Перестановочный простой - Permutable prime

Перестановочный простой
Нет. известных терминов	20[требуется проверка ][нужна цитата ]
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
Первые триместры	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199
Самый большой известный термин	(10270343-1)/9
OEIS индекс	A258706; Абсолютные простые числа: каждая перестановка цифр является простым числом (показаны только самые маленькие представители классов перестановок);

А перестановочное простое число, также известный как анаграмматическое простое число, это простое число который в данном основание, может переключать положение цифр через любой перестановка и по-прежнему быть простым числом. Х. Э. Рихерт, который якобы первым изучил эти простые числа, назвал их перестановочными простыми числами,^[1] но позже их еще называли абсолютные простые числа.^[2]

В база 10, известны все перестановочные простые числа, длина которых меньше 49 081 цифр.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, р₁₉ (1111111111111111111), R₂₃, Р₃₁₇, Р₁₀₃₁, ... (последовательность A003459 в OEIS )

Из вышеперечисленного существует 16 уникальных наборов перестановок с наименьшими элементами

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, р₁₉, Р₂₃, Р₃₁₇, Р₁₀₃₁, ... (последовательность A258706 в OEIS )

Примечание R_п = ${ displaystyle { tfrac {10 ^ {n} -1} {9}}}$ это объединить, число, состоящее только из п единицы (в база 10 ). Любой объединить прайм является перестановочным простым числом с указанным выше определением, но некоторые определения требуют как минимум двух различных цифр.^[3]

Все перестановочные простые числа из двух или более цифр состоят из цифр 1, 3, 7, 9, потому что ни одно простое число, кроме 2, не является четным, и никакое простое число, кроме 5, не делится на 5. Это доказано^[4] что не существует перестановочного простого числа, которое содержит три различных из четырех цифр 1, 3, 7, 9, а также что не существует перестановочного простого числа, состоящего из двух или более каждой из двух цифр, выбранных из 1, 3, 7, 9.

Здесь нет пперестановочное простое число для 3 < п < 6·10¹⁷⁵ который не является повторным объединением.^[1] это предполагаемый что нет никаких неповторяемых перестановочных простых чисел, кроме перечисленных выше.

В базе 2 только повторные единицы могут быть перестановочными простыми числами, потому что любой 0, переставляемый в единицу, дает четное число. Следовательно, перестановочные простые числа с основанием 2 являются Простые числа Мерсенна. Можно смело сделать обобщение, что для любого позиционная система счисления, перестановочные простые числа с более чем одной цифрой могут иметь только цифры, которые совмещать с основание системы счисления. Однозначные числа, означающие любое простое число ниже системы счисления, всегда тривиально перестановочны.

В база 12, известны наименьшие элементы уникальных наборов перестановок перестановочных простых чисел с менее чем 9739 цифрами (с использованием перевернутых двух и трех для десяти и одиннадцати, соответственно)

2, 3, 5, 7, Ɛ, R₂, 15, 57, 5Ɛ, R₃, 117, 11Ɛ, 555Ɛ, R₅, Р₁₇, Р₈₁, Р₉₁, Р₂₂₅, Р₂₅₅, Р_{4 ᘔ 5}, ...

Здесь нет п-значное перестановочное простое число в базе 12 для 4 < п < 12¹⁴⁴ который не является повторным объединением. Предполагается, что не существует перестановочных простых чисел с основанием 12, отличных от перечисленных выше.

В основаниях 10 и 12 каждое перестановочное простое число является повторной единицей или почти повторяющейся цифрой, то есть это перестановка целого числа п(б, п, Икс, у) = хххх...xxxy_б (п цифры в базе б)куда Икс и у цифры, которые взаимно просты с б. Помимо, Икс и у также должны быть взаимно простыми (поскольку если есть простое число п разделяет оба Икс и у, тогда п также делит число), поэтому, если Икс = у, тогда Икс = у = 1. (Это верно не для всех баз, но исключения редки и могут быть конечными в любой данной базе; единственные исключения ниже 10⁹ в базах до 20: 139₁₁, 36А₁₁, 247₁₃, 78А₁₃, 29E₁₉ (М. Фиорентини, 2015).)

Позволять п(б, п, Икс, у) - перестановочное простое число в базе б и разреши п быть таким простым, что п ≥ п. Если б это первобытный корень из п, и п не разделяет Икс или |Икс - у|, тогда п кратно п - 1. (Поскольку б это примитивный корневой мод п и п не делит |Икс − у|, п числа хххх...xxxy, хххх...xxyx, хххх...xyxx, ..., хххх...xyxx...хххх (только б^п−2 цифра у, другие все Икс), хххх...yxxx...хххх (только б^п−1 цифра у, другие все Икс), хххх...хххх (в повторять с п Иксs) мод п все разные. То есть один - 0, другой - 1, третий - 2, ..., третий - п - 1. Таким образом, начиная с первого п - 1 числа все простые числа, последнее число (повторная цифра с п Иксs) должен делиться на п. С п не разделяет Икс, так п должен разделить объединение с п 1с. С б это примитивный корневой мод п, мультипликативный порядок п мод п является п - 1. Таким образом, п должен делиться на п − 1)

Таким образом, если б = 10, цифры, взаимно простые с 10, равны {1, 3, 7, 9}. Поскольку 10 является примитивным корнем по модулю 7, поэтому, если п ≥ 7, то либо 7 делит Икс (в этом случае, Икс = 7, поскольку Икс ∈ {1, 3, 7, 9}) или |Икс − у| (в этом случае, Икс = у = 1, поскольку Икс, у ∈ {1, 3, 7, 9}. То есть прайм - это репюнит) или п делится на 7 - 1 = 6. Аналогично, поскольку 10 является примитивным корнем по модулю 17, поэтому, если п ≥ 17, то либо 17 делит Икс (невозможно, так как Икс ∈ {1, 3, 7, 9}) или |Икс − у| (в этом случае, Икс = у = 1, поскольку Икс, у ∈ {1, 3, 7, 9}. То есть премьер - это репюнит) или п делится на 17 - 1 = 16. Кроме того, 10 также является примитивным корнем по модулю 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193,. .., так п ≥ 17 очень невозможно (так как для этого простого числа п, если п ≥ п, тогда п делится на п - 1), а если 7 ≤ п <17, то Икс = 7 или п делится на 6 (единственно возможное п равно 12). Если б = 12, цифры, взаимно простые с 12, равны {1, 5, 7, 11}. Поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 5, поэтому, если п ≥ 5, то либо 5 делит Икс (в этом случае, Икс = 5, поскольку Икс ∈ {1, 5, 7, 11}) или |Икс − у| (в этом случае либо Икс = у = 1 (то есть простое число - это повторное объединение) или Икс = 1, у = 11 или Икс = 11, у = 1, поскольку Икс, у ∈ {1, 5, 7, 11}.) Или п делится на 5 - 1 = 4. Аналогично, поскольку 12 - примитивный корень по модулю 7, поэтому, если п ≥ 7, то либо 7 делит Икс (в этом случае, Икс = 7, поскольку Икс ∈ {1, 5, 7, 11}) или |Икс − у| (в этом случае, Икс = у = 1, поскольку Икс, у ∈ {1, 5, 7, 11}. То есть прайм - это репюнит) или п делится на 7 - 1 = 6. Аналогично, поскольку 12 является примитивным корнем по модулю 17, поэтому, если п ≥ 17, то либо 17 делит Икс (невозможно, так как Икс ∈ {1, 5, 7, 11}) или |Икс − у| (в этом случае, Икс = у = 1, поскольку Икс, у ∈ {1, 5, 7, 11}. То есть прайм - это репюнит) или п делится на 17 - 1 = 16. Кроме того, 12 также является примитивным корнем по модулю 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197 , ..., так п ≥ 17 очень невозможно (так как для этих простых чисел п, если п ≥ п, тогда п делится на п - 1), а если 7 ≤ п <17, то Икс = 7 (в данном случае, поскольку 5 не делит Икс или же Икс − у, так п должно делиться на 4) или п делится на 6 (единственно возможное п равно 12).

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел

Нет. известных терминов	20^{[требуется проверка ]}^{[нужна цитата ]}
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
Первые триместры	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199
Самый большой известный термин	(10²⁷⁰³⁴³-1)/9
OEIS индекс	A258706 Абсолютные простые числа: каждая перестановка цифр является простым числом (показаны только самые маленькие представители классов перестановок)

Перестановочный простой - Permutable prime

Рекомендации