Функция фон Мангольдта - Von Mangoldt function

В математика, то функция фон Мангольдта является арифметическая функция названный в честь Немецкий математик Ганс фон Мангольдт. Это пример важной арифметической функции, которая ни мультипликативный ни добавка.

Определение

Функция фон Мангольдта, обозначаемая как Λ (п), определяется как

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Ценности Λ (п) для первых девяти натуральных чисел (т.е. натуральных чисел)

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

что связано с (последовательность A014963 в OEIS ).

В Сумматорная функция фон Мангольдта, ψ(Икс), также известный как второй Функция Чебышева, определяется как

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$

Фон Мангольдт дал строгое доказательство явной формулы для ψ(Икс) с суммой по нетривиальным нулям Дзета-функция Римана. Это было важной частью первого доказательства теорема о простых числах.

Характеристики

Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству^[1][2]

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

Сумма берется по всем целые числа d который разделять п. Это доказано основная теорема арифметики, поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны 0. Например, рассмотрим случай п = 12 = 2² × 3. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

К Инверсия Мёбиуса, у нас есть^[2][3][4]

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

Серия Дирихле

Функция фон Мангольдта играет важную роль в теории Серия Дирихле, и, в частности, Дзета-функция Римана. Например, есть

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}$

В логарифмическая производная затем^[5]

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Это частные случаи более общего соотношения на рядах Дирихле. Если есть

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

для полностью мультипликативная функция  ж (п), и ряд сходится при Re (s)> σ₀, тогда

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

сходится для Re (s)> σ₀.

Функция Чебышева

Второй Функция Чебышева ψ(Икс) это сумматорная функция функции фон Мангольдта:^[6]

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

В Преобразование Меллина функции Чебышева можно найти, применив Формула Перрона:

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

что справедливо для Re (s) > 1.

Экспоненциальный ряд

Харди и Littlewood изучил серию^[7]

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

в пределе у → 0⁺. Если предположить Гипотеза Римана, они демонстрируют, что

${\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}$

В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебания: существует значение K > 0 такие, что оба неравенства

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

бесконечно часто в любой окрестности 0. График справа показывает, что такое поведение сначала не является очевидным с числовой точки зрения: колебания не видны четко до тех пор, пока сумма ряда не превышает 100 миллионов членов, и легко видны только тогда, когда у < 10⁻⁵.

Рисса среднее

В Рисса среднее функции фон Мангольдта дается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}$

Здесь, λ и δ - числа, характеризующие среднее значение Рисса. Надо брать c > 1. Сумма более ρ - сумма по нулям дзета-функции Римана, а

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

можно показать как сходящийся ряд для λ > 1.

Аппроксимация дзета-нулями Римана

Первая дзета-волна Римана в сумме, которая аппроксимирует функцию фон Мангольдта

Действительная часть суммы по дзета-нулям:

${\displaystyle -\sum _{i=1}^{\infty }n^{\rho (i)}}$, куда ρ(я) это я-й дзета-ноль, достигает пиков при простых числах, как это видно на соседнем графике, а также может быть проверено с помощью численных вычислений. Он не суммируется с функцией Фон Мангольдта.^[8]

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с мнимыми частями дзета-нулей Римана в виде пиков в точке Икс-осевые ординаты (справа), а функция фон Мангольдта может быть аппроксимирована дзета-нулевыми волнами (слева)

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками на ординатах, равными мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют двойственностью.

Смотрите также

• Функция подсчета простых чисел

Рекомендации

1. Апостол (1976) с.32
2. Тененбаум (1995) стр.30
3. Апостол (1976) с.33
4. Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии. Серия Спрингера в области информационных наук. 7 (3-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-62006-0. Zbl  0997.11501.
5. Харди и Райт (2008) §17.7, теорема 294
6. Апостол (1976) с.246
7. Харди, Г. Х. и Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел» (PDF). Acta Mathematica. 41: 119–196. Дои:10.1007 / BF02422942. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-02-07. Получено 2014-07-03.
8. Конри, Дж. Брайан (Март 2003 г.). «Гипотеза Римана» (PDF). Уведомления Am. Математика. Soc. 50 (3): 341–353. Zbl  1160.11341. Стр. Решебника 346

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Хит-Браун, Д.; Сильверман, Дж. Х. (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-921985-8. МИСТЕР  2445243. Zbl  1159.11001.

• Тенебаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования в области высшей математики. 46. Перевод C.B. Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41261-7. Zbl  0831.11001.

внешняя ссылка

• Аллан Гут, Некоторые замечания о дзета-распределении Римана (2005)
• Степанов С.А. (2001) [1994], «Функция Мангольдта», Энциклопедия математики, EMS Press
• Крис Кинг, Праймеры из воздуха (2010)
• Хайке, Как построить нулевой спектр дзета Римана в системе Mathematica? (2012)