Гипотеза Артинса о первобытных корнях - Artins conjecture on primitive roots

На этой странице обсуждается гипотеза Эмиля Артина о первобытных корнях. По поводу гипотезы Артина о L-функциях см. L-функция Артина.

В теория чисел, Гипотеза Артина о первобытных корнях заявляет, что данный целое число а это ни идеальный квадрат ни −1 не является первобытный корень по модулю бесконечно много простые числа п. В догадка также приписывает асимптотическая плотность к этим простым числам. Эта предполагаемая плотность равна постоянной Артина или рациональный кратное им.

Гипотеза была сделана Эмиль Артин к Хельмут Хассе 27 сентября 1927 г., согласно дневнику последнего. Гипотеза до сих пор не решена по состоянию на 2020 год. Фактически, не существует единого значения а для чего гипотеза Артина доказана.

Формулировка

Позволять а быть целым числом, не являющимся квадратом и не равным -1. Написать а = а₀б² с а₀ без квадратов. Обозначим через S(а) множество простых чисел п такой, что а примитивный корень по модулю п. Тогда гипотеза утверждает

1. S(а) имеет положительную асимптотическую плотность внутри множества простых чисел. Особенно, S(а) бесконечно.
2. В условиях, когда а это не идеальная сила и это а₀ не является конгруэнтный до 1 по модулю 4 (последовательность A085397 в OEIS ) эта плотность не зависит от а и равно Постоянная Артина, который можно выразить как бесконечное произведение

   ${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ \mathrm {prime} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.3739558136\ldots }$ (последовательность A005596 в OEIS ).

Формулы аналогичных предположительных произведений^[1]существуют для плотности, когда а не удовлетворяет указанным выше условиям. В этих случаях предполагаемая плотность всегда рационально кратно C_Артин.

Пример

Например, возьмите а = 2. Гипотеза утверждает, что множество простых чисел п для которого 2 является примитивным корнем, имеет указанную выше плотность C_Артин. Набор таких простых чисел равен (последовательность A001122 в OEIS )

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Он состоит из 38 элементов меньше 500 и 95 простых чисел меньше 500. Отношение (которое предположительно стремится к C_Артин) составляет 38/95 = 2/5 = 0,4.

Частичные результаты

В 1967 г. Кристофер Хули опубликовал условное доказательство для гипотезы, предполагая некоторые случаи обобщенная гипотеза Римана.^[2]

Без обобщенной гипотезы Римана не существует единого значения а для чего гипотеза Артина доказана. Д. Р. Хит-Браун доказал (следствие 1), что хотя бы один из 2, 3 или 5 является первообразным корнем по модулю бесконечного числа простых чисел п.^[3]Он также доказал (следствие 2), что существует не более двух простых чисел, для которых гипотеза Артина неверна.

Смотрите также

• Постоянная Стивенса, число, которое играет ту же роль в обобщении гипотезы Артина, что и постоянная Артина.
• Гипотеза Брауна – Цассенхауза
• Полный репенд прайм
• Циклическое число (теория групп)

Рекомендации

1. Мишон, Джерард П. (2006-06-15). «Константа Артина». Numericana.
2. Хули, Кристофер (1967). «По догадке Артина». J. Reine Angew. Математика. 225: 209–220. Дои:10.1515 / crll.1967.225.209. МИСТЕР  0207630.
3. Д. Р. Хит-Браун (март 1986 г.). "Гипотеза Артина о первобытных корнях". Ежеквартальный журнал математики. 37 (1): 27–38. Дои:10.1093 / qmath / 37.1.27.