Теорема Виноградова - Vinogradovs theorem

В теория чисел, Теорема Виноградова результат, из которого следует, что любой достаточно большой странный целое число можно записать в виде суммы трех простые числа. Это более слабая форма Слабая гипотеза Гольдбаха, что означало бы существование такого представления для всех нечетных целых чисел больше пяти. Он назван в честь Иван Матвеевич Виноградов кто доказал это в 1930-е гг. Харди и Литтлвуд ранее показали, что этот результат следует из обобщенной гипотезы Римана, и Виноградов смог опровергнуть это предположение. Полная формулировка теоремы Виноградова дает асимптотические оценки от количества представлений нечетного целого числа в виде суммы трех простых чисел.

Формулировка теоремы Виноградова.

Позволять А быть положительным действительным числом. потом

{ Displaystyle г (N) = {1 более 2} G (N) N ^ {2} + O left (N ^ {2} log ^ {- A} N right),}

куда

{ Displaystyle г (N) = сумма _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} = N} Lambda (k_ {1}) Lambda (k_ {2}) Lambda (k_ { 3}),}

с использованием функция фон Мангольдта ${ displaystyle Lambda}$ , и

{ Displaystyle G (N) = left ( prod _ {p mid N} left (1- {1 over { left (p-1 right)} ^ {2}} right) right ) left ( prod _ {p nmid N} left (1+ {1 over { left (p-1 right)} ^ {3}} right) right).}

Следствие

Если N странно, то грамм(N) примерно равно 1, поэтому ${ Displaystyle N ^ {2} ll r (N)}$ для всех достаточно больших N. Показав, что вклад в р(N) собственными степенями простых чисел равно ${ displaystyle O left (N ^ {3 over 2} log ^ {2} N right)}$ , видно, что

{ displaystyle N ^ {2} log ^ {- 3} N ll left ({ hbox {количество способов записать N как сумму трех простых чисел}} right).}

Это, в частности, означает, что любое достаточно большое нечетное целое число можно записать как сумму трех простых чисел, таким образом показывая Слабая гипотеза Гольдбаха для всех, кроме конечного числа случаев. В 2013, Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев.

Стратегия доказательства

Доказательство теоремы следует Метод круга Харди – Литтлвуда. Определить экспоненциальная сумма

{ Displaystyle S ( альфа) = сумма _ {п = 1} ^ {N} Lambda (п) е ( альфа п)}

.

Тогда у нас есть

{ Displaystyle S ( альфа) ^ {3} = сумма _ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} leq N} Lambda (n_ {1}) Lambda (n_ {2} ) Lambda (n_ {3}) e ( alpha (n_ {1} + n_ {2} + n_ {3})) = sum _ {n leq 3N} { tilde {r}} (n) е ( альфа п)}

,

куда ${ displaystyle { tilde {r}}}$ обозначает количество представлений, ограниченных степенями простого числа ${ displaystyle leq N}$ . Следовательно

{ Displaystyle г (N) = int _ {0} ^ {1} S ( альфа) ^ {3} е (- альфа N) ; д альфа}

.

Если ${ displaystyle alpha}$ это рациональное число ${ displaystyle { frac {p} {q}}}$ , тогда ${ Displaystyle S ( альфа)}$ может быть задана распределением простых чисел в классах вычетов по модулю ${ displaystyle q}$ . Следовательно, используя Теорема Зигеля-Вальфиса мы можем вычислить вклад указанного выше интеграла в малых окрестностях рациональных точек с малым знаменателем. Набор действительных чисел, близких к таким рациональным точкам, обычно называют большими дугами, дополнение образует второстепенные дуги. Оказывается, что эти интервалы доминируют в интеграле, поэтому для доказательства теоремы нужно дать оценку сверху для ${ Displaystyle S ( альфа)}$ за ${ displaystyle alpha}$ содержится во второстепенных дугах. Эта оценка - самая трудная часть доказательства.

Если предположить Обобщенная гипотеза Римана, аргумент, используемый для больших дуг, может быть расширен до второстепенных. Это было сделано Харди и Литтлвудом в 1923 году. В 1937 году Виноградов дал безусловную оценку сверху для ${ Displaystyle | S ( альфа) |}$ . Его аргумент начался с простого ситового тождества, затем полученные термины были сложным образом перегруппированы, чтобы добиться некоторой отмены. В 1977 г. Р. К. Воан нашел гораздо более простой аргумент, основанный на том, что позже стало известно как Личность Воана. Он доказал, что если ${ displaystyle | alpha - { frac {a} {q}} | <{ frac {1} {q ^ {2}}}}$ , тогда

{ displaystyle | S ( alpha) | ll left ({ frac {N} { sqrt {q}}} + N ^ {4/5} + { sqrt {Nq}} right) log ^ {4} N}

.

Используя теорему Зигеля-Вальфиса, мы можем иметь дело с ${ displaystyle q}$ до произвольных полномочий ${ displaystyle log N}$ , с помощью Аппроксимационная теорема Дирихле мы получаем ${ Displaystyle | S ( альфа) | ll { гидроразрыва {N} { log ^ {A} N}}}$ на малых дугах. Следовательно, интеграл по малым дугам можно оценить сверху величиной