Константа Миллса - Mills constant

В теория чисел, Постоянная Миллса определяется как наименьшее положительное настоящий номер А так что функция пола из двойная экспоненциальная функция

{ displaystyle lfloor A ^ {3 ^ {n}} rfloor}

это простое число для всех натуральные числа п. Эта константа названа в честь Уильям Х. Миллс который доказал в 1947 г. существование А по результатам Гвидо Хохейзель и Альберт Ингхэм на основные промежутки.Его значение неизвестно, но если Гипотеза Римана верно, это примерно 1.3063778838630806904686144926 ... (последовательность A051021 в OEIS ).

Простые числа Миллса

Простые числа, порождаемые константой Миллса, известны как простые числа Миллса; если гипотеза Римана верна, последовательность начинается

{ displaystyle 2,11,1361,2521008887,16022236204009818131831320183,4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, ldots}

(последовательность A051254 в OEIS ).

Если а_я обозначает я^th простое число в этой последовательности, то а_я может быть вычислено как наименьшее простое число, большее чем ${ Displaystyle а_ {я-1} ^ {3}}$ . Чтобы обеспечить округление ${ displaystyle A ^ {3 ^ {n}}}$ , за п = 1, 2, 3,…, производит эту последовательность простых чисел, это должно быть так, что ${ Displaystyle а_ {я} <(а_ {я-1} +1) ^ {3}}$ . Результаты Хохейзеля – Ингама гарантируют, что существует простое число между любыми двумя достаточно большими числа куба, что достаточно для доказательства этого неравенства, если мы начнем с достаточно большого первого простого числа ${ displaystyle a_ {1}}$ . Гипотеза Римана подразумевает, что между любыми двумя последовательными кубами существует простое число, что позволяет достаточно большой условие, которое необходимо удалить, и позволяя последовательности простых чисел Миллса начинаться с а₁ = 2.

Для всех а> ${ displaystyle e ^ {e ^ {34}}}$ , между ${ displaystyle a ^ {3}}$ и ${ displaystyle (а + 1) ^ {3}}$ (Дудек 2016 ). Эта верхняя граница слишком велика, чтобы ее можно было использовать на практике, поскольку невозможно проверить каждое число ниже этого числа. Однако значение константы Миллса можно проверить, вычислив первое простое число в последовательности, которое больше этого числа.

По состоянию на апрель 2017 года 11-е число в последовательности является самым большим из всех доказано основной. это

{ Displaystyle Displaystyle ((((((((2 ^ {3} +3) ^ {3} +30) ^ {3} +6) ^ {3} +80) ^ {3} +12) ^ {3} +450) ^ {3} +894) ^ {3} +3636) ^ {3} +70756) ^ {3} +97220}

и имеет 20562 цифры (Колдуэлл 2006 ).

По состоянию на 2015 год^{[Обновить]}, крупнейшие известные мельницы вероятный основной (согласно гипотезе Римана)

{ Displaystyle Displaystyle (((((((((((2 ^ {3} +3) ^ {3} +30) ^ {3} +6) ^ {3} +80) ^ {3} +12) ^ {3} +450) ^ {3} +894) ^ {3} +3636) ^ {3} +70756) ^ {3} +97220) ^ {3} +66768) ^ {3} + 300840) ^ {3} +1623568}

(последовательность A108739 в OEIS ), который состоит из 555 154 цифр.

Численный расчет

Вычисляя последовательность простых чисел Миллса, можно аппроксимировать постоянную Миллса как

{ displaystyle A приблизительно a (n) ^ {1/3 ^ {n}}.}

Колдуэлл и Ченг (2005) использовал этот метод для вычисления 6850 десятичных разрядов постоянной Миллса в предположении, что Гипотеза Римана правда. Для постоянной Миллса не известна формула в замкнутой форме, и даже неизвестно, является ли это число рациональный (Финч 2003 ). Если это рационально, и если мы можем вычислить его десятичное разложение до точки, где оно повторяется, это позволит нам сгенерировать бесконечно много доказуемых простых чисел.

Дробные представления

Ниже приведены дроби, которые приблизительно соответствуют постоянной Миллса, перечисленные в порядке увеличения точности (с подходящие дроби с непрерывной дробью жирным шрифтом) (последовательность A123561 в OEIS ):

1/1, 3/2, 4/3, 9/7, 13/10, 17/13, 47/36, 64/49, 81/62, 145/111, 226/173, 307/235, 840/643, 1147/878, 3134/2399, 4281/3277, 5428/4155, 6575/5033, 12003/9188, 221482/169539, 233485/178727, 245488/187915, 257491/197103, 269494/206291, 281497/215479, 293500/224667, 305503/233855, 317506/243043, 329509/252231, 341512/261419, 353515/270607, 365518/279795, 377521/288983, 389524/298171, 401527/307359, 413530/316547, 425533/325735, 4692866/3592273, 5118399/3918008, 5543932/4243743, 5969465/4569478, 6394998/4895213, 6820531/5220948, 7246064/5546683,7671597/5872418, 8097130/6198153, 8522663/6523888, 8948196/6849623, 9373729/7175358, 27695654/21200339, 37069383/28375697, 46443112/35551055, 148703065/113828523, 195146177/149379578, 241589289/184930633, 436735466/334310211, 1115060221/853551055, 1551795687/1187861266, 1988531153/1522171477, 3540326840/2710032743, 33414737247/25578155953, ...

Обобщения

В среднем показателе экспоненты 3 нет ничего особенного. Можно произвести аналогичные генераторы простых чисел. функции для разных значений среднего показателя степени. Фактически, для любого действительного числа выше 2,106 ... можно найти другую константу А это будет работать с этим средним показателем, чтобы всегда производить простые числа. Более того, если Гипотеза Лежандра верно, средний показатель степени можно заменить значением 2 (Уоррен мл. 2013 ) (последовательность A059784 в OEIS ).

Матомяки безоговорочно показал (не предполагая гипотезы Лежандра) существование (возможно, большой) постоянной А такой, что ${ displaystyle lfloor A ^ {2 ^ {n}} rfloor}$ главное для всех п (Matomäki 2010 ).

Вдобавок Тот доказал, что нижнюю функцию в формуле можно заменить на функция потолка, так что существует постоянная ${ displaystyle B}$ такой, что

{ displaystyle lceil B ^ {r ^ {n}} rceil}

также является простым представителем для ${ displaystyle r> 2,106 ldots}$ (Всего 2017 ).

В случае ${ displaystyle r = 3}$ , значение постоянной ${ displaystyle B}$ начинается с 1.24055470525201424067 ... Первые несколько сгенерированных простых чисел:

{ displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269, ldots}

Смотрите также

Формула для простых чисел

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Константа Миллса". MathWorld.
Кто помнит число Миллса?, Э. Ковальский.
Потрясающая постоянная простого числа, Numberphile.

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейна простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел