Идеальный цифровой инвариант - Perfect digital invariant

В теория чисел, а идеальный цифровой инвариант (PDI) это число в данном база чисел ${\displaystyle b}$ это сумма собственных цифр, каждая из которых возведена в заданное мощность ${\displaystyle p}$.^[1][2]

Определение

Позволять ${\displaystyle n}$ быть натуральное число. Мы определяем совершенная цифровая инвариантная функция (также известный как счастливая функция, из счастливые числа ) для базы ${\displaystyle b>1}$ и власть ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ быть следующим:

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{p}.}$

куда ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ это количество цифр в числе в базе ${\displaystyle b}$, и

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число ${\displaystyle n}$ это идеальный цифровой инвариант если это фиксированная точка за ${\displaystyle F_{p,b}}$, что происходит, если ${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$. ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ находятся тривиальные совершенные цифровые инварианты для всех ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle p}$, все остальные совершенные цифровые инварианты нетривиальные совершенные цифровые инварианты.

Например, число 4150 в базе ${\displaystyle b=10}$ идеальный цифровой инвариант с ${\displaystyle p=5}$, потому что ${\displaystyle 4150=4^{5}+1^{5}+5^{5}+0^{5}}$.

Натуральное число ${\displaystyle n}$ это коммуникабельный цифровой инвариант если это периодическая точка за ${\displaystyle F_{p,b}}$, куда ${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$ для положительного целое число ${\displaystyle k}$ (здесь ${\displaystyle F_{p,b}^{k}}$ это ${\displaystyle k}$th повторять из ${\displaystyle F_{p,b}}$) и образует цикл периода ${\displaystyle k}$. Идеальный цифровой инвариант - это общительный цифровой инвариант с ${\displaystyle k=1}$, а дружественный цифровой инвариант общительный цифровой инвариант с ${\displaystyle k=2}$.

Все натуральные числа ${\displaystyle n}$ находятся препериодические точки за ${\displaystyle F_{p,b}}$, вне зависимости от базы. Это потому, что если ${\displaystyle k\geq p+2}$, ${\displaystyle n\geq b^{k-1}>b^{p}k}$так что любой ${\displaystyle n}$ удовлетворит ${\displaystyle n>F_{b,p}(n)}$ до того как ${\displaystyle n<b^{p+1}}$. Существует конечное число натуральных чисел меньше, чем ${\displaystyle b^{p+1}}$, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем ${\displaystyle b^{p+1}}$, что делает его предпериодической точкой.

Числа в базе ${\displaystyle b>p}$ привести к фиксированным или периодическим точкам чисел ${\displaystyle n\leq (p-2)^{p}+p(b-1)^{p}}$.

Доказательство —

Если ${\displaystyle b>p}$, то ${\displaystyle n<b^{p+1}}$ граница может быть уменьшена. ${\displaystyle r}$ быть числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше, чем ${\displaystyle b^{p}}$.

${\displaystyle r=b^{p}-1=\sum _{t=0}^{p}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(r)=(p+1)(b-1)^{p}<(p+1)b^{p}\leq b^{p+1}}$ потому что ${\displaystyle b\geq (p+1)}$

Позволять ${\displaystyle s}$ быть числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше, чем ${\displaystyle (p+1)(b-1)^{p}}$.

${\displaystyle s=(p+1)b^{p}-1=pb^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(s)=p^{p}+p(b-1)^{p}<pb^{p}}$ потому что ${\displaystyle b\geq p}$

Позволять ${\displaystyle t}$ быть числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше, чем ${\displaystyle pb^{p}}$.

${\displaystyle t=(p-1)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(t)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}}$

Позволять ${\displaystyle u}$ быть числом, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел меньше, чем ${\displaystyle F_{p,b}(t)+1}$.

${\displaystyle u=(p-2)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}}$

${\displaystyle F_{p,b}(u)=(p-2)^{p}+p(b-1)^{p}<(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}=n_{\ell +1}}$

${\displaystyle u\leq F_{p,b}(u)<F_{p,b}(t)}$. Таким образом, числа в базе ${\displaystyle b>p}$ приводят к циклам или фиксированным точкам чисел ${\displaystyle n\leq F_{p,b}(u)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}}$.

Количество итераций ${\displaystyle i}$ необходимо для ${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$ достичь фиксированной точки - идеальная цифровая инвариантная функция упорство из ${\displaystyle n}$, и undefined, если он никогда не достигает фиксированной точки.

${\displaystyle F_{1,b}}$ это цифра сумма. Единственные совершенные цифровые инварианты - это однозначные числа в базе ${\displaystyle b}$, и нет периодических точек с простым периодом больше единицы.

${\displaystyle F_{p,2}}$ сводится к ${\displaystyle F_{1,2}}$, как для любой власти ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle 0^{p}=0}$ и ${\displaystyle 1^{p}=1}$.

Для каждого натурального числа ${\displaystyle k>1}$, если ${\displaystyle p<b}$, ${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$ и ${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$, то для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$, если ${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$, тогда ${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$, куда ${\displaystyle \phi (k)}$ является Функция Эйлера.

Доказательство —

Позволять

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{j}d_{i}b^{i}}$

быть натуральным числом с ${\displaystyle j}$ цифры, где ${\displaystyle 0\leq d_{i}<b}$, и ${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$, куда ${\displaystyle k}$ натуральное число больше 1.

Согласно правила делимости базы ${\displaystyle b}$, если ${\displaystyle b-1\equiv 0{\bmod {k}}}$, то если ${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$, то цифра сумма

${\displaystyle F_{1,b}(n)=\sum _{i=0}^{j}d_{i}\equiv m{\bmod {k}}}$

Если цифра ${\displaystyle d_{i}\equiv m{\bmod {k}}}$, тогда ${\displaystyle d_{i}^{p}\equiv m^{p}{\bmod {k}}}$. В соответствии с Теорема Эйлера, если ${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$, ${\displaystyle m^{p}{\bmod {k}}=m{\bmod {k}}}$. Таким образом, если цифра сумма ${\displaystyle F_{1,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$, тогда ${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$.

Следовательно, для любого натурального числа ${\displaystyle k}$, если ${\displaystyle p<b}$, ${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$ и ${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$, то для каждого натурального числа ${\displaystyle n}$, если ${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$, тогда ${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$.

Верхняя граница не может быть определена для размера совершенных цифровых инвариантов в данной базе и произвольной степени, и в настоящее время неизвестно, является ли количество совершенных цифровых инвариантов для произвольной базы конечным или бесконечным.^[1]

Совершенные цифровые инварианты F_2,б

По определению любой трехзначный идеальный цифровой инвариант ${\displaystyle n=d_{2}d_{1}d_{0}}$ за ${\displaystyle F_{2,b}}$ с цифрами натурального числа ${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$, ${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$, ${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$ должен удовлетворить кубический Диофантово уравнение ${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$. Тем не мение, ${\displaystyle d_{2}}$ должен быть равен 0 или 1 для любого ${\displaystyle b>2}$, поскольку максимальное значение ${\displaystyle n}$ может взять это ${\displaystyle n=(2-1)^{2}+2(b-1)^{2}=1+2(b-1)^{2}<2b^{2}}$. В результате на самом деле есть два связанных квадратичный Решаемые диофантовы уравнения:

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}=d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{2}=0}$, и

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+1=b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{2}=1}$.

Двузначное натуральное число ${\displaystyle n=d_{1}d_{0}}$ идеальный цифровой инвариант в базе

${\displaystyle b=d_{1}+{\frac {d_{0}(d_{0}-1)}{d_{1}}}.}$

Это можно доказать, взяв первый случай, когда ${\displaystyle d_{2}=0}$, и решение для ${\displaystyle b}$. Это означает, что для некоторых значений ${\displaystyle d_{0}}$ и ${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle n}$ не является идеальным цифровым инвариантом в любой базе, поскольку ${\displaystyle d_{1}}$ это не делитель из ${\displaystyle d_{0}(d_{0}-1)}$. Более того, ${\displaystyle d_{0}>1}$, потому что, если ${\displaystyle d_{0}=0}$ или же ${\displaystyle d_{0}=1}$, тогда ${\displaystyle b=d_{1}}$, что противоречит предыдущему утверждению, что ${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$.

Трехзначных совершенных цифровых инвариантов для ${\displaystyle F_{2,b}}$, что можно доказать, взяв второй случай, когда ${\displaystyle d_{2}=1}$, и позволяя ${\displaystyle d_{0}=b-a_{0}}$ и ${\displaystyle d_{1}=b-a_{1}}$. Тогда диофантово уравнение для трехзначного совершенного цифрового инварианта принимает вид

${\displaystyle (b-a_{0})^{2}+(b-a_{1})^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}-2a_{0}b+a_{0}^{2}+b^{2}-2a_{1}b+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle 2b^{2}-2(a_{0}+a_{1})b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}+(b-2(a_{0}+a_{1}))b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

Тем не мение, ${\displaystyle 2(a_{0}+a_{1})>a_{1}}$ для всех значений ${\displaystyle 0<a_{1}\leq b}$. Таким образом, не существует решений диофантова уравнения и трехзначных совершенных цифровых инвариантов для ${\displaystyle F_{2,b}}$.

Совершенные цифровые инварианты F_3,б

После единицы есть всего четыре числа, которые представляют собой суммы кубиков своих цифр:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}.}$

Это странные факты, очень подходящие для столбцов головоломок и, вероятно, развлекающие любителей, но в них нет ничего, что привлекало бы математиков. (последовательность A046197 в OEIS )

— Г. Х. Харди, Извинения математика

По определению любой четырехзначный идеальный цифровой инвариант ${\displaystyle n}$ за ${\displaystyle F_{3,b}}$ с цифрами натурального числа ${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$, ${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$, ${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$, ${\displaystyle 0\leq d_{3}<b}$ должен удовлетворить квартика Диофантово уравнение ${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3}=d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$. Тем не мение, ${\displaystyle d_{3}}$ должно быть равно 0, 1, 2 для любого ${\displaystyle b>3}$, поскольку максимальное значение ${\displaystyle n}$ может взять это ${\displaystyle n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}}$. В результате получается три связанных кубический Решаемые диофантовы уравнения

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{3}=0}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+1=b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{3}=1}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+8=2b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{3}=2}$

Возьмем первый случай, когда ${\displaystyle d_{3}=0}$.

б = 3k + 1

Позволять ${\displaystyle k}$ быть положительным целым числом и основанием числа ${\displaystyle b=3k+1}$. Потом:

• ${\displaystyle n_{1}=kb^{2}+(2k+1)b}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{1}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{2}=k}$, ${\displaystyle d_{1}=2k+1}$, и ${\displaystyle d_{0}=0}$. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{3,b}(n_{1})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=k^{3}+(2k+1)^{3}+0^{3}\\&=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))\\&=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)\\&=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+0\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{1}\end{aligned}}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{1}}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

• ${\displaystyle n_{2}=kb^{2}+(2k+1)b+1}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{2}=k}$, ${\displaystyle d_{1}=2k+1}$, и ${\displaystyle d_{0}=1}$. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{3,b}(n_{2})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=k^{3}+(2k+1)^{3}+1^{3}\\&=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))+1\\&=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)+1\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)+1\\&=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+1\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{2}\end{aligned}}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{2}}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

• ${\displaystyle n_{3}=(k+1)b^{2}+(2k+1)}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{2}=k+1}$, ${\displaystyle d_{1}=0}$, и ${\displaystyle d_{0}=2k+1}$. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{3,b}(n_{3})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=(k+1)^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}\\&=((k+1)^{2}-(k+1)(2k+1)+(2k+1)^{2})((k+1)+(2k+1))\\&=((k+1)^{2}+k(2k+1)(3k+2)\\&=(k^{2}+2k+1+2k^{2}+k)(3k+2)\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)\\&=(3k^{2}+3k)(3k+2)+(3k+2)\\&=3k(k+1)(3k+2)+(3k+2)\\&=(k+1)((3k+1)^{2}-1)+(3k+2)\\&=(k+1)(3k+1)^{2}-(k+1)+(3k+2)\\&=(k+1)(3k+1)^{2}+0(3k+1)+(2k+1)\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{3}\end{aligned}}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{3}}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$	${\displaystyle n_{3}}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28	9J0	9J1	A0J

б = 3k + 2

Позволять ${\displaystyle k}$ быть положительным целым числом и основанием числа ${\displaystyle b=3k+2}$. Потом:

• ${\displaystyle n_{1}=kb^{2}+(2k+1)}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{1}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{2}=k}$, ${\displaystyle d_{1}=2k+1}$, и ${\displaystyle d_{0}=0}$. потом

${\displaystyle F_{3,b}(n_{1})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}}$

${\displaystyle =k^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}}$

${\displaystyle =(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))}$

${\displaystyle =(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+3k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+2k+k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-k(3k+2)-(k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+2k+1)(3k+2)-(k+1)}$

${\displaystyle =(3k^{2}+2k)(3k+2)+(3k+2)-(k+1)}$

${\displaystyle =k(3k+2)^{2}+(2k+1)}$

${\displaystyle =d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{1}}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$
1	5	103
2	8	205
3	11	307
4	14	409
5	17	50B
6	20	60D
7	23	70F
8	26	80H
9	29	90J

б = 6k + 4

Позволять ${\displaystyle k}$ быть положительным целым числом и основанием числа ${\displaystyle b=6k+4}$. Потом:

• ${\displaystyle n_{4}=kb^{2}+(3k+2)b+(2k+1)}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Доказательство —

Пусть цифры ${\displaystyle n_{4}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ быть ${\displaystyle d_{2}=k+1}$, ${\displaystyle d_{1}=3k+2}$, и ${\displaystyle d_{0}=2k+1}$. потом

${\displaystyle F_{3,b}(n_{3})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}}$

${\displaystyle =(k)^{3}+(3k+2)^{3}+(2k+1)^{3}}$

${\displaystyle =k^{3}+((3k+2)^{2}-(3k+2)(2k+1)+(2k+1)^{2})((3k+2)+(2k+1))}$

${\displaystyle =k^{3}+((3k+2)(k+1)+(2k+1)^{2})(5k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+(3k^{2}+5k+2+4k^{2}+4k+1)(5k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+(7k^{2}+9k+3)(5k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+5k(7k^{2}+9k+3)+3(7k^{2}+9k+3)}$

${\displaystyle =k^{3}+35k^{3}+45k^{2}+15k+21k^{2}+27k+9}$

${\displaystyle =36k^{3}+66k^{2}+42k+9}$

${\displaystyle =(6k+4)(6k^{2})+42k^{2}+42k+9}$

${\displaystyle =(6k+4)(6k^{2})+(6k+4)(4k^{2})+18k^{2}+26k+9}$

${\displaystyle =(6k+4)(6k^{2}+4k)+18k^{2}+26k+9}$

${\displaystyle =k(6k+4)^{2}+(6k+4)(3k)+14k+9}$

${\displaystyle =k(6k+4)^{2}+(3k+2)(6k+4)+2k+1}$

${\displaystyle =d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{4}}$

Таким образом ${\displaystyle n_{4}}$ идеальный цифровой инвариант для ${\displaystyle F_{3,b}}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{4}}$
0	4	021
1	10	153
2	16	285
3	22	3B7
4	28	4E9

Совершенные цифровые инварианты и циклы F_п,б для конкретных п и б

Все числа представлены в базе ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle p}$	${\displaystyle b}$	Нетривиальные совершенные цифровые инварианты	Циклы
2	3	12, 22	2 → 11 → 2
	4	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
	5	23, 33	4 → 31 → 20 → 4
	6	${\displaystyle \varnothing }$	5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
	7	13, 34, 44, 63	2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16
	8	24, 64	4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15
	9	45, 55	58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75
	10	${\displaystyle \varnothing }$	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
	11	56, 66	5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68
	12	25, А5	5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68
	13	14, 36, 67, 77, A6, C4	28 → 53 → 28 79 → A0 → 79 98 → B2 → 98
	14	${\displaystyle \varnothing }$	1B → 8A → BA → 11B → 8B → D3 → CA → 136 → 34 → 1B 29 → 61 → 29
	15	78, 88	2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1Б → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2B → 85 → 5E → EB → 162 → 2B 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9А → С1 → 9А D6 → DA → 12E → D6
	16	${\displaystyle \varnothing }$	D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
3	3	122	2 → 22 → 121 → 101 → 2
	4	20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332	${\displaystyle \varnothing }$
	5	103, 433	14 → 230 → 120 → 14
	6	243, 514, 1055	13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13
	7	12, 22, 250, 251, 305, 505	2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516
	8	134, 205, 463, 660, 661	662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662
	9	30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388	38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818
	10	153, 370, 371, 407	55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919
	11	32, 105, 307, 708, 966, A06, A64	3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 A → 82A → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4A → 888 → 1177 → 576 → 5723 → A3 → 8793 → 1210 → A 25А → 940 → 661 → 364 → 25А 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49А → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49А
	12	577, 668, A83, 11AA
	13	490, 491, 509, B85	13 → 22 → 13
	14	136, 409
	15	C3A, D87
	16	23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1
4	3	${\displaystyle \varnothing }$	121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122
	4	1103, 3303	3 → 1101 → 3
	5	2124, 2403, 3134	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444
	6	${\displaystyle \varnothing }$
	7	${\displaystyle \varnothing }$
	8	20, 21, 400, 401, 420, 421
	9	432, 2466
5	3	1020, 1021, 2102, 10121	${\displaystyle \varnothing }$
	4	200	3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311

Расширение до отрицательных целых чисел

Совершенные цифровые инварианты могут быть расширены до отрицательных целых чисел с помощью представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Сбалансированный тройной

В сбалансированный тройной, цифры - 1, -1 и 0. Это приводит к следующему:

• С странный полномочия ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {2}}}$, ${\displaystyle F_{p,{\text{bal}}3}}$ сводится к цифра сумма итерация, как ${\displaystyle (-1)^{p}=-1}$, ${\displaystyle 0^{p}=0}$ и ${\displaystyle 1^{p}=1}$.
• С четное полномочия ${\displaystyle p\equiv 0{\bmod {2}}}$, ${\displaystyle F_{p,{\text{bal}}3}}$ указывает, является ли число четным или нечетным, поскольку сумма каждой цифры будет указывать на делимость на 2 если и только если сумма цифр заканчивается на 0. Поскольку ${\displaystyle 0^{p}=0}$ и ${\displaystyle (-1)^{p}=1^{p}=1}$, для каждой пары цифр 1 или −1 их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 2.

Отношение к счастливым числам

Основная статья: Счастливый номер

Счастливый номер ${\displaystyle n}$ для данной базы ${\displaystyle b}$ и заданная мощность ${\displaystyle p}$ является препериодической точкой для идеальной цифровой инвариантной функции ${\displaystyle F_{p,b}}$ так что ${\displaystyle m}$-я итерация ${\displaystyle F_{p,b}}$ равен тривиальному совершенному цифровому инварианту ${\displaystyle 1}$, а несчастливое число - такое, что таких ${\displaystyle m}$.

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализуется функция идеального цифрового инварианта, описанная в определении выше. для поиска идеальных цифровых инвариантов и циклов в Python. Это можно использовать, чтобы найти счастливые числа.

def pdif(Икс: int, п: int, б: int) -> int:    "" "Совершенная цифровая инвариантная функция." ""    общий = 0    пока Икс > 0:        общий = общий + пау(Икс % б, п)        Икс = Икс // б    возвращаться общийdef pdif_cycle(Икс: int, п: int, б: int) -> Список[int]:    видимый = []    пока Икс нет в видимый:        видимый.добавить(Икс)        Икс = pdif(Икс, п, б)    цикл = []    пока Икс нет в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = pdif(Икс, п, б)    возвращаться цикл

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Факторион
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный инвариант между цифрами
• Сумма-номер продукта

Рекомендации

1. Perfect и PluPerfect цифровые инварианты В архиве 2007-10-10 на Wayback Machine Скотт Мур
2. PDI Харви Хайнц

внешняя ссылка

• Цифровые инварианты