры = []    пока Икс > 0:        цифры.добавить(Икс % б)        Икс = Икс // б    возвращаться цифры    def form_number(цифры, б):    результат = 0    за я в классифицировать(0, len(цифры)):        результат = результат * б + цифры[я]    возвращаться результатdef kaprekar_map(Икс, б):    нисходящий = form_number(отсортированный(get_digits(Икс, б), обеспечить регресс=Истинный), б)    Восходящий = form_number(отсортированный(get_digits(Икс, б)), б)    возвращаться нисходящий - Восходящий    def kaprekar_cycle(Икс, б):    Икс = int (ул(Икс), б)    видимый = []    пока Икс нет в видимый:        видимый.добавить(Икс)        Икс = kaprekar_map(Икс, б)    цикл = []    пока Икс нет в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = kaprekar_map(Икс, б)    возвращаться цикл

Начальные нули сохранены

def digit_count(Икс, б):    считать = 0    пока Икс > 0:        считать = считать + 1        Икс = Икс // б    возвращаться считать    def get_digits(Икс, б, init_k):    k = digit_count(Икс, б)    цифры = []    пока Икс > 0:        цифры.добавить(Икс % б)        Икс = Икс // б    за я в классифицировать(k, init_k):        цифры.добавить(0)    возвращаться цифры    def form_number(цифры, б):    результат = 0    за я в классифицировать(0, len(цифры)):        результат = результат * б + цифры[я]    возвращаться результат    def kaprekar_map(Икс, б, init_k):    нисходящий = form_number(отсортированный(get_digits(Икс, б, init_k), обеспечить регресс=Истинный), б)    Восходящий = form_number(отсортированный(get_digits(Икс, б, init_k)), б)    возвращаться нисходящий - Восходящий    def kaprekar_cycle(Икс, б):    Икс = int (ул(Икс), б)    init_k = digit_count(Икс, б)    видимый = []    пока Икс нет в видимый:        видимый.добавить(Икс)        Икс = kaprekar_map(Икс, б, init_k)    цикл = []    пока Икс нет в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = kaprekar_map(Икс, б, init_k)    возвращаться цикл

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Факторион
• Счастливый номер
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный инвариант между цифрами
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта
• Алгоритм сортировки

Рекомендации

1. (последовательность A099009 в OEIS )
2. [1]
3. [2]
4. Капрекар Д.Р. (1955). «Интересное свойство числа 6174». Scripta Mathematica. 15: 244–245.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Рутина Капрекара». MathWorld.
6. Ютака Нишияма, Загадочное число 6174
7. Капрекар Д.Р. (1980). «О числах Капрекара». Журнал развлекательной математики. 13 (2): 81–82.
8. (последовательность A069746 в OEIS )
9. (последовательность A090429 в OEIS )
10. [3]
11. [4]

внешняя ссылка

• Боули, Ровер. «6174 - константа Капрекара». Numberphile. Ноттингемский университет: Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2017-08-23. Получено 2013-04-01.
• Пример кода (Perl) для перехода от любого четырехзначного числа к константе Капрекара