Проблемы Ландауса - Landaus problems

В 1912 году Международный конгресс математиков, Эдмунд Ландау перечислил четыре основные проблемы о простые числа. Эти проблемы были охарактеризованы в его выступлении как «нерешаемые при нынешнем состоянии математики» и теперь известны как Проблемы Ландау. Вот они:

1. Гипотеза Гольдбаха: Может каждый четное целое число больше 2 быть записано как сумма двух простых чисел?
2. Гипотеза о простых числах близнецов: Есть ли бесконечно много простых чисел п такой, что п + 2 простое?
3. Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует хотя бы одно простое число между последовательными идеальные квадраты ?
4. Бесконечно много простых чисел п такой, что п - 1 - это идеальный квадрат? Другими словами: существует ли бесконечно много простых чисел вида п² + 1?

По состоянию на ноябрь 2020 г.^{[Обновить]}, все четыре проблемы не решены.

Прогресс к решениям

Гипотеза Гольдбаха

Теорема Виноградова доказывает Слабая гипотеза Гольдбаха для достаточно большого п. В 2013, Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех странный числа больше 5.^[1][2][3] В отличие от Гипотеза Гольдбаха, Слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое нечетное число больше 5 может быть выражено как сумма трех простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха не была доказана или опровергнута, ее доказательство подразумевает доказательство слабой гипотезы Гольдбаха.

Теорема Чена доказывает, что для всех достаточно больших п, ${\displaystyle 2n=p+q}$ куда п прост и q либо простое, либо полупервичный.^[4] Монтгомери и Vaughan показал, что исключительное множество (четные числа, не выражаемые как сумма двух простых чисел) состояло из плотность нулю, хотя конечность множества не доказана.^[5] Наилучшая оценка тока исключительного множества равна ${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$ (для достаточно больших Икс) из-за Пинц.^[6]

В 2015 году Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чена:^[7] каждое четное число больше чем ${\displaystyle e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}}$ представляет собой сумму простого числа и произведения не более двух простых чисел.

Гипотеза о простых числах близнецов

Итан Чжан^[8] показал, что существует бесконечно много простых пар с разрывом, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до разрывов длиной 246 с помощью совместных усилий Polymath Project.^[9] Под обобщенным Гипотеза Эллиотта – Хальберштама это было улучшено до 6, расширяя предыдущие работы Мэйнард^[10] и Goldston, Пинц & Йылдырым.^[11]

Чен показал, что простых чисел бесконечно много п (позже названный Простые числа Чена ) такие, что п + 2 либо простое, либо полупервичное число.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый простой промежуток, начиная с п меньше чем ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Таблица максимальных простых промежутков показывает, что догадка придерживается 4 × 10¹⁸.^[12] А контрпример около 10¹⁸ потребуется простой разрыв в пятьдесят миллионов раз больше среднего разрыва. Матомяки показывает, что существует не более ${\displaystyle x^{1/6}}$ исключительные простые числа, за которыми следуют пробелы больше, чем ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$; особенно,

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.}$^[13]

Результат благодаря Ingham показывает, что между ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для каждого достаточно большого п.^[14]

Почти квадратные простые числа

Четвертая проблема Ландау спрашивала, существует ли бесконечно много простых чисел, имеющих вид ${\displaystyle p=n^{2}+1}$ для целого числа п. (Список известных простых чисел этой формы (последовательность A002496 в OEIS ). Существование бесконечного числа таких простых чисел следует из других теоретико-числовых гипотез, таких как Гипотеза Буняковского и Гипотеза Бейтмана – Хорна. По состоянию на 2020 год^{[Обновить]}, эта проблема открыта.

Одним из примеров почти квадратных простых чисел является Простые числа Ферма. Хенрик Иванец показал, что существует бесконечно много чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ с не более чем двумя простыми множителями.^[15][16] Несмит Анкени доказал, что в предположении расширенная гипотеза Римана за L-функции на Гекке персонажи, существует бесконечно много простых чисел вида ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ с ${\displaystyle y=O(\log x)}$.^[17] Гипотеза Ландау в пользу более сильных ${\displaystyle y=1}$.

Мерикоски,^[18] улучшение предыдущих работ,^{[19][20][21][22][23]} показал, что существует бесконечно много чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ с наибольшим простым фактором не менее ${\displaystyle n^{1.279}}$. Замена показателя степени на 2 приведет к гипотезе Ландау.

В Сито Бруна устанавливает верхнюю границу плотности простых чисел, имеющих вид ${\displaystyle p=n^{2}+1}$: Существуют ${\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)}$ такие простые числа до ${\displaystyle x}$. Отсюда следует, что почти все числа формы ${\displaystyle n^{2}+1}$ составные.

Смотрите также

• Список нерешенных задач по математике
• Проблемы Гильберта

Примечания

1. Хельфготт, Х.А. (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv:1305.2897 [math.NT ].
2. Хельфготт, Х.А. (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv:1205.5252 [math.NT ].
3. Хельфготт, Х.А. (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv:1312.7748 [math.NT ].
4. Полупростое число - это натуральное число, являющееся произведением двух простых делителей.
5. Montgomery, H.L .; Воган, Р. К. (1975). «Исключительный набор в проблеме Гольдбаха» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370. Дои:10.4064 / aa-27-1-353-370.
6. Янош Пинц, Новая явная формула в аддитивной теории простых чисел с приложениями. II. Исключительный набор в проблеме Гольдбаха, Препринт 2018 г.
7. Ямада, Томохиро (11 ноября 2015 г.). «Явная теорема Чена». arXiv:1511.03409 [math.NT ].
8. Итан Чжан, Ограниченные промежутки между простыми числами, Анналы математики 179 (2014), стр. 1121–1174 из тома 179 (2014), выпуск 3
9. D.H.J. Polymath (2014). «Варианты решета Сельберга и ограниченные интервалы, содержащие много простых чисел». Исследования в области математических наук. 1 (12): 12. arXiv:1407.4897. Дои:10.1186 / s40687-014-0012-7. МИСТЕР  3373710. S2CID  119699189.
10. Дж. Мэйнард (2015), Небольшие промежутки между простыми числами. Анналы математики 181(1): 383-413.
11. Алан Голдстон, Дэниел; Мотохаши, Йоичи; Пинц, Янош; Ялчин Йылдырым, Джем (2006). "Небольшие промежутки между простыми числами существуют". Труды Японской академии, серия А. 82 (4): 61–65. arXiv:математика / 0505300. Дои:10.3792 / pjaa.82.61. S2CID  18847478.
12. Йенс Круз Андерсен, Максимальные простые зазоры.
13. Кайса Матомяки (2007). «Большие различия между последовательными простыми числами». Ежеквартальный журнал математики. 58 (4): 489–518. Дои:10.1093 / qmath / ham021..
14. Ингхэм, А. Э. (1937). «О разнице последовательных простых чисел». Ежеквартальный журнал математики Оксфорда. 8 (1): 255–266. Bibcode:1937QJМат ... 8..255I. Дои:10.1093 / qmath / os-8.1.255.
15. Иванец, Х. (1978). «Почти простые числа, представленные квадратичными многочленами». Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. Bibcode:1978InMat..47..171I. Дои:10.1007 / BF01578070. S2CID  122656097.
16. Роберт Дж. Лемке Оливер (2012). «Почти простые числа, представленные квадратичными многочленами» (PDF). Acta Arithmetica. 151 (3): 241–261. Дои:10.4064 / aa151-3-2..
17. Н. К. Анкени, Представления простых чисел квадратичными формами, Ам. J. Math. 74: 4 (1952), стр. 913–919.
18. Джори Мерикоски, Наибольший простой делитель n ^ 2 + 1, Препринт 2019 г.
19. Р. де ла Бретеш и С. Драпо. Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables. Журнал Европейского математического общества, 2019.
20. Жан-Марк Дешуиллер и Хенрик Иванец, На наибольший главный фактор ${\displaystyle n^{2}+1}$, Annales de l'Institut Fourier 32: 4 (1982), стр. 1–11.
21. К. Хули, О наибольшем простом множителе квадратичного многочлена, Acta Math., 117 (196 7), 281–299.
22. Дж. Тодд (1949), "Проблема арктангенциальных отношений", Американский математический ежемесячный журнал, 56 (8): 517–528, Дои:10.2307/2305526, JSTOR  2305526
23. Ю. Иванов, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A + x ^ 2, Bull. Акад. Sci. СПб. 3 (1895), 361–367.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблемы Ландау». MathWorld.