Полный репенд прайм - Full reptend prime

В теория чисел, а полный репенд прайм, полное повторение прайма, правильный прайм^[1]:166 или же длинный прайм в основание б это странно простое число п так что Коэффициент Ферма

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(куда п не разделять б) дает циклическое число. Таким образом, цифровая экспансия ${\displaystyle 1/p}$ в базе б повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно, как это делает ${\displaystyle a/p}$ с вращением цифр для любых а от 1 до п - 1. Циклическое число, соответствующее простому числу п будет обладать п - 1 цифра если и только если п - это прайм с полным повторением. Это мультипликативный порядок ord_п б = п - 1, что эквивалентно б быть первобытный корень по модулю п.

Термин «длинное прайм» использовался Джон Конвей и Ричард Гай в их Книга чисел. Как ни странно, в OEIS Слоана эти простые числа называются «циклическими числами».

База 10

База 10 можно предположить, если не указано основание, и в этом случае расширение числа называется повторяющаяся десятичная дробь. В базе 10, если простое число с полным повторением заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении такое же количество раз, что и каждая другая цифра.^[1]:166 (Для таких простых чисел в базе 10 см. OEIS: A073761. Фактически в базе б, если простое число с полным повторением заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., б−1 появляется в повторении такое же количество раз, что и каждая другая цифра, но такого простого числа не существует, когда б = 12, поскольку каждое простое число с полным повторением база 12 оканчивается цифрой 5 или 7 в том же основании. Обычно такого простого числа не существует, когда б является конгруэнтный до 0 или 1 по модулю 4.

Ценности п меньше 1000, для которых эта формула дает циклические числа в десятичном виде:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811 , 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ... (последовательность A001913 в OEIS )

Например, случай б = 10, п = 7 дает циклическое число 142857; таким образом, 7 - простое число с полным повторением. Кроме того, 1, разделенная на 7, записанная в базе 10, дает 0,142857 142857 142857 142857 ...

Не все значения п даст циклическое число по этой формуле; Например п = 13 дает 076923 076923. Эти неудачные случаи всегда будут содержать повторение цифр (возможно, нескольких) в течение п - 1 цифра.

Известный образец этой последовательности исходит из алгебраическая теория чисел, в частности, эта последовательность представляет собой набор простых чисел p таких, что 10 является примитивный корень по модулю p. Гипотеза Артина о первобытных корнях состоит в том, что эта последовательность содержит 37,395 ..% простых чисел.

Паттерны появления простых чисел с полным повторением

Передовой модульная арифметика может показать, что любое простое число из следующих форм:

1. 40k + 1
2. 40k + 3
3. 40k + 9
4. 40k + 13
5. 40k + 27
6. 40k + 31
7. 40k + 37
8. 40k + 39

может никогда быть полным повторяющимся простым числом с основанием 10. Первые простые числа этих форм с их периодами:

40k + 1	40k + 3	40k + 9	40k + 13	40k + 27	40k + 31	40k + 37	40k + 39
41 период 5	3 период 1	89 период 44	13 период 6	67 период 33	31 период 15	37 период 3	79 период 13
241 период 30	43 период 21	409 период 204	53 период 13	107 период 53	71 период 35	157 период 78	199 период 99
281 период 28	83 период 41	449 период 32	173 период 43	227 период 113	151 период 75	197 период 98	239 период 7
401 период 200	163 период 81	569 период 284	293 период 146	307 период 153	191 период 95	277 период 69	359 период 179
521 период 52	283 период 141	769 период 192	373 период 186	347 период 173	271 период 5	317 период 79	439 период 219
601 период 300	443 период 221	809 период 202	613 период 51	467 период 233	311 период 155	397 период 99	479 период 239

Однако исследования показывают, что две третьих простых чисел вида 40k + п, куда п ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} - простые числа с полным повторением. Для некоторых последовательностей преобладание простых чисел с полным повторением намного больше. Например, 285 из 295 простых чисел формы 120k + 23 ниже 100000 - простые числа с полным повторением, причем 20903 - первое число с неполным повторением.

Бинарные простые числа с полным повторением

В база 2, полные простые числа повторения: (менее 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (последовательность A001122 в OEIS )

Для этих простых чисел 2 является первобытный корень по модулю п, так что 2^п по модулю п может быть любым натуральным числом от 1 до п − 1.

${\displaystyle a(i)=2^{i}~{\bmod {p}}~{\bmod {2}}}$

Эти последовательности периода п - 1 имеют автокорреляционную функцию, которая имеет отрицательный пик -1 для сдвига ${\displaystyle (p-1)/2}$. Случайность этих последовательностей была исследована стойкие испытания.^[2]

Все они формы 8k + 3 или 8k + 5, потому что если п = 8k +1 или 8k + 7, то 2 - это квадратичный вычет по модулю п, так п разделяет ${\displaystyle 2^{(p-1)/2}-1}$, а период ${\displaystyle 1/p}$ в базе 2 необходимо разделить ${\displaystyle (p-1)/2}$ и не может быть п - 1, поэтому они не являются простыми числами с полным повторением в основании 2.

Далее все безопасные простые числа конгруэнтно 3 (mod 8) - простые числа с полным повторением в основании 2. Например, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307, 1523, 1619, 1907 и др. (Менее 2000)

Двоичные последовательности простых чисел с полным повторением (также называемые десятичными последовательностями максимальной длины) нашли применение в криптографии и кодировании с исправлением ошибок.^[3] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби с основанием 2, что приводит к двоичным последовательностям. Двоичная последовательность максимальной длины для ${\displaystyle 1/p}$ (когда 2 - примитивный корень из п) дан кем-то:^[4]

Ниже приведен список периодов (в двоичном формате) простых чисел, конгруэнтных 1 или 7 (модификация 8): (менее 1000)

8k + 1	17	41	73	89	97	113	137	193	233	241	257	281	313	337	353	401	409	433	449	457	521	569
период	8	20	9	11	48	28	68	96	29	24	16	70	156	21	88	200	204	72	224	76	260	284
8k + 1	577	593	601	617	641	673	761	769	809	857	881	929	937	953	977	1009	1033	1049	1097	1129	1153	1193
период	144	148	25	154	64	48	380	384	404	428	55	464	117	68	488	504	258	262	274	564	288	298
8k + 7	7	23	31	47	71	79	103	127	151	167	191	199	223	239	263	271	311	359	367	383	431	439
период	3	11	5	23	35	39	51	7	15	83	95	99	37	119	131	135	155	179	183	191	43	73
8k + 7	463	479	487	503	599	607	631	647	719	727	743	751	823	839	863	887	911	919	967	983	991	1031
период	231	239	243	251	299	303	45	323	359	121	371	375	411	419	431	443	91	153	483	491	495	515

Никто из них - бинарные простые числа с полным повторением.

Бинарный период пй премьер

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 60, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 96, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, 50, 16, 131, 268, 135, 92, 70, 94, 292, 102, 155, 156, 316, 30, 21, 346, 348, 88, 179, 183, 372, 378, 191, 388, 44, ... (эта последовательность начинается с п = 2 или простое число = 3) (последовательность A014664 в OEIS )

Уровень двоичного периода пй премьер

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 2, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 18, 1, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 3, 8, 2, 10, 5, 16, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 11, 16, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 10, 6, 6, 1, 2, 6, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, .. . (последовательность A001917 в OEIS )

Однако исследования показывают, что три четверти простых чисел вида 8k+п, где n ∈ {3, 5} - простые числа с полным повторением в базе 2 (например, есть 87 простых чисел ниже 1000, конгруэнтных 3 или 5 (по модулю 8), и 67 из них полностью повторяются в базе 2, это всего 77%). Для некоторых последовательностей преобладание простых чисел с полным повторением намного больше. Например, 1078 из 1206 простых чисел формы 24k+5 ниже 100000 - простые числа с полным повторением в базе 2, причем 1013 - это первое число, которое не является полным повторением в базе 2.

п-й уровень reptend prime

An п-й уровень reptend prime это прайм п имея п различные циклы в расширении ${\displaystyle {\frac {k}{p}}}$ (k целое число, 1 ≤ k ≤ п−1). В базе 10 наименьшее п-го уровня репенд простыми являются

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931, 9161, 118901, 6763, 18233, 1409, 88741, 4003, 5171, 19489, 86143, 23201, ... (последовательность A054471 в OEIS )

В базе 2 наименьшее п-го уровня репенд простыми являются

3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 601, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 11161, 13099, 1103, 71293, 13121, 17467, 2143, 83077, 25609, 5581, 5153, 26227, 2113, 51941, 2351, ... (последовательность A101208 в OEIS )

п	ппростые числа (в десятичной системе)	OEIS последовательность
1	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, ...	A006883
2	3, 13, 31, 43, 67, 71, 83, 89, 107, 151, 157, 163, 191, 197, 199, 227, 283, 293, 307, 311, 347, 359, 373, 401, 409, 431, 439, 443, 467, 479, 523, 557, 563, 569, 587, 599, ...	A275081
3	103, 127, 139, 331, 349, 421, 457, 463, 607, 661, 673, 691, 739, 829, 967, 1657, 1669, 1699, 1753, 1993, 2011, 2131, 2287, 2647, 2659, 2749, 2953, 3217, 3229, 3583, 3691, 3697, 3739, 3793, 3823, 3931, ...	A055628
4	53, 173, 277, 317, 397, 769, 773, 797, 809, 853, 1009, 1013, 1093, 1493, 1613, 1637, 1693, 1721, 2129, 2213, 2333, 2477, 2521, 2557, 2729, 2797, 2837, 3329, 3373, 3517, 3637, 3733, 3797, 3853, 3877, ...	A056157
5	11, 251, 1061, 1451, 1901, 1931, 2381, 3181, 3491, 3851, 4621, 4861, 5261, 6101, 6491, 6581, 6781, 7331, 8101, 9941, 10331, 10771, 11251, 11261, 11411, 12301, 14051, 14221, 14411, ...	A056210
6	79, 547, 643, 751, 907, 997, 1201, 1213, 1237, 1249, 1483, 1489, 1627, 1723, 1747, 1831, 1879, 1987, 2053, 2551, 2683, 3049, 3253, 3319, 3613, 3919, 4159, 4507, 4519, 4801, 4813, 4831, 4969, ...	A056211
7	211, 617, 1499, 2087, 2857, 6007, 6469, 7127, 7211, 7589, 9661, 10193, 13259, 13553, 14771, 18047, 18257, 19937, 20903, 21379, 23549, 26153, 27259, 27539, 32299, 33181, 33461, 34847, 35491, 35897, ...	A056212
8	41, 241, 1601, 1609, 2441, 2969, 3041, 3449, 3929, 4001, 4409, 5009, 6089, 6521, 6841, 8161, 8329, 8609, 9001, 9041, 9929, 13001, 13241, 14081, 14929, 16001, 16481, 17489, 17881, 18121, 19001, ...	A056213
9	73, 1423, 1459, 2377, 2503, 3457, 7741, 9433, 10891, 10909, 16057, 17299, 17623, 20269, 21313, 22699, 24103, 26263, 28621, 28927, 29629, 30817, 32257, 34273, 34327, ...	A056214
10	281, 521, 1031, 1951, 2281, 2311, 2591, 3671, 5471, 5711, 6791, 7481, 8111, 8681, 8761, 9281, 9551, 10601, 11321, 12401, 13151, 13591, 14831, 14951, 15671, 16111, 16361, 18671, ...	A056215
п	ппростые числа повторения (в двоичном формате)	OEIS последовательность
1	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, ...	A001122
2	7, 17, 23, 41, 47, 71, 79, 97, 103, 137, 167, 191, 193, 199, 239, 263, 271, 311, 313, 359, 367, 383, 401, 409, 449, 463, 479, 487, 503, 521, 569, 599, 607, 647, 719, 743, 751, 761, 769, ...	A115591
3	43, 109, 157, 229, 277, 283, 307, 499, 643, 691, 733, 739, 811, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, 1459, 1579, 1597, 1627, 1699, 1723, 1789, 1933, 2179, 2203, 2251, 2341, 2347, 2749, 2917, ...	A001133
4	113, 281, 353, 577, 593, 617, 1033, 1049, 1097, 1153, 1193, 1201, 1481, 1601, 1889, 2129, 2273, 2393, 2473, 3049, 3089, 3137, 3217, 3313, 3529, 3673, 3833, 4001, 4217, 4289, 4457, 4801, 4817, 4937, ...	A001134
5	251, 571, 971, 1181, 1811, 2011, 2381, 2411, 3221, 3251, 3301, 3821, 4211, 4861, 4931, 5021, 5381, 5861, 6221, 6571, 6581, 8461, 8501, 9091, 9461, 10061, 10211, 10781, 11251, 11701, 11941, 12541, ...	A001135
6	31, 223, 433, 439, 457, 727, 919, 1327, 1399, 1423, 1471, 1831, 1999, 2017, 2287, 2383, 2671, 2767, 2791, 2953, 3271, 3343, 3457, 3463, 3607, 3631, 3823, 3889, 4129, 4423, 4519, 4567, 4663, 4729, 4759, ...	A001136
7	1163, 1709, 2003, 3109, 3389, 3739, 5237, 5531, 5867, 7309, 9157, 9829, 10627, 10739, 11117, 11243, 11299, 11411, 11467, 13259, 18803, 20147, 20483, 21323, 21757, 27749, 27763, 29947, ...	A152307
8	73, 89, 233, 937, 1217, 1249, 1289, 1433, 1553, 1609, 1721, 1913, 2441, 2969, 3257, 3449, 4049, 4201, 4273, 4297, 4409, 4481, 4993, 5081, 5297, 5689, 6089, 6449, 6481, 6689, 6857, 7121, 7529, 7993, ...	A152308
9	397, 7867, 10243, 10333, 12853, 13789, 14149, 14293, 14563, 15643, 17659, 18379, 18541, 21277, 21997, 23059, 23203, 26731, 27739, 29179, 29683, 31771, 34147, 35461, 35803, 36541, 37747, 39979, ...	A152309
10	151, 241, 431, 641, 911, 3881, 4751, 4871, 5441, 5471, 5641, 5711, 6791, 6871, 8831, 9041, 9431, 10711, 12721, 13751, 14071, 14431, 14591, 15551, 16631, 16871, 17231, 17681, 17791, 18401, 19031, 19471, ...	A152310

Простые числа с полным повторением в различных базах

Артин также предположил:

• Существует бесконечно много простых чисел с полным повторением во всех базисах, кроме квадраты.
• Простые числа с полным повторением во всех основаниях, кроме совершенные силы и числа, чьи свободный от квадратов части конгруэнтны 1 по модулю 4, составляют 37,395 ...% всех простых чисел. (Видеть OEIS: A085397)

Основание	Простые числа с полным повторением	OEIS последовательность
−36	11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 151, 167, 179, 199, 211, 223, 227, 251, 263, 271, 283, ...	A105908
−35	2, 19, 23, 37, 41, 53, 59, 61, 67, 89, 101, 107, 127, 131, 137, 139, 163, 197, 199, 229, 233, 241, 251, 263, ...	A105907
−34	3, 41, 47, 53, 73, 101, 107, 113, 127, 131, 149, 151, 157, 163, 191, 193, 227, 233, 239, 241, 263, 283, 293, ...	A105906
−33	2, 5, 13, 53, 67, 73, 83, 89, 103, 107, 113, 131, 137, 163, 167, 199, 227, 239, 257, 263, 269, 317, 337, 347, ...	A105905
−32	5, 7, 13, 23, 29, 37, 47, 53, 79, 103, 149, 167, 173, 197, 199, 239, 263, 269, 293, 317, 349, 359, 367, 373, ...	A105904
−31	2, 3, 11, 17, 23, 29, 43, 53, 61, 73, 79, 83, 89, 127, 137, 139, 151, 167, 179, 197, 199, 223, 229, 239, 241, ...	A105903
−30	7, 41, 61, 83, 89, 107, 109, 127, 139, 173, 193, 197, 211, 227, 239, 281, 293, 311, 317, 331, 347, 349, 359, ...	A105902
−29	2, 17, 23, 41, 59, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 113, 137, 139, 167, 179, 199, 223, 227, 229, 239, 269, ...	A105901
−28	3, 5, 13, 17, 19, 31, 41, 47, 59, 73, 83, 89, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 181, 227, 229, 251, 257, 269, 283, ...	A105900
−27	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	A105875
−26	11, 23, 29, 41, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 127, 137, 157, 163, 173, 191, 193, 199, 227, 263, ...	A105898
−25	2, 3, 7, 11, 19, 23, 43, 47, 59, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 151, 167, 179, 223, 227, 239, 263, 283, 307, 311, ...	A105897
−24	13, 17, 19, 37, 41, 43, 47, 71, 89, 109, 113, 137, 139, 157, 163, 167, 181, 191, 211, 229, 233, 257, 263, 277, ...	A105896
−23	2, 5, 7, 17, 19, 43, 67, 83, 89, 97, 107, 113, 137, 149, 181, 191, 199, 227, 229, 251, 263, 281, 283, 293, 337, ...	A105895
−22	3, 5, 17, 37, 41, 53, 59, 151, 167, 179, 193, 233, 251, 263, 269, 271, 281, 317, 337, 359, 379, 389, 397, 409, ...	A105894
−21	2, 29, 47, 53, 59, 67, 83, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 167, 181, 197, 227, 233, 251, 281, 311, 313, ...	A105893
−20	11, 13, 17, 31, 37, 53, 59, 73, 79, 113, 131, 137, 139, 157, 173, 179, 191, 199, 211, 233, 239, 257, 271, 277, ...	A105892
−19	2, 3, 13, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 89, 103, 107, 113, 167, 173, 179, 193, 223, 227, 257, 269, 281, ...	A105891
−18	5, 7, 23, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 71, 101, 103, 109, 127, 149, 151, 157, 167, 173, 181, 191, 197, 223, 239, ...	A105890
−17	2, 5, 19, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 83, 97, 103, 113, 127, 151, 173, 179, 191, 193, 197, 233, 239, 251, 263, ...	A105889
−16	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	A105876
−15	2, 11, 13, 29, 37, 41, 43, 59, 71, 73, 89, 97, 101, 103, 127, 131, 149, 157, 163, 179, 191, 193, 239, 251, 269, ...	A105887
−14	11, 17, 29, 31, 43, 47, 53, 73, 89, 97, 107, 109, 149, 163, 167, 179, 199, 241, 257, 271, 277, 311, 313, 317, ...	A105886
−13	2, 3, 5, 23, 37, 41, 43, 73, 79, 89, 97, 107, 109, 127, 131, 137, 139, 149, 179, 191, 197, 199, 241, 251, 263, ...	A105885
−12	5, 17, 23, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 239, 251, 257, ...	A105884
−11	2, 7, 13, 17, 29, 41, 73, 79, 83, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173, 197, 227, 233, 239, 263, ...	A105883
−10	3, 17, 29, 31, 43, 61, 67, 71, 83, 97, 107, 109, 113, 149, 151, 163, 181, 191, 193, 199, 227, 229, 233, 257, ...	A007348
−9	2, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 107, 127, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, ...	A105881
−8	5, 23, 29, 47, 53, 71, 101, 149, 167, 173, 191, 197, 239, 263, 269, 293, 311, 317, 359, 383, 389, 461, 479, ...	A105880
−7	2, 3, 5, 13, 17, 31, 41, 47, 59, 61, 83, 89, 97, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 199, 227, 229, 241, 251, 257, ...	A105879
−6	13, 17, 19, 23, 41, 47, 61, 67, 71, 89, 109, 113, 137, 157, 167, 211, 229, 233, 257, 263, 277, 283, 331, 359, ...	A105878
−5	2, 11, 17, 19, 37, 53, 59, 73, 79, 97, 113, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 193, 197, 233, 239, 257, 277, ...	A105877
−4	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	A105876
−3	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	A105875
−2	5, 7, 13, 23, 29, 37, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 149, 167, 173, 181, 191, 197, 199, 239, 263, 269, 271, 293, ...	A105874
2	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, ...	A001122
3	2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, ...	A019334
4	(никто)
5	2, 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97, 103, 107, 113, 137, 157, 167, 173, 193, 197, 223, 227, 233, 257, ...	A019335
6	11, 13, 17, 41, 59, 61, 79, 83, 89, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 151, 157, 179, 199, 223, 227, 229, 233, ...	A019336
7	2, 5, 11, 13, 17, 23, 41, 61, 67, 71, 79, 89, 97, 101, 107, 127, 151, 163, 173, 179, 211, 229, 239, 241, 257, ...	A019337
8	3, 5, 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 149, 173, 179, 197, 227, 269, 293, 317, 347, 389, 419, 443, 461, 467, ...	A019338
9	2 (других нет)
10	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, ...	A001913
11	2, 3, 13, 17, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 101, 103, 109, 149, 163, 173, 179, 197, 223, 233, 251, 277, ...	A019339
12	5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, ...	A019340
13	2, 5, 11, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 109, 137, 149, 151, 167, 197, 227, 239, 241, 281, 293, ...	A019341
14	3, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 73, 83, 89, 97, 109, 127, 131, 149, 151, 227, 239, 241, 251, 257, 263, 277, 283, 307, ...	A019342
15	2, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 139, 149, 151, 157, 167, 193, 199, 227, 263, 269, 271, ...	A019343
16	(никто)
17	2, 3, 5, 7, 11, 23, 31, 37, 41, 61, 97, 107, 113, 131, 139, 167, 173, 193, 197, 211, 227, 233, 269, 277, 283, ...	A019344
18	5, 11, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 109, 139, 149, 157, 163, 173, 179, 181, 197, 227, 251, 269, ...	A019345
19	2, 7, 11, 13, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 83, 89, 113, 139, 163, 173, 191, 193, 239, 251, 257, 263, 269, 281, ...	A019346
20	3, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 103, 107, 113, 137, 157, 163, 167, 173, 223, 227, 233, 257, 263, 277, ...	A019347
21	2, 19, 23, 29, 31, 53, 71, 97, 103, 107, 113, 137, 139, 149, 157, 179, 181, 191, 197, 223, 233, 239, 263, 271, ...	A019348
22	5, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 71, 83, 107, 131, 139, 191, 193, 199, 211, 223, 227, 233, 269, 281, 283, 307, ...	A019349
23	2, 3, 5, 17, 47, 59, 89, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 167, 179, 181, 223, 229, 281, 293, 307, 311, 337, 347, ...	A019350
24	7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 59, 83, 89, 107, 109, 113, 137, 157, 179, 181, 223, 227, 229, 233, 251, 257, 277, ...	A019351
25	2 (других нет)
26	3, 7, 29, 41, 43, 47, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 107, 131, 137, 139, 157, 167, 173, 179, 193, 239, 251, 269, 271, ...	A019352
27	2, 5, 17, 29, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269, 281, 293, 317, 353, 389, 401, 449, 461, 509, ...	A019353
28	5, 11, 13, 17, 23, 41, 43, 67, 71, 73, 79, 89, 101, 107, 173, 179, 181, 191, 229, 257, 263, 269, 293, 313, 331, ...	A019354
29	2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 47, 73, 79, 89, 97, 101, 113, 127, 131, 137, 163, 191, 211, 229, 251, 263, 269, 293, ...	A019355
30	11, 23, 41, 43, 47, 59, 61, 79, 89, 109, 131, 151, 167, 173, 179, 193, 197, 199, 251, 263, 281, 293, 307, 317, ...	A019356
31	2, 7, 17, 29, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 89, 107, 131, 137, 197, 227, 229, 241, 269, 277, 283, 307, 311, 313, ...	A019357
32	3, 5, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 67, 83, 107, 139, 149, 163, 173, 179, 197, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, ...	A019358
33	2, 5, 7, 13, 19, 23, 43, 47, 53, 59, 71, 73, 89, 113, 137, 179, 191, 251, 257, 269, 311, 317, 337, 349, 353, 383, ...	A019359
34	19, 23, 31, 41, 43, 53, 59, 67, 73, 79, 83, 101, 113, 149, 157, 167, 179, 193, 199, 233, 241, 251, 293, 311, 313, ...	A019360
35	2, 3, 11, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 83, 89, 101, 103, 137, 151, 167, 179, 191, 197, 211, 223, 227, 229, 233, 239, ...	A019361
36	(никто)

Наименьшие простые числа с полным повторением в базе п являются (0, если такого простого числа не существует)

2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 0, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 19, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 11, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 19, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 19, 2, 5, 2, 3, 2, 13, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 3, 2, 0, ... (последовательность A056619 в OEIS )

Смотрите также

• Повторяющаяся десятичная дробь

Рекомендации

1. Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, Том 1, Chelsea Public. Co.
2. Беллами, Дж. "Случайность D-последовательностей посредством жесткого тестирования". 2013. arXiv:1312.3618
3. Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». IEEE Transactions по теории информации, т. ИТ-27, стр. 647-652, сентябрь 1981 г.
4. Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с помощью d-последовательностей». IEEE Trans. На компьютерах, т. С-34, стр. 803-809, 1985.

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Артина». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Полный Рептенд Прайм". MathWorld.
• Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К.. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996.
• Фрэнсис, Ричард Л .; «Математические стога сена: новый взгляд на числа повторного объединения»; в Математический журнал колледжа, Vol. 19, № 3. (май 1988 г.), стр. 240–246.