Простое число Пифагора - Pythagorean prime

«Число Пифагора» перенаправляется сюда. Об инварианте поля, связанном с суммами квадратов, см. Число Пифагора.
Простое число Пифагора 5 и его квадратный корень являются гипотенузами прямоугольные треугольники с целыми ногами. Формулы показывают, как преобразовать любой прямоугольный треугольник с целыми катетами в другой прямоугольный треугольник с целыми катетами, гипотенуза которого является квадратом гипотенузы первого треугольника.

А Простое число Пифагора это простое число формы 4п + 1. Пифагоровы простые числа - это в точности нечетные простые числа, являющиеся суммой двух квадратов; эта характеристика Теорема Ферма о суммах двух квадратов.

Эквивалентно теорема Пифагора, это нечетные простые числа п для которого √п это длина гипотенуза из прямоугольный треугольник с целыми ногами, и они также являются простыми числами п для которого п сама по себе гипотенуза примитивного Пифагоров треугольник. Например, число 5 - простое число Пифагора; √5 - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, а сама 5 - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Ценности и плотность

Первые несколько простых чисел Пифагора

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, ... (последовательность A002144 в OEIS ).

К Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях, эта последовательность бесконечна. Сильнее, для каждого п, числа пифагорейских и непифагоровых простых чисел до п примерно равны. Однако количество простых пифагоровых чисел до п часто несколько меньше, чем число непифагоровых простых чисел; это явление известно как Предвзятость Чебышева.[1]Например, единственные значения п до 600000, для которых больше пифагорейских, чем непифагоровых нечетных простых чисел, меньших или равных n, составляют 26861 и 26862.[2]

Представление в виде суммы двух квадратов

Сумма одного нечетного квадрата и одного четного квадрата конгруэнтна 1 по модулю 4, но существуют составные числа например, 21, которые равны 1 по модулю 4, но не могут быть представлены в виде суммы двух квадратов.Теорема Ферма о суммах двух квадратов заявляет, что простые числа которые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, равных точно 2, а нечетные простые числа конгруэнтны 1 по модулю 4.[3] Представление каждого такого числа уникально с точностью до порядка двух квадратов.[4]

Используя теорема Пифагора, это представление можно интерпретировать геометрически: простые числа Пифагора - это в точности нечетные простые числа п такой, что существует прямоугольный треугольник, с целыми ножками, у которых гипотенуза имеет длину √п. Это также в точности простые числа п такой, что существует прямоугольный треугольник с целыми сторонами, гипотенуза которого имеет длину п. Ведь если треугольник с ножками Икс и у имеет длину гипотенузы √п (с Икс > у), то треугольник с катетами Икс2 − у2 и 2ху имеет длину гипотенузып.[5]

Другой способ понять это представление как сумму двух квадратов включает Гауссовские целые числа, то сложные числа чья действительная и мнимая части являются целыми числами.[6]Норма гауссовского целого числа Икс + йи это номер Икс2 + у2Таким образом, простые числа Пифагора (и 2) встречаются как нормы целых чисел Гаусса, в то время как другие простые числа - нет. В целых числах Гаусса простые числа Пифагора не считаются простыми числами, поскольку их можно разложить на множители как

п = (Икс + йи)(Икс − йи).

Точно так же их квадраты можно разложить на множители иначе, чем их целочисленная факторизация, в качестве

п2 = (Икс + йи)2(Икс − йи)2 = (Икс2 − у2 + 2хуи)(Икс2 − у2 − 2хуи).

Действительная и мнимая части множителей в этих факторизациях представляют собой длины катетов прямоугольных треугольников, имеющих заданные гипотенузы.

Квадратичные вычеты

Закон квадратичная взаимность говорит, что если п и q - различные нечетные простые числа, по крайней мере одно из которых пифагорово, то п это квадратичный вычет мод q если и только если q является квадратичным модулем вычета п; напротив, если ни один п ни q пифагорейский, то п является квадратичным модулем вычета q если и только если q является нет квадратичный мод вычетовп.[7]

в конечное поле Z/п с участием п простое число Пифагора, полиномиальное уравнение Икс2 = −1 имеет два решения. Это можно выразить, сказав, что −1 - квадратичный вычет по модулю п. Напротив, это уравнение не имеет решения в конечных полях Z/п где п - нечетное простое число, но не пифагорово.[8]

Граф Пэли с 13 вершинами

Для каждого пифагорейского простого числа п, существует Граф Пэли с участием п вершины, представляющие числа по модулюп, с двумя соседними числами в графе тогда и только тогда, когда их разность является квадратичным вычетом. Это определение создает одно и то же отношение смежности независимо от порядка, в котором два числа вычитаются для вычисления их разности, из-за свойства простых чисел Пифагора, что -1 является квадратичным остатком.[9]

Рекомендации

  1. ^ Рубинштейн, Майкл; Сарнак, Петр (1994), «Чебышевский уклон», Экспериментальная математика, 3 (3): 173–197, Дои:10.1080/10586458.1994.10504289.
  2. ^ Гранвиль, Эндрю; Мартин, Грег (январь 2006 г.). "Гонки на простое число" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 113 (1): 1--33. Дои:10.2307/27641834. JSTOR  27641834.
  3. ^ Стюарт, Ян (2008), Почему красота - это правда: история симметрии, Основные книги, стр. 264, ISBN  9780465082377.
  4. ^ Левек, Уильям Джадсон (1996), Основы теории чисел, Дувр, стр. 183, г. ISBN  9780486689067.
  5. ^ Стиллвелл, Джон (2003), Элементы теории чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 112, ISBN  9780387955872.
  6. ^ Мазур, Барри (2010), «Алгебраические числа [IV.I]», в Гауэрс, Тимоти (ред.), Принстонский компаньон математики, Princeton University Press, стр. 315–332, ISBN  9781400830398 См., В частности, раздел 9 «Представления простых чисел двоичными квадратичными формами», п. 325.
  7. ^ Левек (1996), п. 103.
  8. ^ Левек (1996), п. 100.
  9. ^ Чунг, Фан Р. К. (1997), Теория спектральных графов, Серия региональных конференций CBMS, 92, Американское математическое общество, стр. 97–98, ISBN  9780821889367.

внешняя ссылка