Слабая гипотеза Гольдбаха - Goldbachs weak conjecture

Слабая гипотеза Гольдбаха

Письмо Гольдбаха Эйлеру от 7 июня 1742 г. (латинско-немецкий)[1]
Поле	Теория чисел
Предполагается	Кристиан Гольдбах
Предполагается в	1742
Первое доказательство	Харальд Хельфготт
Первое доказательство в	2013
Подразумевается	Гипотеза Гольдбаха

В теория чисел, Слабая гипотеза Гольдбаха, также известный как странная гипотеза Гольдбаха, то тернарная проблема Гольдбаха, или Задача с 3-мя простыми числами, утверждает, что

Каждый нечетное число больше 5 может быть выражено как сумма трех простые числа. (Простое число может использоваться более одного раза в одной и той же сумме.)

Этот догадка называется "слабым", потому что если Гольдбаха сильный догадка (относительно сумм двух простых чисел) доказано, то это тоже будет верно. Ведь если каждое четное число больше 4 является суммой двух нечетных простых чисел, добавление 3 к каждому четному числу больше 4 даст нечетные числа больше 7 (а само 7 равно 2 + 2 + 3).

В 2013, Харальд Хельфготт опубликовал доказательство слабой гипотезы Гольдбаха.^[2] По состоянию на 2018 год доказательство широко принято в математическом сообществе,^[3] но он еще не опубликован в рецензируемом журнале.

Некоторые высказывают предположение как

Каждое нечетное число больше 7 может быть выражено как сумма трех нечетных простых чисел.^[4]

Эта версия исключает 7 = 2 + 2 + 3, потому что для этого требуется четное простое число 2. Для нечетных чисел больше 7 он немного сильнее, так как также исключает такие суммы, как 17 = 2 + 2 + 13, которые разрешены в другой формулировке. Доказательство Хельфготта охватывает обе версии гипотезы. Как и другая формулировка, эта также немедленно следует из сильной гипотезы Гольдбаха.

Происхождение

Основная статья: Гипотеза Гольдбаха

Гипотеза возникла в переписке между Кристиан Гольдбах и Леонард Эйлер. Одна из формулировок сильной гипотезы Гольдбаха, эквивалентной более распространенной в терминах сумм двух простых чисел, такова:

Каждое целое число больше 5 можно записать как сумму трех простых чисел.

Слабая гипотеза - это просто это утверждение, ограниченное случаем, когда целое число нечетно (и, возможно, с дополнительным требованием, чтобы три простых числа в сумме были нечетными).

Хронология результатов

В 1923 г. Харди и Littlewood показал, что, предполагая обобщенная гипотеза Римана, слабая гипотеза Гольдбаха верна для всех достаточно большой нечетные числа. В 1937 г. Иван Матвеевич Виноградов устранил зависимость от обобщенной гипотезы Римана и доказал непосредственно (см. Теорема Виноградова ) все это достаточно большой нечетные числа могут быть выражены как сумма трех простых чисел. Оригинальное доказательство Виноградова, поскольку оно использовало неэффективное Теорема Зигеля – Вальфиша, не давал оценки «достаточно большой»; его ученик К. Бороздкин (1956) вывел, что ${\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}$ достаточно большой.^[5] Целая часть этого числа состоит из 4 008 660 десятичных цифр, поэтому проверка каждого числа под этим числом будет совершенно невозможна.

В 1997 г. Deshouillers, Эффингер, te Riele и Зиновьев опубликовали результат, показывающий^[6] что обобщенная гипотеза Римана следует слабая гипотеза Гольдбаха для всех чисел. Этот результат объединяет общее утверждение, допустимое для чисел больше 10.²⁰ с обширным компьютерным поиском небольших корпусов. Саутер также провел компьютерный поиск по тем же случаям примерно в одно и то же время.^[7]

Оливье Рамаре в 1995 г. показал, что каждое четное число п ≥ 4 фактически является суммой не более шести простых чисел, из чего следует, что каждое нечетное число п ≥ 5 - это сумма не более семи простых чисел. Лешек Канецкий показал, что каждое нечетное целое число представляет собой сумму не более пяти простых чисел под Гипотеза Римана.^[8] В 2012, Теренс Тао доказал это без гипотезы Римана; это улучшает оба результата.^[9]

В 2002 году Лю Мин-Чит (Университет Гонконга ) и Ван Тянь-Цзэ снизили порог Бороздкина примерно до ${\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}$. В показатель степени по-прежнему слишком велик, чтобы допустить проверку всех меньших чисел компьютером. (Компьютерные поиски достигли 10¹⁸ для сильной гипотезы Гольдбаха и не намного дальше, чем для слабой гипотезы Гольдбаха.)

В 2012 и 2013 годах перуанский математик Харальд Хельфготт выпустил пару статей, улучшающих большая и малая дуги достаточно оценок, чтобы безоговорочно доказать слабую гипотезу Гольдбаха.^{[10][11][2][12]} Здесь основные дуги ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ это объединение интервалов ${\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)}$ вокруг рационального ${\displaystyle a/q,q<r_{0}}$ куда ${\displaystyle c}$ является константой. Незначительные дуги ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ определены как ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}}$.

Рекомендации

1. Математическое соответствие и телосложение quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), Санкт-Петербург 1843 г., стр. 125–129.
2. Хельфготт, Харальд А. (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv:1312.7748 [math.NT ].
3. "Александр фон Гумбольдт-Профессур - Харальд Андрес Хельфготт". www.humboldt-professur.de. Получено 2018-06-17.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Гольдбаха». MathWorld.
5. Хельфготт, Харальд Андрес (2015). «Тернарная проблема Гольдбаха». arXiv:1501.05438 [math.NT ].
6. Deshouillers, Жан-Марк; Effinger, Gove W .; Te Riele, Herman J. J .; Зиновьев, Дмитрий (1997). «Полная теорема Виноградова о 3-простых числах при гипотезе Римана». Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества. 3 (15): 99–104. Дои:10.1090 / S1079-6762-97-00031-0. МИСТЕР  1469323.
7. Янник Саутер (1998). "Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха до 10²⁰" (PDF). Математика. Комп. 67 (222): 863–866. Дои:10.1090 / S0025-5718-98-00928-4. МИСТЕР  1451327.
8. Канецкий, Лешек (1995). «О константе Шнирельмана при гипотезе Римана» (PDF). Acta Arithmetica. 72 (4): 361–374. Дои:10.4064 / aa-72-4-361-374. МИСТЕР  1348203.
9. Тао, Теренс (2014). «Каждое нечетное число больше 1 - это сумма не более пяти простых чисел». Математика. Комп. 83 (286): 997–1038. arXiv:1201.6656. Дои:10.1090 / S0025-5718-2013-02733-0. МИСТЕР  3143702.
10. Хельфготт, Харальд А. (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv:1305.2897 [math.NT ].
11. Хельфготт, Харальд А. (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv:1205.5252 [math.NT ].
12. Хельфготт, Харальд А. (2015). «Тернарная проблема Гольдбаха». arXiv:1501.05438 [math.NT ].