Последовательность аликвот - Aliquot sequence

Нерешенная проблема в математике: Все ли аликвотные последовательности в конечном итоге заканчиваются простым числом, идеальным числом или набором дружественных или общительных чисел? (Гипотеза Каталонской аликвотной последовательности) (больше нерешенных задач по математике)

В математика, аликвотная последовательность представляет собой последовательность натуральных чисел, в которой каждый член является суммой собственные делители предыдущего срока. Если последовательность достигает числа 1, она заканчивается, поскольку сумма собственных делителей 1 равна 0.

Определение и обзор

Последовательность аликвот, начинающаяся с положительного целого числа k можно формально определить в терминах функция суммы делителей σ₁ или аликвотная сумма функция s следующим образом:^[1]

s₀ = k

s_п = s(s_п−1) = σ₁(s_п−1) − s_п−1 если s_п−1 > 0

s_п = 0, если s_п−1 = 0 ---> (если мы добавим это условие, тогда все члены после 0 будут 0, и все последовательности аликвот будут бесконечной последовательностью, и мы можем предположить, что все последовательности аликвот являются сходящийся, предел этих последовательностей обычно равен 0 или 6)

и s(0) не определено.

Например, аликвотная последовательность 10 равна 10, 8, 7, 1, 0, потому что:

σ₁(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8,

σ₁(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7,

σ₁(7) − 7 = 1,

σ₁(1) − 1 = 0.

Многие аликвотные последовательности заканчиваются нулем; все такие последовательности обязательно заканчиваются простое число за которым следует 1 (поскольку единственный собственный делитель простого числа - 1), за которым следует 0 (поскольку 1 не имеет собственных делителей). См. (Последовательность A080907 в OEIS ) для списка таких номеров до 75. Существует множество способов, которыми аликвотная последовательность может не завершаться:

• А идеальное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1. Например, аликвотная последовательность 6 равна 6, 6, 6, 6, ...
• An мирный номер имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 2. Например, аликвотная последовательность 220 равна 220, 284, 220, 284, ...
• А общительный номер имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 3 или больше. (Иногда термин общительный номер также используется для обозначения дружественных чисел.) Например, аликвотная последовательность 1264460 - 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
• Некоторые числа имеют аликвотную последовательность, которая в конечном итоге является периодической, но само число не является идеальным, дружелюбным или общительным. Например, аликвотная последовательность 95 составляет 95, 25, 6, 6, 6, 6, .... Такие числа, как 95, которые не идеальны, но имеют в конечном итоге повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1, называются стремящиеся числа.^[2]

п	Аликвотная последовательность п	длина (OEIS: A098007)	п	Аликвотная последовательность п	длина (OEIS: A098007)	п	Аликвотная последовательность п	длина (OEIS: A098007)	п	Аликвотная последовательность п	длина (OEIS: A098007)
0	0	1	12	12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8	24	24, 36, 55, 17, 1, 0	6	36	36, 55, 17, 1, 0	5
1	1, 0	2	13	13, 1, 0	3	25	25, 6	2	37	37, 1, 0	3
2	2, 1, 0	3	14	14, 10, 8, 7, 1, 0	6	26	26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8	38	38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
3	3, 1, 0	3	15	15, 9, 4, 3, 1, 0	6	27	27, 13, 1, 0	4	39	39, 17, 1, 0	4
4	4, 3, 1, 0	4	16	16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7	28	28	1	40	40, 50, 43, 1, 0	5
5	5, 1, 0	3	17	17, 1, 0	3	29	29, 1, 0	3	41	41, 1, 0	3
6	6	1	18	18, 21, 11, 1, 0	5	30	30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	16	42	42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	15
7	7, 1, 0	3	19	19, 1, 0	3	31	31, 1, 0	3	43	43, 1, 0	3
8	8, 7, 1, 0	4	20	20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8	32	32, 31, 1, 0	4	44	44, 40, 50, 43, 1, 0	6
9	9, 4, 3, 1, 0	5	21	21, 11, 1, 0	4	33	33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7	45	45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
10	10, 8, 7, 1, 0	5	22	22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	7	34	34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	9	46	46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	9
11	11, 1, 0	3	23	23, 1, 0	3	35	35, 13, 1, 0	4	47	47, 1, 0	3

Длины аликвотных последовательностей, начинающиеся с п находятся

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (последовательность A044050 в OEIS )

Последние члены (исключая 1) последовательностей аликвот, которые начинаются с п находятся

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (последовательность A115350 в OEIS )

Числа, чья аликвотная последовательность заканчивается на 1, являются

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A080907 в OEIS )

Числа, чья аликвотная последовательность заканчивается идеальное число, кроме самих совершенных чисел (6, 28, 496, ...), являются

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (последовательность A063769 в OEIS )

Числа, чья аликвотная последовательность заканчивается циклом длиной не менее 2, являются

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... ( последовательность A121507 в OEIS )

Числа, чья аликвотная последовательность не является конечной или в конечном итоге периодической, считаются

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (последовательность A131884 в OEIS )

Число, которое никогда не является преемником в аликвотной последовательности, называется неприкасаемый номер.

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Гипотеза Каталана-Диксона

Важно догадка из-за Каталонский, иногда называемый каталонским -Диксон Гипотеза состоит в том, что каждая аликвотная последовательность заканчивается одним из вышеуказанных способов: простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел.^[3] Альтернативой может быть то, что существует число, аликвотная последовательность которого бесконечна, но никогда не повторяется. Таким числом может быть любое из множества чисел, чьи аликвотные последовательности не были полностью определены. Первые пять номеров кандидатов часто называют Лемер пять (названный в честь Д. Х. Лемер ): 276, 552, 564, 660 и 966.^[4] Однако стоит отметить, что 276 может достигать высокого апекса в своей аликвотной последовательности, а затем спускаться; число 138 достигает пика 179931895322, прежде чем вернуться к 1.

Парень и Селфридж считают, что гипотеза Каталонии-Диксона неверна (поэтому они предполагают, что некоторые аликвотные последовательности являются неограниченный выше (или расходятся)).^[5]

По состоянию на апрель 2015 г.^{[Обновить]}, было 898 положительных целых чисел меньше 100 000, чьи аликвотные последовательности не были полностью определены, и 9190 таких целых чисел меньше 1 000 000.^[6]

Систематический поиск аликвотных последовательностей

Аликвотная последовательность может быть представлена ​​как ориентированный граф, ${\displaystyle G_{n,s}}$, для данного целого числа ${\displaystyle n}$, куда ${\displaystyle s(k)}$ обозначает сумму собственных делителей ${\displaystyle k}$.^[7]Циклы в ${\displaystyle G_{n,s}}$ представляют собой общительные числа в пределах интервала ${\displaystyle [1,n]}$. Два особых случая - это петли, представляющие идеальные числа и циклы длины два, которые представляют дружные пары.

Смотрите также

• Арифметическая динамика

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность аликвот». MathWorld.
2. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A063769 (Стремящиеся числа: числа, аликвотная последовательность которых заканчивается идеальным числом.)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
3. Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза каталонской аликвотной последовательности". MathWorld.
4. Крейауфмюллер, Вольфганг (24 мая 2014 г.). "Lehmer Five". Получено 14 июня, 2015.
5. Мосунов А.С., Что мы знаем об аликвотных последовательностях?
6. Крейауфмюллер, Вольфганг (29 апреля 2015 г.). «Алигота страниц». Получено 14 июня, 2015.
7. Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Распределенное обнаружение циклов в крупномасштабных разреженных графах, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), Дои:10.13140 / RG.2.1.1233.8640

Рекомендации

• Мануэль Бенито; Вольфганг Крейауфмюллер; Хуан Луис Варона; Пауль Циммерманн. Последовательность аликвот 3630 заканчивается после достижения 100 цифр. Экспериментальная математика, т. 11, номер. 2, Натик, Массачусетс, 2002, стр. 201-206.
• В. Крейауфмюллер. Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im Деталь. Штутгарт 2000 (3-е изд.), 327 с.

внешняя ссылка

• Текущее состояние аликвотных последовательностей со сроком начала менее 2 миллионов
• Таблицы аликвотных циклов (J.O.M. Pedersen)
• Аликвотная страница (Вольфганг Крейауфмюллер)
• Аликвотные последовательности (Кристоф Клавье)
• Форум по расчету аликвотных последовательностей (MersenneForum)
• Страница сводки аликвотных последовательностей для последовательностей до 100000 (есть аналогичные страницы для более высоких диапазонов) (Карстен Бонат)
• Сайт активных исследований аликвотных последовательностей (Жан-Люк Гарамбуа) (На французском)