Чебышевский уклон - Chebyshevs bias

В теория чисел, Предвзятость Чебышева явление, что большую часть времени есть больше простые числа формы 4k + 3, чем в форме 4k +1, до того же лимита. Это явление впервые наблюдал Чебышев в 1853 г.

Описание

Пусть π (Икс; п, м) обозначают количество простых чисел вида нк + м вплоть доИкс. Посредством теорема о простых числах (распространяется на арифметическая прогрессия ),

${\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.}$

То есть половина простых чисел имеет вид 4k + 1, а половина формы 4k + 3. Разумным предположением было бы, что π (Икс; 4, 1)> π (Икс; 4, 3) и π (Икс; 4, 1) <π (Икс; 4, 3) каждый из них также встречается в 50% случаев. Это, однако, не подтверждается численными данными - фактически, π (Икс; 4, 3)> π (Икс; 4, 1) встречается гораздо чаще. Например, это неравенство выполняется для всех простых чисел Икс <26833, кроме 5, 17, 41 и 461, для которых π (Икс; 4, 1) = π (Икс; 4, 3). Первый премьер Икс такое, что π (Икс; 4, 1)> π (Икс; 4, 3) равно 26861, то есть π (Икс; 4, 3) ≥ π (Икс; 4, 1) для всех простых чисел Икс < 26861.

В общем, если 0 <а, б < п целые числа, НОД (а, п) = НОД (б, п) = 1, а это квадратичный вычет мод п, б является квадратичным модулем невычетов п, то π (Икс; п, б)> π (Икс; п, а) встречается чаще, чем нет. Это было доказано только путем предположения сильных форм Гипотеза Римана. Более сильная гипотеза Кнаповского и Туран, что плотность номеровИкс для которого π (Икс; 4, 3)> π (Икс; 4, 1) имеет значение 1 (т. Е. Выполнено для почти все Икс), оказалось ложным. Однако у них есть логарифмическая плотность, что составляет примерно 0,9959 ....^[1]

Обобщения

Это для k = −4, чтобы найти наименьшее простое число п такой, что ${\displaystyle \sum _{q\leq p,\ q\ {\text{is prime}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0}$ (куда ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)}$ это символ кронекера ), однако для данного ненулевого целого числа k (не только k = −4), мы также можем найти наименьшее простое число п удовлетворяющие этому условию. По теореме о простых числах для любого ненулевого целого числа k, простых чисел бесконечно много п удовлетворяющие этому условию.

Для положительных целых чисел k = 1, 2, 3, ..., наименьшие простые числа п находятся

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (OEIS: A306499 является подпоследовательностью, так как k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... OEIS: A003658)

Для отрицательных целых чисел k = −1, −2, −3, ..., наименьшие простые числа п находятся

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (OEIS: A306500 является подпоследовательностью, так как k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ... OEIS: A003657)

Для каждого (положительного или отрицательного) неквадратный целое число k, есть еще простые числа п с ${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=-1}$ чем с ${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=1}$ (до того же предела) чаще всего. Если сильные формы гипотезы Римана верны.

Расширение до более высокой остаточной мощности

Позволять м и п быть целыми числами, такими что м≥0, п> 0, НОД (м, п) = 1, определим функция ${\displaystyle f(m,n)=\sum _{p\ {\text{is}}\ {\text{prime}},\ p\mid \phi (n),\ x^{p}\equiv m{\text{(mod n) has a solution}}}\left({\frac {1}{p}}\right)}$, куда ${\displaystyle \phi }$ это Функция Эйлера.

Например, ж(1, 5) = ж(4, 5) = 1/2, ж(2, 5) = ж(3, 5) = 0, ж(1, 6) = 1/2, ж(5, 6) = 0, ж(1, 7) = 5/6, ж(2, 7) = ж(4, 7) = 1/2, ж(3, 7) = ж(5, 7) = 0, ж(6, 7) = 1/3, ж(1, 8) = 1/2, ж(3, 8) = ж(5, 8) = ж(7, 8) = 0, ж(1, 9) = 5/6, ж(2, 9) = ж(5, 9) = 0, ж(4, 9) = ж(7, 9) = 1/2, ж(8, 9) = 1/3.

Предполагается, что если 0 <а, б < п целые числа, НОД (а, п) = НОД (б, п) = 1, ж(а, п) > ж(б, п), то π (Икс; п, б)> π (Икс; п, а) встречается чаще, чем нет.

Рекомендации

1. (Рубинштейн — Сарнак, 1994)

• П.Л. Чебышев: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4п + 1 и 4п + 3, Бык. Classe Phys. Акад. Imp. Sci. Санкт-Петербург, 11 (1853), 208.
• Гранвиль, Эндрю; Мартин, Грег (2006). «Гонки на простое число». Амер. Математика. Ежемесячно. 113: 1–33. JSTOR  27641834.
• Я. Качоровский: О распределении простых чисел (mod 4), Анализ, 15 (1995), 159–171.
• С. Кнаповский, Turan: Сравнительная теория простых чисел, I, Acta Math. Акад. Sci. Подвешенный., 13 (1962), 299–314.
• Рубинштейн, М .; Сарнак, П. (1994). «Чебышевский уклон». Экспериментальная математика. 3: 173–197. Дои:10.1080/10586458.1994.10504289.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Чебышевский уклон". MathWorld.
• (последовательность A007350 в OEIS ) (где простая раса 4n + 1 против 4n + 3 меняет лидера)
• (последовательность A007352 в OEIS ) (где основная гонка 3n + 1 против 3n + 2 меняет лидера)