Гипотеза Гилбритса - Gilbreaths conjecture

Гипотеза Гилбрета это догадка в теория чисел взяв во внимание последовательности генерируется путем применения оператор прямой разницы к последовательному простые числа и оставляя результаты без подписи, а затем повторяя этот процесс в последовательных членах в результирующей последовательности, и так далее. Заявление названо в честь Норман Л. Гилбрит который в 1958 году представил его математическому сообществу после случайного наблюдения за закономерностью, выполняя арифметические операции на салфетке.^[1] В 1878 году, за восемьдесят лет до открытия Гилбрета, Франсуа Прот однако опубликовал те же наблюдения вместе с попыткой доказательства, которое позже оказалось ложным.^[1]

Мотивационная арифметика

Гилбрет заметил закономерность, играя с упорядоченной последовательностью простых чисел.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Вычисление абсолютная величина разницы между сроком п+1 и срок п в этой последовательности дает последовательность

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

Если такой же расчет выполняется для членов в этой новой последовательности и для последовательности, которая является результатом этого процесса, и снова до бесконечности для каждой последовательности, которая является результатом такого вычисления, следующие пять последовательностей в этом списке являются

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

Гилбрет - и до него Франсуа Прот - обратили внимание на то, что первый член в каждой серии различий оказывается равным 1.

Гипотеза

Формально изложить наблюдение Гилбрета значительно проще после разработки обозначений для последовательностей в предыдущем разделе. С этой целью пусть ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ обозначим упорядоченную последовательность простых чисел ${\displaystyle p_{n}}$, и определим каждый член в последовательности ${\displaystyle \{d_{n}^{1}\}}$ к

${\displaystyle d_{n}^{1}=p_{n+1}-p_{n}}$

куда ${\displaystyle n}$ положительный. Также для каждого целого числа ${\displaystyle k}$ больше 1, пусть члены ${\displaystyle \{d_{n}^{k}\}}$ быть предоставленным

${\displaystyle d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|}$.

Гипотеза Гилбрета утверждает, что каждый член в последовательности ${\displaystyle a_{k}={d_{1}^{k}}}$ для положительного ${\displaystyle k}$ равно 1.

Проверка и попытки доказательства

По состоянию на 2013 год^{[Обновить]}, действительного доказательства этой гипотезы опубликовано не было. Как упоминалось во введении, Франсуа Прот опубликовал то, что он считал доказательством утверждения, которое, как позже было показано, ошибочно. Андрей Одлызко подтвердил, что ${\displaystyle d_{1}^{k}}$ равно 1 для ${\displaystyle k\leq n=3.4\times 10^{11}}$ в 1993 г.^[2] но эта гипотеза остается открытой проблемой. Вместо того, чтобы оценивать п строк, Odlyzko оценил 635 строк и установил, что 635-я строка начинается с 1 и продолжается только 0 и 2 для следующей п числа. Это означает, что следующий п строки начинаются с 1.

Обобщения

В 1980 г. Мартин Гарднер опубликовал гипотезу Халлард Крофт в котором говорилось, что свойство гипотезы Гилбрета (наличие 1 в первом члене каждой разностной последовательности) должно выполняться в более общем случае для каждой последовательности, которая начинается с 2, впоследствии содержит только нечетные числа и имеет достаточно низкую границу промежутков между последовательными элементы в последовательности.^[3] Эту гипотезу повторяли и более поздние авторы.^[4][5] Однако это неверно: для каждой начальной подпоследовательности из 2 и нечетных чисел, а также для каждой непостоянной скорости роста существует продолжение подпоследовательности нечетными числами, чьи пробелы подчиняются скорости роста, но чьи разностные последовательности не могут начинаться с 1 бесконечно довольно часто.^[6] Одлызко (1993) является более осторожным, описывая определенные эвристические причины для веры в гипотезу Гилбрета о том, что «приведенные выше аргументы применимы ко многим другим последовательностям, в которых первый элемент равен 1, остальные - даже, и где промежутки между последовательными элементами не слишком велики и достаточно случайный."^[2] Однако он не дает формального определения того, что означает «достаточно случайный».

Смотрите также

• Оператор разницы
• Главный разрыв
• Правило 90, а клеточный автомат который управляет поведением частей строк, содержащих только значения 0 и 2

Рекомендации

1. Колдуэлл, Крис, «Главный глоссарий: гипотеза Гилбрита», В Prime Pages.
2. Одлызко, А.М. (1993), «Итерированные абсолютные значения разностей последовательных простых чисел», Математика вычислений, 61: 373–380, Дои:10.2307/2152962, Zbl  0781.11037.
3. Гарднер, Мартин (Декабрь 1980 г.). «Паттерны в простых числах - ключ к сильному закону малых чисел» (PDF). Математические игры. 243 (6): 18–28.
4. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Проблемные книги по математике (3-е изд.). Springer-Verlag. п. 42. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.
5. Дорогой, Дэвид (2004). «Гипотеза Гилбрета». Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона. Джон Вили и сыновья. С. 133–134. ISBN  9780471667001.
6. Эппштейн, Дэвид (20 февраля 2011 г.). «Последовательности Анти-Жилбрейта». 11011110.