Постоянная Лежандра - Legendres constant

Первые 100000 элементов последовательности а_п = ln (п) − п/π(п) (красная линия) сходятся к значению около 1,08366 (синяя линия).

Последующие элементы до 10 000 000 той же последовательности а_п = ln (п) − п/π(п) (красная линия) постоянно меньше 1,08366 (синяя линия).

Постоянная Лежандра это математическая константа входящий в формулу, предполагаемую Адриан-Мари Лежандр захватить асимптотическое поведение из функция подсчета простых чисел ${\displaystyle \pi (x)}$. Теперь известно, что его значение точно равно1.

Изучение имеющихся числовых свидетельств известных простые числа заставил Лежандра подозревать, что ${\displaystyle \pi (x)}$ удовлетворяет приближенной формуле.

Лежандр в 1808 г. предположил, что

${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}$

куда ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }B(x)=1.08366}$....OEIS: A228211^[1]

Или аналогично,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-{n \over \pi (n)}\right)=B}$

куда B - постоянная Лежандра. Он догадался B около 1,08366, но независимо от его точного значения, наличие B подразумевает теорема о простых числах.

Пафнутый Чебышев доказано в 1849 г.^[2] что если предел B существует, оно должно быть равно 1. Более простое доказательство было дано Пинцем в 1980 г.^[3]

Это непосредственное следствие теорема о простых числах, в точном виде с явной оценкой погрешности

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

(для некоторой положительной постоянной а, куда О(…) это нотация большой O ), что было доказано в 1899 г. Шарль де ла Валле Пуссен,^[4] который B действительно равно 1. (Теорема о простых числах была доказана в 1896 году независимо Жак Адамар^[5] и Ла Валле Пуссен,^[6] но без какой-либо оценки вовлеченного члена ошибки).

Оценка такого простого числа сделала термин «константа Лежандра» в основном только исторической ценностью, при этом он часто (технически неправильно) использовался для обозначения первого предположения Лежандра 1.08366 ... вместо этого.

Пьер Дюзар доказано в 2010 году

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)}$ за ${\displaystyle x\geq 5393}$, и

${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}}$ за ${\displaystyle x\geq 60184}$.^[7] Это та же форма, что и

${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}$ с ${\displaystyle 1<B(x)<1.1}$.

Рекомендации

1. Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 188. ISBN  0-387-20169-6.
2. Эдмунд Ландау. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, стр. 17. Третье (исправленное) издание, два тома в одном, 1974, Челси, 1974
3. J. Pintz. О формуле простого числа Лежандра. Амер. Математика. Ежемесячно 87 (1980), 733-735.
4. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Рой. Belgique 59, 1–74, 1899 г.
5. Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24. 1896. С. 199–220. В сети В архиве 2012-07-17 в Wayback Machine
6. «Аналитические исследования теории премьеров», «Анналы научного общества Брюсселя», т. 20, 1896, стр. 183-256 и 281-361
7. Дюзар, Пьер (2010). "Оценки некоторых функций над простыми числами без R.H". arXiv:1002.0442 [math.NT ].

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Лежандра». MathWorld.