Стена – Солнце – Солнце премьер - Wall–Sun–Sun prime

Стена – Солнце – Солнце премьер
Названный в честь	Дональд Дайнс Wall, Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сунь
Год публикации	1992
Нет. известных терминов	0
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный

В теория чисел, а Стена – Солнце – Солнце премьер или же Простое число Фибоначчи – Вифериха это определенный вид простое число который предположительно существует, хотя ни один из них не известен.

Определение

Позволять ${ displaystyle p}$ быть простым числом. Когда каждый член в последовательности Числа Фибоначчи ${ displaystyle F_ {n}}$ уменьшен по модулю ${ displaystyle p}$ , в результате периодическая последовательность (Минимальная) длина периода этой последовательности называется Период Пизано и обозначен ${ Displaystyle пи (р)}$ . С ${ displaystyle F_ {0} = 0}$ , следует, что п разделяет ${ Displaystyle F _ { pi (p)}}$ . Премьер п такой, что п² разделяет ${ Displaystyle F _ { pi (p)}}$ называется Стена – Солнце – Солнце премьер.

Эквивалентные определения

Если ${ Displaystyle альфа (м)}$ обозначает ранг появления по модулю ${ displaystyle m}$ (т.е. ${ Displaystyle альфа (м)}$ наименьший положительный индекс ${ displaystyle m}$ такой, что ${ displaystyle m}$ разделяет ${ Displaystyle F _ { alpha (m)}}$ ), то простое число Уолла – Солнца – Солнца эквивалентно определяется как простое число ${ displaystyle p}$ такой, что ${ displaystyle p ^ {2}}$ разделяет ${ displaystyle F _ { alpha (p)}}$ .

Для прайма п ≠ 2, 5, ранг явления ${ Displaystyle альфа (р)}$ известно делить ${ displaystyle p- left ({ tfrac {p} {5}} right)}$ , где Символ Лежандра ${ displaystyle textstyle left ({ frac {p} {5}} right)}$ имеет ценности

{ displaystyle left ({ frac {p} {5}} right) = { begin {cases} 1 & { text {if}} p Equiv pm 1 { pmod {5}}; -1 & { text {if}} p Equiv pm 2 { pmod {5}}. End {case}}}

Это наблюдение приводит к эквивалентной характеристике простых чисел Уолла – Солнца – Солнца как простых чисел. ${ displaystyle p}$ такой, что ${ displaystyle p ^ {2}}$ делит число Фибоначчи ${ Displaystyle F_ {p- left ({ frac {p} {5}} right)}}$ .^[1]

Премьер ${ displaystyle p}$ является простым числом Стены – Солнца – Солнца тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle пи (п ^ {2}) = пи (р)}$ .

Премьер ${ displaystyle p}$ является простым числом Стены – Солнца – Солнца тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle L_ {p} Equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}}$ , куда ${ displaystyle L_ {p}}$ это ${ displaystyle p}$ -й Число Лукаса.^[2]^:42

Макинтош и Рёттгер устанавливают несколько эквивалентных характеристик Простые числа Лукаса – Вифериха.^[3] В частности, пусть ${ displaystyle epsilon = left ({ tfrac {p} {5}} right)}$ ; то следующие эквиваленты:

${ Displaystyle F_ {p- epsilon} Equiv 0 { pmod {p ^ {2}}}}$
${ Displaystyle L_ {p- epsilon} Equ 2 epsilon { pmod {p ^ {4}}}}$
${ Displaystyle L_ {п- epsilon} Equ 2 epsilon { pmod {p ^ {3}}}}$
${ Displaystyle F_ {p} Equiv epsilon { pmod {p ^ {2}}}}$
${ Displaystyle L_ {p} Equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}}$

Существование

Нерешенная проблема в математике:

Существуют ли простые числа Стена – Солнце – Солнце? Если да, то их бесконечное количество?

(больше нерешенных задач по математике)

В исследовании периода Пизано ${ Displaystyle к (р)}$ , Дональд Дайнс Wall определили, что нет простых чисел Стена – Солнце – Солнце меньше, чем ${ displaystyle 10000}$ . В 1960 году он писал:^[4]

Наиболее сложная проблема, с которой мы столкнулись в этом исследовании, касается гипотезы ${ Displaystyle к (p ^ {2}) neq k (p)}$ . Мы провели тест на цифровом компьютере, который показывает, что ${ Displaystyle к (p ^ {2}) neq k (p)}$ для всех ${ displaystyle p}$ вплоть до ${ displaystyle 10000}$ ; однако мы не можем доказать, что ${ Displaystyle к (п ^ {2}) = к (р)}$ невозможно. Вопрос тесно связан с другим, может ли число ${ displaystyle x}$ иметь такой же мод порядка ${ displaystyle p}$ и мод ${ displaystyle p ^ {2}}$ ? ", в редких случаях дается утвердительный ответ (например, ${ displaystyle x = 3, p = 11}$ ; ${ displaystyle x = 2, p = 1093}$ ); следовательно, можно предположить, что равенство может выполняться для некоторых исключительных ${ displaystyle p}$ .

С тех пор было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Стена – Солнце – Солнце.^[5] По состоянию на март 2020 года отсутствуют простые числа Стена – Солнце – Солнце.^{[Обновить]}.

В 2007 году Ричард Дж. Макинтош и Эрик Л. Рёттгер показали, что если они существуют, то они должны быть> 2.×10¹⁴.^[3]Дорайс и Клив расширили этот диапазон до 9,7.×10¹⁴ не найдя такого прайма.^[6]

В декабре 2011 г. был начат очередной поиск PrimeGrid проект^[7], однако он был приостановлен в мае 2017 года.^[8]

История

Простые числа Стена – Солнце – Солнце названы в честь Дональд Дайнс Wall,^[4]^[9] Чжи Хун Сун и Чжи Вэй Сунь; З. Х. Сан и З. В. Сан показали в 1992 г., что если первый случай Последняя теорема Ферма был ложным для определенного прайма п, тогда п должно быть простое число Стена – Солнце – Солнце.^[10] В результате до Эндрю Уайлс Для доказательства последней теоремы Ферма поиск простых чисел Уолл – Солнце – Солнце был также поиском потенциального контрпример к этому многовековому догадка.

Обобщения

А трибоначчи – простое число Вифериха это прайм п удовлетворение час(п) = час(п²), куда час наименьшее натуральное число, удовлетворяющее [Т_час,Т_час+1,Т_час+2] ≡ [Т₀, Т₁, Т₂] (мод м) и Т_п обозначает п-й число трибоначчи. Простое число трибоначчи – Вифериха меньше 10 не существует.¹¹.^[11]

А Пелля – Вифериха простое это прайм п удовлетворение п² разделяет п_п−1, когда п конгруэнтно 1 или 7 (мод. 8), или п² разделяет п_п+1, когда п конгруэнтно 3 или 5 (мод. 8), где п_п обозначает п-й Число Пелла. Например, 13, 31 и 1546463 - простые числа Пелля – Вифериха, и никакие другие числа меньше 10⁹ (последовательность A238736 в OEIS ). Фактически, простые числа Пелля – Вифериха являются простыми числами 2-Стены – Солнца – Солнца.

Простые числа у стены – Солнце – Солнце

Премьер п такой, что ${ Displaystyle F_ {p- left ({ frac {p} {5}} right)} Equiv Ap { pmod {p ^ {2}}}}$ с маленьким |А| называется Пристенная – Солнце – Солнечное число.^[3] Штрихи Near-Wall – Sun – Sun с А = 0 будет простым числом Стена – Солнце – Солнце.

Простые числа Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D

Простые числа Стена – Солнце – Солнце можно рассматривать для поле ${ displaystyle Q _ { sqrt {D}}}$ с дискриминант D.Для обычных простых чисел Стена – Солнце – Солнце D = 5. В общем случае a Лукас – Виферих прайм п связана с (п, Q) является простым числом Вифериха с базой Q и простое число Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D = п² – 4Q.^[1] В этом определении простое число п должно быть нечетным и не делить D.

Предполагается, что для любого натурального числа D, существует бесконечно много простых чисел Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D.

Случай ${ Displaystyle (P, Q) = (к, -1)}$ соответствует k-Стена – Солнце – Солнце простые числа, для которых простые числа Уолла – Солнца – Солнца представляют собой частный случай k = 1. k-Стена – Солнце – Солнце простые числа могут быть явно определены как простые числа п такой, что п² разделяет k-Число Фибоначчи ${ Displaystyle F_ {k} ( pi _ {k} (p))}$ , куда F_k(п) = U_п(k, −1) является Последовательность Лукаса первого вида с дискриминантом D = k² + 4 и ${ displaystyle pi _ {k} (p)}$ период Пизано k-Числа Фибоначчи по модулю п.^[12] Для прайма п ≠ 2 и не делящийся D, это условие эквивалентно любому из следующих.

п² разделяет ${ displaystyle F_ {k} left (p- left ({ tfrac {D} {p}} right) right)}$ , куда ${ displaystyle left ({ tfrac {D} {p}} right)}$ это Символ Кронекера;
V_п(k, −1) ≡ k (мод п²), куда V_п(k, −1) - последовательность Люка второго рода.

Наименьший k-Стена – Солнце – Солнце простые числа для k = 2, 3, ... являются

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (последовательность A271782 в OEIS )

k	бесквадратная часть D (OEIS: A013946)	k-Стена – Солнце – Солнце простые числа	Примечания
1	5	...	Никто не известен.
2	2	13, 31, 1546463, ...
3	13	241, ...
4	5	2, 3, ...	Поскольку это второе значение k для которого D= 5, kПростые числа -Wall – Sun – Sun включают простые множители 2 * 2–1, которые не делят 5. Поскольку k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
5	29	3, 11, ...
6	10	191, 643, 134339, 25233137, ...
7	53	5, ...
8	17	2, ...	С k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
9	85	3, 204520559, ...
10	26	2683, 3967, 18587, ...
11	5	...	Поскольку это третье значение k для которого D= 5, kПростые числа -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 3–1, которые не делят 5.
12	37	2, 7, 89, 257, 631, ...	С k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
13	173	3, 227, 392893, ...
14	2	3, 13, 31, 1546463, ...	Поскольку это второе значение k для которого D= 2, kПростые числа -Стена – Солнце – Солнце включают простые делители 2 * 2-1, которые не делят 2.
15	229	29, 4253, ...
16	65	2, 1327, 8831, 569831, ...	С k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
17	293	1192625911, ...
18	82	3, 5, 11, 769, 256531, 624451181, ...
19	365	11, 233, 165083, ...
20	101	2, 7, 19301, ...	С k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
21	445	23, 31, 193, ...
22	122	3, 281, ...
23	533	3, 103, ...
24	145	2, 7, 11, 17, 37, 41, 1319, ...	С k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
25	629	5, 7, 2687, ...
26	170	79, ...
27	733	3, 1663, ...
28	197	2, 1431615389, ...	С k делится на 4, 2 является k-Стена – Солнце – Солнце премьер.
29	5	7, ...	Поскольку это четвертое значение k для которого D= 5, kПростые числа -Стена – Солнце – Солнце включают простые множители 2 * 4–1, которые не делят 5.
30	226	23, 1277, ...

D	Простые числа Уолла – Солнца – Солнца с дискриминантом D (проверено до 10⁹)	OEIS последовательность
1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)	A065091
2	13, 31, 1546463, ...	A238736
3	103, 2297860813, ...	A238490
4	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
5	...
6	(3), 7, 523, ...
7	...
8	13, 31, 1546463, ...
9	(3), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
10	191, 643, 134339, 25233137, ...
11	...
12	103, 2297860813, ...
13	241, ...
14	6707879, 93140353, ...
15	(3), 181, 1039, 2917, 2401457, ...
16	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
17	...
18	13, 31, 1546463, ...
19	79, 1271731, 13599893, 31352389, ...
20	...
21	46179311, ...
22	43, 73, 409, 28477, ...
23	7, 733, ...
24	7, 523, ...
25	3, (5), 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все нечетные простые числа)
26	2683, 3967, 18587, ...
27	103, 2297860813, ...
28	...
29	3, 11, ...
30	...

Смотрите также

дальнейшее чтение

Crandall, Ричард Э .; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива. Springer. п.29. ISBN 0-387-94777-9.
Саха, Арпан; Картик, К. С. (2011). «Несколько эквивалентностей гипотезы Уолла – Солнца – Солнца». arXiv:1102.1636 [math.NT ].

внешняя ссылка

[Elsenhans2010-1] а ^б В КАЧЕСТВЕ. Эльзенханс, Дж. Янель (2010). "Последовательность Фибоначчи по модулю п² - Компьютерное расследование п < 10¹⁴". arXiv:1006.0824 [math.NT ].

[2] Андреич, В. (2006). «О степенях Фибоначчи» (PDF). Univ. Beograd Publ. Электротехн. Фак. Сер. Мат. 17 (17): 38–44. Дои:10.2298 / PETF0617038A.

[McIntosh_Roettger-3] а ^б ^c McIntosh, R.J .; Рёттгер, Э. Л. (2007). "Поиск простых чисел Фибоначчи-Вифериха и Вольстенхольма" (PDF). Математика вычислений. 76 (260): 2087–2094. Bibcode:2007MaCom..76.2087M. Дои:10.1090 / S0025-5718-07-01955-2.

[Wall1960-4] а ^б Уолл, Д. Д. (1960), "Ряд Фибоначчи по модулю m", Американский математический ежемесячный журнал, 67 (6): 525–532, Дои:10.2307/2309169, JSTOR 2309169

[5] Клашка, Иржи (2007), "Краткое замечание о простых числах Фибоначчи-Вифериха", Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, 15 (1): 21–25.

[6] Dorais, F.G .; Кливе, Д. В. (2010). "Около простых чисел Вифериха до 6,7 × 10¹⁵" (PDF). Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[7] Проект Wall – Sun – Sun Prime Search в PrimeGrid

[8] [1] в PrimeGrid

[9] Crandall, R .; Дилчер, к .; Померанс, К. (1997). «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона». 66: 447. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[10] Сунь, Чжи-Хун; Сунь, Чжи-Вэй (1992), «Числа Фибоначчи и последняя теорема Ферма» (PDF), Acta Arithmetica, 60 (4): 371–388, Дои:10.4064 / aa-60-4-371-388

[11] Клашка, Иржи (2008). «Поиск простых чисел Трибоначчи – Вифериха». Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis. 16 (1): 15–20.

[12] С. Фалькон, А. Плаза (2009). "k-Последовательность Фибоначчи по модулю м". Хаос, солитоны и фракталы. 41 (1): 497–504. Bibcode:2009CSF .... 41..497F. Дои:10.1016 / j.chaos.2008.02.014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел