Рамануджан премьер - Ramanujan prime

Не путать с Число Харди – Рамануджана.

В математика, а Рамануджан премьер это простое число что удовлетворяет результату, доказанному Шриниваса Рамануджан относящийся к функция подсчета простых чисел.

Происхождение и определение

В 1919 году Рамануджан опубликовал новое доказательство Постулат Бертрана что, как он отмечает, впервые было доказано Чебышев.^[1] В конце опубликованной на двух страницах статьи Рамануджан вывел обобщенный результат, а именно:

${displaystyle pi (x)-pi left({frac {x}{2}}ight)geq 1,2,3,4,5,ldots { ext{ for all }}xgeq 2,11,17,29,41,ldots { ext{ respectively}}}$    OEIS: A104272

куда ${displaystyle pi (x)}$ это функция подсчета простых чисел, равное количеству простых чисел, меньших или равныхИкс.

Обратным к этому результату является определение простых чисел Рамануджана:

В п-е простое число Рамануджана - наименьшее целое число р_п для которого ${displaystyle pi (x)-pi (x/2)geq n,}$ для всех Икс ≥ р_п.^[2] Другими словами: простые числа Рамануджана - это наименьшие целые числа. р_п для которых есть как минимум п простые числа между Икс и Икс/ 2 для всех Икс ≥ р_п.

Таким образом, первые пять простых чисел Рамануджана равны 2, 11, 17, 29 и 41.

Обратите внимание, что целое число р_п обязательно простое число: ${displaystyle pi (x)-pi (x/2)}$ и поэтому, ${displaystyle pi (x)}$ должен увеличиться за счет получения другого простого числа в Икс = р_п. С ${displaystyle pi (x)-pi (x/2)}$ может увеличиваться не более чем на 1,

${displaystyle pi (R_{n})-pi left({frac {R_{n}}{2}}ight)=n.}$

Оценки и асимптотическая формула

Для всех ${displaystyle ngeq 1}$, границы

${displaystyle 2nln 2n<R_{n}<4nln 4n}$

держать. Если ${displaystyle n>1}$, то также

${displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$

куда п_п это пое простое число.

В качестве п стремится к бесконечности, р_п является асимптотический к 2п-е простое число, т.е.

р_п ~ п_2п (п → ∞).

Все эти результаты были доказаны Сондоу (2009),^[3] кроме верхней границы р_п < п_3п что было предположено им и доказано Лаишрамом (2010).^[4] Граница была улучшена Сондоу, Николсоном и Ноэ (2011).^[5] к

${displaystyle R_{n}leq {frac {41}{47}} p_{3n}}$

что является оптимальной формой р_п ≤ c · p_3п поскольку это равенство для п = 5.

Рекомендации

1. Рамануджан, С. (1919), «Доказательство постулата Бертрана», Журнал Индийского математического общества, 11: 181–182
2. Джонатан Сондоу. «Рамануджан Прайм». MathWorld.
3. Сондоу, Дж. (2009), «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана», Амер. Математика. Ежемесячно, 116 (7): 630–635, arXiv:0907.5232, Дои:10.4169 / 193009709x458609
4. Лаишрам, С. (2010), «О гипотезе о простых числах Рамануджана» (PDF), Международный журнал теории чисел, 6 (8): 1869–1873, CiteSeerX  10.1.1.639.4934, Дои:10.1142 / с1793042110003848.
5. Sondow, J .; Николсон, Дж .; Ноэ, Т. Д. (2011), «Простые числа Рамануджана: границы, пробеги, близнецы и пробелы» (PDF), Журнал целочисленных последовательностей, 14: 11.6.2, arXiv:1105.2249, Bibcode:2011arXiv1105.2249S