Простой набор из k - Prime k-tuple

В теория чисел, а основной kпара конечный набор значений, представляющий повторяющийся образец различий между простые числа. Для k-температура (а, б, ...), позиции, в которых k-tuple соответствует шаблону в простых числах, заданных набором целых чисел п такие, что все значения (п + а, п + б, ...) простые. Обычно первое значение в k-набор равен 0, а остальные различные положительные четные числа.^[1]

Именованные шаблоны

Несколько самых коротких k-кортежи известны под другими общими именами:

(0, 2)	простые числа-близнецы
(0, 4)	кузен простые
(0, 6)	сексуальные простые
(0, 2, 6), (0, 4, 6)	простые тройни
(0, 6, 12)	сексуальные простые тройни
(0, 2, 6, 8)	первоклассные четверки, лучшее десятилетие
(0, 6, 12, 18)	сексуальные первоклассные четверня
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)	пятикратные простые числа
(0, 4, 6, 10, 12, 16)	шестнадцать простых чисел

OEIS последовательность OEIS: A257124 покрывает семерки (первоклассные семерки) и содержит обзор связанных последовательностей, например три последовательности, соответствующие трем допустимый 8-кортежи (простые восьмерки) и объединение всех 8-кортежей. Первый член в этих последовательностях соответствует первому простому числу в наименьшем главное созвездие показано ниже.

Допустимость

Для того, чтобы k-набор, чтобы иметь бесконечно много позиций, в которых все его значения простые, не может быть простого п так что кортеж включает в себя все возможные значения по модулю п. Ведь если такое простое п существовало, то независимо от того, какое значение п было выбрано одно из значений, образованное добавлением п в кортеж делится нап, поэтому простых мест размещения может быть только конечное число (только те, которые включают п сам). Например, числа в k-tuple не может принимать все три значения 0, 1 и 2 по модулю 3; в противном случае результирующие числа всегда будут включать число, кратное 3, и поэтому не все могут быть простыми, если одно из чисел само не равно 3. А k-набор, удовлетворяющий этому условию (т.е. не имеющий п для которого он охватывает все различные значения по модулюп) называется допустимый.

Предполагается, что каждое допустимое k-tuple соответствует бесконечному количеству позиций в последовательности простых чисел. Однако не существует допустимого набора, для которого это доказано, кроме 1-набор (0). Тем не менее, по Итан Чжан из известного доказательства 2013 года следует, что существует хотя бы один 2-кортеж, который соответствует бесконечному количеству позиций; последующая работа показала, что существует некоторый кортеж из 2-х элементов, значения которого отличаются на 246 или меньше, что соответствует бесконечному количеству позиций.^[2]

Позиции, соответствующие недопустимым шаблонам

Хотя (0, 2, 4) недопустимо, он дает единственный набор простых чисел (3, 5, 7).

Некоторые недопустимые k-элементы имеют более одного решения, состоящего из простых чисел. Этого не может произойти k-tuple, который включает в себя все значения по модулю 3, поэтому для этого свойства a k-tuple должен охватывать все значения по модулю большего простого числа, что означает, что в кортеже есть как минимум пять чисел. Кратчайший недопустимый набор с более чем одним решением - это набор из 5 (0, 2, 8, 14, 26), который имеет два решения: (3, 5, 11, 17, 29) и (5, 7, 13, 19, 31), где все сравнения (mod 5) включены в обоих случаях.

Основные созвездия

В диаметр из k-tuple - это разница между наибольшим и наименьшим его элементами. Допустимое простое число k-пара с минимально возможным диаметром d (среди всех допустимых k-tuples) является главное созвездие. Для всех п ≥ k это всегда будет давать последовательные простые числа.^[3] (Помните, что все п - целые числа, для которых значения (п + а, п + б, ...) простые.)

Это означает, что для больших п:

п_{п + к-1} − п_п ≥ d

куда п_п это пй премьер.

Первые несколько основных созвездий:

k	d	Созвездие	самый маленький^[4]
2	2	(0, 2)	(3, 5)
3	6	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)
4	8	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)
5	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)
6	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)
7	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
8	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
9	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

Диаметр d как функция k является последовательность A008407 в OEIS.

Первое созвездие иногда называют основной k-тюплет, но некоторые авторы резервируют этот термин для случаев, которые не входят в k-корочки.

В первая гипотеза Харди – Литтлвуда предсказывает, что может быть вычислена асимптотическая частота любого простого созвездия. Хотя это предположение не доказано, оно считается правдой. Если это так, это означает, что Вторая гипотеза Харди – Литтлвуда, напротив, ложно.

Простые арифметические прогрессии

Премьер k-набор вида (0, п, 2п, 3п, ..., (k−1)п) называется простая арифметическая прогрессия. Для того, чтобы такой k-набор, чтобы соответствовать критерию допустимости, n должно быть кратным первобытный из k.^[5]

Числа Skewes

В Наклоняет числа для простых k-кортежей являются расширением определения Число Скьюза к простые k-кортежи на основе первая гипотеза Харди-Литтлвуда (Тот (2019) ). Позволять ${displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$ обозначим простой набор из k, ${displaystyle pi _ {P} (x)}$ количество простых чисел ${displaystyle p}$ ниже ${displaystyle x}$ такой, что ${displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$ все простые, пусть ${displaystyle operatorname {li_ {P}} (x) = int _ {2} ^ {x} {frac {dt} {(ln t) ^ {k + 1}}}}$ и разреши ${displaystyle C_ {P}}$ обозначим ее постоянную Харди-Литтлвуда (см. первая гипотеза Харди-Литтлвуда ). Тогда первое простое число ${displaystyle p}$ что нарушает неравенство Харди-Литтлвуда для k-набора ${displaystyle P}$ , т.е. такие, что

{displaystyle pi _ {P} (p)> C_ {P} имя оператора {li} _ {P} (p),}

(если такое простое число существует) является Число перекосов для ${displaystyle P}$ .

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюза для простых k-кортежей:

Простой набор из k	Число перекосов	Найдено
(п, п+2)	1369391	Волк (2011)
(п, п+4)	5206837	Тот (2019)
(п, п+2, п+6)	87613571	Тот (2019)
(п, п+4, п+6)	337867	Тот (2019)
(п, п+2, п+6, п+8)	1172531	Тот (2019)
(п, п+4, п+6, п+10)	827929093	Тот (2019)
(п, п+2, п+6, п+8, п+12)	21432401	Тот (2019)
(п, п+4, п+6, п+10, п+12)	216646267	Тот (2019)
(п, п+4, п+6, п+10, п+12, п+16)	251331775687	Тот (2019)

Число Skewes (если есть) для сексуальные простые ${displaystyle (p, p + 6)}$ пока неизвестно.

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел