Число Вильямса - Williams number

В теория чисел, а База чисел Вильямса б это натуральное число формы ${ displaystyle (b-1) cdot b ^ {n} -1}$ для целых чисел б ≥ 2 и п ≥ 1.^[1] База чисел Уильямса 2 - это точно Числа Мерсенна.

Уильямс прайм

А Уильямс прайм это число Вильямса, которое основной. Их считали Хью К. Уильямс.^[2]

Наименее п ≥ 1 такое, что (б−1)·б^п - 1 простое число: (начинаются с б = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

б	числа п ≥ 1 такое, что (б−1)×б^п−1 простое число (эти п проверены до 25000)	OEIS последовательность
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...	A000043
3	1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, 1360104, ...	A003307
4	1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, ...	A272057
5	1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, 282989, 498483, 504221, 754611, 864751, ...	A046865
6	1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, ...	A079906
7	1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, ...	A046866
8	3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, ...	A268061
9	1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, ...	A268356
10	1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, 1009567, ...	A056725
11	1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, 263893, ...	A046867
12	1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961, ...	A079907
13	2, 7, 11, 36, 164, 216, 302, 311, 455, 738, 1107, 2244, 3326, 4878, 8067, 46466, ...	A297348
14	1, 3, 5, 27, 35, 165, 209, 2351, 11277, 21807, 25453, 52443, ...	A273523
15	14, 33, 43, 20885, ...
16	1, 20, 29, 43, 56, 251, 25985, 27031, 142195, 164066, ...
17	1, 3, 71, 139, 265, 793, 1729, 18069, ...
18	2, 6, 26, 79, 91, 96, 416, 554, 1910, 4968, ...
19	6, 9, 20, 43, 174, 273, 428, 1388, ...
20	1, 219, 223, 3659, ...
21	1, 2, 7, 24, 31, 60, 230, 307, 750, 1131, 1665, 1827, 8673, ...
22	1, 2, 5, 19, 141, 302, 337, 4746, 5759, 16530, ...
23	55, 103, 115, 131, 535, 1183, 9683, ...
24	12, 18, 63, 153, 221, 1256, 13116, 15593, ...
25	1, 5, 7, 30, 75, 371, 383, 609, 819, 855, 7130, 7827, 9368, ...
26	133, 205, 215, 1649, ...
27	1, 3, 5, 13, 15, 31, 55, 151, 259, 479, 734, 1775, 2078, 6159, 6393, 9013, ...
28	20, 1091, 5747, 6770, ...
29	1, 7, 11, 57, 69, 235, 16487, ...
30	2, 83, 566, 938, 1934, 2323, 3032, 7889, 8353, 9899, 11785, ...

По состоянию на сентябрь 2018 г.^{[Обновить]}, наибольшее известное основание 3 простых чисел Вильямса равно 2 × 3^1360104−1.^[3]

Обобщение

А Основание числа Вильямса второго рода б это натуральное число формы ${ displaystyle (b-1) cdot b ^ {n} +1}$ для целых чисел б ≥ 2 и п ≥ 1, а Прайм Уильямса второго рода является простым числом Вильямса второго рода. Простые числа Вильямса второго рода с основанием 2 - это в точности Простые числа Ферма.

Наименее п ≥ 1 такое, что (б−1)·б^п + 1 простое число: (начинаются с б = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, .. . (последовательность A305531 в OEIS )

б	числа п ≥ 1 такое, что (б−1)×б^п+1 простое (эти п проверены до 25000)	OEIS последовательность
2	1, 2, 4, 8, 16, ...
3	1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232, ...	A003306
4	1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, 17175, 21147, 24075, 27396, 27591, 40095, 354984, 400989, 916248, 1145805, 2541153, 5414673, ...	A326655
5	2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538, ...	A204322
6	1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086, ...	A247260
7	1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572, ...	A245241
8	2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254, ...	A269544
9	1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930, ...	A056799
10	3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240, ...	A056797
11	10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602, ...	A057462
12	3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799, ...	A251259
13	1, 2, 4, 21, 34, 48, 53, 160, 198, 417, 773, 1220, 5361, 6138, 15557, 18098, ...
14	2, 40, 402, 1070, 6840, ...
15	1, 3, 4, 9, 11, 14, 23, 122, 141, 591, 2115, 2398, 2783, 3692, 3748, 10996, 16504, ...
16	1, 3, 11, 12, 28, 42, 225, 702, 782, 972, 1701, 1848, 8556, 8565, 10847, 12111, 75122, 183600, 307400, 342107, 416936, ...
17	4, 20, 320, 736, 2388, 3344, 8140, ...
18	1, 6, 9, 12, 22, 30, 102, 154, 600, ...
19	29, 32, 59, 65, 303, 1697, 5358, 9048, ...
20	14, 18, 20, 38, 108, 150, 640, 8244, ...
21	1, 2, 3, 4, 12, 17, 38, 54, 56, 123, 165, 876, 1110, 1178, 2465, 3738, 7092, 8756, 15537, 19254, 24712, ...
22	1, 9, 53, 261, 1491, 2120, 2592, 6665, 9460, 15412, 24449, ...
23	14, 62, 84, 8322, 9396, 10496, 24936, ...
24	2, 4, 9, 42, 47, 54, 89, 102, 118, 269, 273, 316, 698, 1872, 2126, 22272, ...
25	1, 4, 162, 1359, 2620, ...
26	2, 18, 100, 1178, 1196, 16644, ...
27	4, 5, 167, 408, 416, 701, 707, 1811, 3268, 3508, 7020, 7623, 16449, ...
28	1, 2, 136, 154, 524, 1234, 2150, 2368, 7222, 10082, 14510, 16928, ...
29	2, 4, 6, 44, 334, 24714, ...
30	4, 5, 9, 18, 71, 124, 165, 172, 888, 2218, 3852, 17871, 23262, ...

По состоянию на сентябрь 2018 г.^{[Обновить]}, наибольшее известное простое число Вильямса второго рода с основанием 3 равно 2 × 3^1175232+1.^[4]

А Число Вильямса основания третьего типа б это натуральное число формы ${ Displaystyle (b + 1) cdot b ^ {n} -1}$ для целых чисел б ≥ 2 и п ≥ 1 числа Вильямса третьего рода с основанием 2 - это в точности Числа Табита. А Прайм Уильямса третьего рода - число Вильямса третьего вида, простое.

А Число Вильямса четвертого рода базы б это натуральное число формы ${ Displaystyle (Ь + 1) CDOT Ь ^ {п} +1}$ для целых чисел б ≥ 2 и п ≥ 1, а Прайм Уильямса четвертого типа является простым числом Вильямса четвертого рода, таких простых чисел не существует для ${ Displaystyle б эквив 1 { bmod {3}}}$ .

б	числа п такой, что ${ Displaystyle (b + 1) cdot b ^ {n} -1}$ премьер	числа п такой, что ${ Displaystyle (Ь + 1) CDOT Ь ^ {п} +1}$ премьер
2	OEIS: A002235	OEIS: A002253
3	OEIS: A005540	OEIS: A005537
5	OEIS: A257790	OEIS: A143279
10	OEIS: A111391	(не существует)

Предполагается, что для каждого б ≥ 2, существует бесконечно много простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) с основанием б, бесконечно много простых чисел Вильямса второго рода б, и бесконечно много простых чисел Вильямса третьего рода с основанием б. Кроме того, если б не = 1 mod 3, то существует бесконечно много простых чисел Вильямса с основанием четвертого рода б.

Двойная форма

Если мы позволим п принять отрицательные значения и выбрать числитель чисел, то мы получим эти числа:

Двойные числа Вильямса основания первого рода б: числа формы ${ displaystyle b ^ {n} - (b-1)}$ с б ≥ 2 и п ≥ 1.

Двойные числа Вильямса основания второго рода б: числа формы ${ displaystyle b ^ {n} + (b-1)}$ с б ≥ 2 и п ≥ 1.

Двойные числа Вильямса третьего рода базы б: числа формы ${ displaystyle b ^ {n} - (b + 1)}$ с б ≥ 2 и п ≥ 1.

Двойные числа Вильямса четвертого рода базы б: числа формы ${ Displaystyle Ь ^ {п} + (Ь + 1)}$ с б ≥ 2 и п ≥ 1. (не существует, когда б = 1 мод 3)

В отличие от исходных простых чисел Вильямса каждого вида, некоторые большие двойные простые числа Вильямса каждого вида являются только вероятные простые числа, поскольку для этих простых чисел N, ни один N−1 нет N+1 можно тривиально записать в продукт.

б	числа п такой, что ${ displaystyle b ^ {n} - (b-1)}$ является (вероятным) простым (двойственные простые числа Вильямса первого рода)	числа п такой, что ${ displaystyle b ^ {n} + (b-1)}$ является (вероятным) простым (двойственные простые числа Вильямса второго рода)	числа п такой, что ${ displaystyle b ^ {n} - (b + 1)}$ является (вероятным) простым (двойственные простые числа Вильямса третьего рода)	числа п такой, что ${ Displaystyle Ь ^ {п} + (Ь + 1)}$ является (вероятным) простым (двойственные простые числа Вильямса четвертого рода)
2	OEIS: A000043	(видеть Ферма Прайм )	OEIS: A050414	OEIS: A057732
3	OEIS: A014224	OEIS: A051783	OEIS: A058959	OEIS: A058958
4	OEIS: A059266	OEIS: A089437	OEIS: A217348	(не существует)
5	OEIS: A059613	OEIS: A124621	OEIS: A165701	OEIS: A089142
6	OEIS: A059614	OEIS: A145106	OEIS: A217352	OEIS: A217351
7	OEIS: A191469	OEIS: A217130	OEIS: A217131	(не существует)
8	OEIS: A217380	OEIS: A217381	OEIS: A217383	OEIS: A217382
9	OEIS: A177093	OEIS: A217385	OEIS: A217493	OEIS: A217492
10	OEIS: A095714	OEIS: A088275	OEIS: A092767	(не существует)

(для наименьших двойных простых чисел Вильямса 1-го, 2-го и 3-го родов б, видеть OEIS: A113516, OEIS: A076845 и OEIS: A178250)

Предполагается, что для каждого б ≥ 2, существует бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) с базой б, бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса второго рода б, и бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса третьего рода с основанием б. Кроме того, если б не = 1 mod 3, то существует бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса с основанием четвертого рода б.

Смотрите также

Номер Табита, что и есть число Вильямса третьего рода с основанием 2

внешняя ссылка

[1] Простые числа Вильямса

[2] См. Таблицу 1 на последней странице документа: Уильямс, Х. (1981). "Простота некоторых целых чисел формы 2 А р^п – 1". Acta Arith. 39: 7–17. Дои:10.4064 / aa-39-1-7-17.

[3] База данных Prime: 2 · 3^1360104 − 1

[4] База данных Prime: 2 · 3^1175232 + 1

[1]

[2]

[3]

[4]

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейна простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел